浙江省台州市2024-2025学年高二上学期期末质量评估数学试题

这是一份浙江省台州市2024-2025学年高二上学期期末质量评估数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)在坐标平面xOy内射影的坐标为( )
A. (0,1,2)B. (1,0,3)C. (1,2,0)D. (0,0,0)
2.已知直线l的一般式方程为x−2y+6=0，则( )
A. 直线l的截距式方程为x−6+y3=1B. 直线l的截距式方程为x6−y3=1
C. 直线l的斜截式方程为y=−12x+3D. 直线l的斜截式方程为y=12x−3
3.已知椭圆的标准方程为x24+y23=1，下列说法正确的是( )
A. 椭圆的长轴长为2B. 椭圆的焦点坐标为( 7,0)，(− 7,0)
C. 椭圆关于直线y=x对称D. 当点(x0,y0)在椭圆上时，|y0|≤ 3
4.设等比数列{an}(n∈N*)的前n项和为Sn，若S3a2=3，则S4a3的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔(觇孔的中心分别记为点A，B)，运动员需要确保靶纸上的黑色圆心(记为点C)与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点A(0,32)，点B(45,8950)，则点C的坐标为( )
A. (10,92)B. (10,5)C. (10,112)D. (10,6)
6.在四面体OABC中，OA⋅OB=OA⋅OC=OB⋅OC=0，|OA|=|OC|=2，若直线OC与平面ABC所成角为30∘，则|OB|=( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
7.已知等差数列{an}(n∈N*)的首项为a1，公差为 2，前n项和为Sn，数列{bn}满足：nbn=Sn，则下列说法正确的是( )
A. ∀a1∈R，数列{Sn}为递增数列
B. ∃a1∈R，使得数列{bn}为递减数列
C. ∃a1∈R及正整数p，q，r(10，求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{bn(an2−1)}(n∈N*)的前n项和Sn．
18.(本小题17分)
动点M(x,y)到直线y=x与直线y=−x的距离之积为12，记点M的轨迹为曲线E．
(1)求曲线E的方程;
(2)若点A(x0,y0)为曲线E与抛物线y2=2px(00，且y0≠1时，求直线AB斜率的取值范围．
19.(本小题17分)
把n元有序实数组(a1,a2,⋯,an)称为n维向量，类似平面向量与空间向量，对于n维向量i=(a1,a2,⋯,an)，j=(b1,b2,⋯,bn)，也可定义两个向量的加法运算和减法运算i±j=(a1±b1,a2±b2,⋯,an±bn);数乘运算λi=(λa1,λa2,⋯,λan)，λ∈R;向量的长度(模) |i|= i=1nai2;两个向量的数量积i⋅j=|i|·|j|csi,j=i=1naibi(i,j表示向量i，j的夹角，i,j∈[0,π]);向量j在向量i上的投影向量的模|i=1naibi| i=1nai2.n维向量为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间．
(1)已知m=(1,2,3,4,5)，n=(1,1,1,1,1)，求向量m，n的夹角的余弦值;
(2)已知4维向量OA=(1,2,3,0)，OB=(1,2,0,4)，OC=(1,0,3,4)，OD=(0,2,3,4)，OP=aOA+bOB+cOC+dOD，且6a+7b+8c+9d=1，求|OP|的最小值;
(3)ai∈R(i=1,2⋯,n)，i=1niai=0，求|i=1nai| i=1nai2的最大值(用含n的式子表示)．
(注：12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6)
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查空间中的点的坐标，属于基础题．
根据坐标平面xOy满足竖坐标为0即可解决．
【解答】
解：在空间直角坐标系Oxyz中，点A(1,2,3)在坐标平面xOy的射影坐标是(1,2,0)．
故选：C．
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查斜截式方程、截距式方程、一般式方程，属于基础题．
根据方程之间的互化，对各选项逐项判定，即可求出结果．
【解答】
解：因为直线l的一般式方程为x−2y+6=0，
所以直线l的截距式方程为x−6+y3=1，故A正确，B错误；
直线l的斜截式方程为y=12x+3，故C，D错误．
故选A．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查椭圆的概念及标准方程，椭圆的性质及几何意义，属于基础题．
根据椭圆的几何性质对选项逐个判断即可．
【解答】
解：对于A、椭圆的标准方程为x24+y23=1，
其中a= 4=2，b= 3，则其长轴长2a=4，故A错误；
对于B、椭圆的标准方程为x24+y23=1，
其中a=2，b= 3，则c= a2−b2=1，
则其焦点坐标为(1,0)、(−1,0)，故B错误；
对于C、椭圆的标准方程为x24+y23=1，其中a=2，b= 3，
则其焦点在x轴上，关于直线y=x不对称，故C错误;
对于D、椭圆的标准方程为x24+y23=1，其中a=2，b= 3，
则y0的最大值为 3，则必有|y0|≤ 3，故D正确．
故选：D．
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式，等比数列的求和，属于基础题．
对公比进行分类讨论即可求解．
【解答】
解：设等比数列{an}的公比为q，
当q=1时，满足S3a2=3a1a1=3，则S4a3=4a1a1=4，
当q≠1时，S3a2=a11+q+q2a1q=3，则q=1，矛盾，
综上，S4a3的值为4．
故选：D．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查三点共线，属于基础题．
利用A，B，C三点共线即可求解．
【解答】
解：根据题意可设C10,y，
因为A，B，C三点共线，
则AB=λAC，
即45,725=λ10,y−32=10λ,λy−32，
则10λ=45λy−32=725⇒λ=450y=5,
则点C的坐标为(10,5)．
故选：B．
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查直线与平面所成的角，利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，属于中档题．
由题可知OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC，因此可建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的向量求法求解即可．
【解答】
解：由题可知OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊥OC，
以O为原点，OA，OB，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设|OB|=m(m>0)，
则O(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,m,0)，C(0,0,2)，
则AB=(−2,m,0)，AC=(−2,0,2)，
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z)，
由n⋅AB=0n⋅AC=0，可得−2x+my=0−2x+2z=0，
令x=m，则y=2，z=m，
所以平面ABC的一个法向量为n=(m,2,m)，
直线OC的一个方向向量为OC=(0,0,2)，
已知直线OC与平面ABC所成角为30∘，
则有sin30∘=|OC⋅n|OC||n||=12，
即12=|m| 2m2+4，化简得：2m2+4=4m2，
又因为m>0，所以m= 2，即OB= 2．
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的单调性，等差数列前n项和，等差中项，数列的最大(小)项问题，属于较难题．
选项A，显然当a1