高一数学开学摸底考（上海专用）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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数学•全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版 2020 必修第一册+6.1。
一一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1．已知全集
，集合
，则
.
【答案】
【分析】利用集合的补集运算即可得解.
【解析】因为
所以
，
，
.
故答案为：
.
2．不等式
的解集是
.
【答案】
【分析】根据分式的运算性质分类讨论求出不等式的解集.
【解析】
或
，得
.
故答案为：
.
3．已知
，
是第四象限角，则
.
【答案】
【分析】由题意利用同角三角函数基本关系式即可求解.
【解析】因为 是第四象限角，
，
1 / 14

则
，可得
.
故答案为：
.
4．若函数
，则
.
【答案】
/
【分析】根据自变量取值所在区间确定应代入的解析式求分段函数值即可.
【解析】由
，
则
.
故答案为：
.
5．周长为 20 的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是
．
【答案】
【分析】设扇形的半径为
，圆心角为
，依题意可得
，
，再由扇形的面积公式及
基本不等式计算可得.
【解析】设扇形的半径为
，圆心角为
，
依题意可得
所以
，则
，
当且仅当
，即
时取等号，
即扇形圆心角为 时扇形的面积取得最大值.
故答案为：
.
6．已知幂函数
在区间
上是严格增函数，则
.
【答案】
【分析】根据幂函数的定义及性质得到方程（不等式）组，解得即可.
【解析】因为幂函数 在区间 上是严格增函数，
2 / 14

所以
，解得
，则
.
故答案为：
7．已知
．
【答案】0
【分析】将齐次正余弦的分式，利用同角三角函数商的关系化弦为切，代值计算即得.
【解析】由
.
故答案为：0.
8．若关于 的方程
在区间
上有解，则实数 的取值范围是
.
【答案】
,
【分析】先将方程变形为变形为
确定实数 的取值范围．
，再利用程
在
, 上有解，可得 的不等式，从而可
【解析】方程可变形为
，由于方程
，解得
在
上有解，
而当
,
时，
，所以
，
即实数 的取值范围是
,
．
故答案为：
9．设
, ．
，则函数
的所有零点之和为
．
【答案】
【分析】画出函数图象。利用对称性即可求解.
【解析】由一元二次函数的图象和性质可知函数
的图象如图所示，
根据图象可知
所以零点之和为
故答案为：
共有 个零点，且 个零点关于
对称，
，
10．已知函数
是定义在
上的偶函数，在
3 / 14
上严格增函数.若
，则实数 的

取值范围是
【答案】
.
【分析】先由定义域关于原点对称解得 ，再结合函数单调性与对称性，转化不等式为
求解可
得.
【解析】因为
为偶函数，故
即为
即
，
，
由
又
故
故
为偶函数，则
，
在
在
上严格增函数，且
上为严格减函数，
，解得
为偶函数，
或
.
则实数 的取值范围是
故答案为：
.
.
11．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为 米，底面积为 平方米，且背面靠墙的长方体形状
的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为 米（ ）. 现有甲、乙两支工
程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米 元，左右两面新建墙体每平方米 元，
屋顶和地面以及其他共计
元；乙队给出的整体报价为
元（
）. 不考虑其他因素，
若乙队要确保竞标成功，则实数 的取值范围是
【答案】
.
【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得
，孤立参数根
据对勾函数的性质确定函数
单调性从而得最小值即可得实数
的取值范围.
【解析】若仓库前面墙体的长为 米（
则甲工程整体报价为
），则左右两面墙宽度为
，
，
若乙队要确保竞标成功则
，
所以
，则
4 / 14

，
因为
，所以函数
，
当且仅当
所以函数
故
时，即
时，函数有最小值，
上单调递增，故
在
，
，则
，所以实数 的取值范围是
.
故答案为：
12．设
.
，
，若存在
，使得
成立，则正整数 的最大值为
【答案】
【解析】由题设
且
上有
成立，只需
，所以
，使得
即可，进而求得正整
数
的最大值.
【解析】由题意知：
，使
，即
成立，
而
当且仅当
时等号成立，
∴
，而
，
∴仅需
成立即可，有
，故正整数 的最大值为 .
故答案为：
.
【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有
，即
，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要
即可求最值.
二、选择题(本题共有 4 题，满分 18 分，第 13-14 题每题 4 分，第 15-16 题每题 5 分；每题有且只有一个正
确选项)
13．已知
，则“
”是“
”的（ ）条件．
5 / 14

A．充要
B．充分非必要
C．必要非充分
D．既非充分又非必要
【答案】C
【分析】结合诱导公式及特殊角的三角函数值求出两个条件的 的值，进而结合充分、必要条件的定义判
断即可.
【解析】由题意，
，
由
，即
，则
或
，
由
，则
，
所以“
”是“
”的必要非充分条件．
故选：C.
14．设 a，
，则下列运算中正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的运算性质，可得 AB 错；根据对数的运算性质，可得 C 正确，D 错.
【解析】由题中条件
，
则
则
，故 A 错；
，故 B 错；
根据对数的运算法则，可得
，故 D 错.
，即 C 正确；
故选：C.
15．存在
A．
使不等式
成立，则实数 a 的取值范围是（
B．
）
C．
D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的三角不等式和一元二次不等式计算即可.
【解析】存在
由于
,不等式
成立，变形即
成立，
，
6 / 14

因此有
，
两边平方
，
解得
或
.
故选：A.
16．已知函数
，设
（
）为实数，且
．给出下列结论：
①若
，则
；
．
②若
，则
）
其中正确的是（
A．①与②均正确
B．①正确，②不正确
D．①与②均不正确
C．①不正确，②正确
【答案】A
【分析】令
，得到
，利用直线
可判断①正确；②中，不妨设
，进而得到
为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设
的方程得到 ，进而得到
，利用直线
，结合
，
，得到点
的方程得到
，可判定②正确.
【解析】令函数
，
可得函数
又由
为单调递增函数，
，即
，
所以函数
①中，因为
不妨设
为奇函数，图象关于点
对称，如图（1）所示，
，且
，
，则
，
则点
可得
，此时直线
的方程为
，
，
则
，
可得
，
7 / 14

又由
即
，所以
，即
，
，所以①正确；
②中，若
不妨设
，不妨设
，
，则
，
则点
可得
则
，此时直线
的方程为
，
，
，
可得
又由
，
，所以
，即
，
即
，
所以②正确.
故选：A.
【点睛】方法点拨：令函数
和
，得到函数
，结合直线
为递增函数，且为奇函数，求得点
和
的方程，得出不等式关系式是解答的关键.
三、解答题(本大题共有 5 题，满分 78 分，第 17-19 题每题 14 分，第 20、21 题每题 18 分.)
17．化简下列各式：
(1)
；
(2)
.
8 / 14

【答案】(1)0；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式化简计算作答.
（2）根据给定条件，利用诱导公式、同角公式化简计算作答.
【解析】（1）
.
（2）
.
18．已知函数
的表达式为
.
（1）当
时，求证：
在
上是严格减函数；
恒成立，求实数 的取值范围.
（2）若对任意的
，不等式
【答案】（1）证明见解析；（2）
.
【解析】（1）任取
此可证得结论成立；
（2）由已知得出
、
且
，作差
，
，因式分解后判断
的符号，由
，令
，则
，利用二次函数的基本性质求出
，即可得出实数 的取值范围.
【解析】（1）当 时，
任取
，
，
、
且
，即
，
，则
，
，所以，
，
，
因此，函数
在
上是严格减函数；
（2）对任意的
，
，可得
，
令
，则
，令
，其中
，
所以，
，
.
.
因此，实数 的取值范围是
9 / 14

【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设 是所给区间上的任意两个值，且
、
；
（2）作差变形：即作差
变形；
，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向
（3）定号：确定差
的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值 作差 变形 定号 下结论.
19．浦东某购物中心开业便吸引了市民纷纷来打卡（观光或消费），某校数学建模社团根据调查发现：该购
物中心开业一个月内（以 天计），每天打卡人数
与第 天近似地满足函数
（万人）， 为
正常数，且第 天的打卡人数为 万人．
(1)经调查，打卡市民（含观光）的人均消费
（元）与第 天近似地满足下表：
（天）
（元） 131 135 139 143 139 135
现给出以下三种函数模型：① ，②
10
14
18
22
26
30
，③
．请你根据上表中的
（元）与第 天的关
数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述打卡市民（含观光）的人均消费
系，并求出该函数的解析式；
(2)确定 的值，并在问题（1）的基础上，求出该购物中心日营业收入
（
， 为正整数）的最
小值（单位：万元）．
（注：日营业收入 日打卡人数
人均消费
）．
【答案】(1)函数模型②满足要求，
(2)
，该商场在第 天日营业收入最小为
万元
【分析】（1）根据表格可知
的值先增大，后减小，从而可得到函数模型②满足要求；然后根据表格中
的数据代入函数的关系式即可求出答案；
（2）直接根据 即可求出 的值，分
讨论去掉绝对值符号，从而可求函数的最小值.
且
为正整数和
且 为正整数两种情况分段
【解析】（1）解：由表格，可知
的值先增大，后减小，所以显然，函数模型②满足要求，
，
又由表格可知
代入
所以
，得
，解得
，
.
10 / 14

（2）解：因为第 天的打卡人数为 万人，所有
，解得
.
易知
，
当
且
为正整数时，
为减函数，所以
为正整数时，
，
因为
当
；
且
，
所以
，当且仅当
万元.
表示不小于 的最小整数，例如：
，求实数 的取值范围；
的值域，并求满足
时等号成立.
综上知，该商场在第 天时日营业收入最小，最小为
20．已知
(1)若
，我们定义函数
，
.
(2)求函数
(3)设
的实数 的取值范围；
，都有
，
，若对于任意的
，求实数 的取值范围.
【答案】(1)
(2)值域为
(3)
，
【分析】（1）根据给定定义，直接列式求解作答.
（2）由对数函数的单调性求出 的值域，进而列出不等式，求出 x 值范围作答.
（3）利用对勾函数求出
作答.
在
上的值域，再建立恒成立的不等式，借助二次函数性质分类讨论求解
【解析】（1）由
表示不小于 x 的最小整数，
，得
，
所以实数 x 的取值范围是
.
（2）函数
定义域为
，即有
，而函数
在
上单调递增，值域为
，
因此
，所以函数
，得
的值域为
；
显然
则有
，
，由
时，不等式不成立，则
，
，而
，必有
，即
，
11 / 14

因此
，
，解得
，所以实数 的取值范围
.
（3）当
时，
，函数
在
上单调递减，在
是单调递增，
因此函数
于是
在
上单调递增，在
是单调递减，
，而
，
，
在
上的值域为
，
，
，
依题意，
当
，即
，
，
时，
时，
，显然当
，而
时，
恒成立，则
，则
，
，
，
当
，
所以实数 的取值范围
.
【点睛】思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，
再转化、抽象为相应的数学问题作答.
21．函数
具有性质
的定义域为 ，若存在正实数 ，对任意的
，总有
，则称函数
.
(1)分别判断函数
(2)已知
与
是否具有性质
，并说明理由；
具有性质
为二次函数，若存在正实数 ，使得函数
为给定的正实数，若函数
.求证：
，求 的取值范围.
是偶函数；
(3)已知
具有性质
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
具有性质
，
不具有性质
，理由见解析
【分析】（1）根据性质
的定义对函数
与函数
进行判断，从而确定正确答案.
（2）性质
（3）性质
的定义列不等式，求得 ，进而判断出
是偶函数.
的定义列不等式，结合对数函数、指数函数的知识求得 的取值范围.
，得
【解析】（1）对任意
，
所以
具有性质
，得
；
对任意
.
易得只需取
，则
，
所以 不具有性质
（2）设二次函数
满足性质
.
则对任意
满足
，
.
12 / 14

若
，取
，此时
，
，矛盾.
所以
满足
，
，即
为偶函数
（3）由于
，函数
的定义域为 R.
易得
若函数
有
.
具有性质
，则对于任意实数
，
，即
.
即
.
由于函数
在
上严格递增，得
.
即
.
当
当
时，得
时，易得
，对任意实数 恒成立.
，由
，得
，
得
，得
.
由题意得
所以
对任意实数 恒成立，
，即
当
得
时，易得
，由
，得
，
，得
.
由题意得
对任意实数 恒成立，
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所以
，即
综上所述， 的取值范围为
.
【点睛】求解新定义函数类型的题目，关键点是理解和运用新定义，将新定义的知识，转化为学过的知识
来进行求解.求解含参数的不等式问题，需要对参数进行分类讨论，分类讨论要做到不重不漏.
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