高一数学开学摸底考（新高考地区通用）01-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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数学•全解全析
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 58 分）
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知集合
，
，则
C．
（ ）
A．
B．
D．
【答案】C
【知识点】交并补混合运算
【分析】利用补集和交集的定义可求得集合
.
【详解】因为集合
，
，则
，
因此，
.
故选：C.
2．若角 的终边和单位圆的交点坐标为
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】利用定义求某角的三角函数值
【分析】利用三角函数定义计算可得结果.
【详解】根据三角函数定义结合交点坐标为
可得
.
故选：C.
3．若关于 x 的不等式
的解集为
，则关于 x 的不等式
的解集为（ ）
1 / 17

A．
或
或
B．
D．
C．
【答案】C
【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】根据题意得到
【详解】因为不等式
，故原不等式等价于
，求解即可.
的解集为
，所以
，
所以不等式
即
等价于
，解得
，
或
.
所以关于 x 的不等式
故选：C.
的解集为
或
）
.
4．已知函数
，则其图象大致是（
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】函数图像的识别
【分析】根据函数函数的定义域以及当
和
时函数值的正负，即可排除求解.
，故可排除 C，
，此时可排除 A,
【详解】由于函数的定义域为
当
当
时，
时，
，此时可排除 D,
2 / 17

故选：B
5．已知函数
在
上单调递减，则实数 的取值范围是（
B．
D．
）
A．
C．
【答案】B
【知识点】由对数（型）的单调性求参数
【分析】由对数型复合函数的单调性，二次函数的对称轴，以及真数大于 0 求解．
【详解】由题意
，解得
，
故选：B．
6．已知
，且
，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、三角函数的化简、求值
——诱导公式
【分析】利用同角三角平方关系和商的关系求得
，再利用诱导公式求得
，
，即可求解.
【详解】因为
，故
，
，
则
又
又
，则
，
，
故原式
．
故选：D.
7．函数
，则关于 x 的不等式
的解集为（ ）
3 / 17

A．
B．
D．
C．
【答案】A
【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式
【分析】令
所以
，则
，可知
为奇函数且在定义域上单调递增，
可转化为
，根据奇偶性和单调性可解出 的范围.
【详解】解：令
，定义域为
，则
，
又
，
，
，所以
为奇函数；
在
上为增函数，
在
上也为增函数，所以
在
上
为增函数；
等价于
，即
，则
解得：
.
故选：A
8．已知函数
，甲、乙、丙、丁四位同学各说出了这个函数的一条结论：
甲：函数
的图象关于
对称；
乙：函数
丙：函数
丁：函数
在
上单调递增；
在区间
上有 3 个零点；
的图象向左平移 个单位之后与
的图象关于 轴对称.
若这四位同学中恰有一人的结论错误，则该同学是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】C
【知识点】正弦函数图象的应用、利用正弦函数的对称性求参数、求图象变化前（后）的解析式、利用正
弦型函数的单调性求函数值或值域
4 / 17

【分析】对每位同学的结论进行推敲，求出对应的 的取值范围或值，再对比四个结论，可得出结果.
【详解】设函数
的最小正周期为
的图象关于
.
对于甲：因为函数
对称，则
；
对于乙：因为函数
则
在
上单调递增，
，可得
，又
所以，
，又因为
，则
；
对于丙：因为函数
所以，
在区间
上有 个零点，则
，可得
，
，由于
，则
；
对于丁：因为函数
则
的图象向左平移 个单位之后与
的图象关于 轴对称.
，即
满足条件，
，则
，
因为
，所以，
故丙的结论错误，此时，
，
因为
且当
，故
，所以，
，
时，
，即函数
在
上单调递增，
乙同学的结论正确.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于对每位同学的结论进行推敲，求出符合条件的 的范围或值，进
而判断.
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．已知正数
A．
满足
，则（
）
B．
D．
C．
【答案】AC
5 / 17

【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用
求最值
【分析】对于选项 A：利用基本不等式即可判断；
对于选项 B：利用“1”的妙用，即可判断；
对于选项 C：利用基本不等式即可判断；
对于选项 D：利用配凑思想，根据基本不等式即可判断；
【详解】对于选项 A：因为
，则
，当且仅当
，
即
时取等号，故选项 A 正确；
对于选项 B：
当且仅当
，
，即
时取等号，故选项 B 错误；
对于选项 C：由选项 A 可知
，所以
，
当且仅当
，即
时取等号，故选项 C 正确；
对于选项 D：因为
，当且仅当
，即
时取等号，
这与 x，y 均为正数矛盾，故
故选：AC.
，故选项 D 错误.
10．对于任意的
表示不超过 的最大整数.十八世纪，
被“数学王子”高斯采用，因此得名
为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”.下列说法正确的是（
A．
）
B．不等式
C．
的解集为
D．对于任意的
，不等式
恒成立
【答案】ACD
【知识点】求对数函数在区间上的值域、函数新定义、求指数型复合函数的值域
【分析】首先求
的范围，再结合“取整函数”的定义，即可求解，即可判断 A，解一元二次不等式，
再结合定义，即可判断 B，根据对数函数的取值特征，确定 的值，即可判断 C，根据不等式
，
6 / 17

，结合取值函数的定义，即可判断 D.
【详解】A.
，由
，有
，则
，故 A 正确；
，得
，
得
，所以
B.不等我
，解得：
，即
，故 B 错误；
C.
当
当
时，当
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故 C 正确；
D.对于任意的
，
，
，
不等式
，故 D 正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解新定义，从而转化为函数或不等式的问题.
11．已知函数
A．
，且
，则下列选项正确的是（
）
的最小正周期为
的图象关于直线
B．
C．
对称
D．
在
上有两个不同的零点
【答案】BC
【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、根据函数零点的个
数求参数范围
【分析】计算可得
，
，可判断 A；计算可得
，可判断 B；分
，
，
四种情况讨论可判断 C；结合 C 选项可知
时，
在
上有一个不同的零
点，可判断 D.
【详解】对于 A，
，
，
所以
的最小正周期不为 ，故 A 错误；
7 / 17

对于 B，
，
，
所以
，所以
的图象关于直线
对称，故 B 正确；
，所以 ，
对于 C，当
时，若
，
若
，
，所以
，所以
，
，
同理可得
当
时，
时，若
，
，
，
所以
，
若
，
，则
，则
，
若
，
所以
，
同理可得
对于 D，当
此时
时，
，故 C 正确；
时，又
，
，所以
，
，只有一个解，
所以
在
上有一个不同的零点，故 D 错误；
故选：BC.
第二部分（非选择题 共 92 分）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．已知集合
，
，若
，则实数 的取值集合为
．
【答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】根据一元二次方程化简集合 ，即可根据子集关系求解.
【详解】因为集合
，
，
8 / 17

所以：当
时，
时，
，满足
，由
，因此
或
为所求；
，解得
当
得
或
．
综上所述，实数 的取值集合为
．
故答案为：
．
13．某地要建造一个市民休闲公园长方形
，如图，边
，边
，其中区域
位于圆心
正北方向， 位于圆心 的北偏东 60°方向．拟定在圆弧 处修建一座渔人码头，供游客湖中泛舟，并在公
开挖成
一个人工湖，其他区域为绿化风景区．经测算，人工湖在公园内的边界是一段圆弧，且
、
的
园的边
行道
、
开设两个门
、
，修建步行道
、
通往渔人码头，且
、
，则步
、
长度之和的最小值是
．（精确到 0.001）
【答案】1.172
【知识点】求含 sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式
【分析】以 为原点建立坐标系，求出圆半径，并设出点 的坐标，借助辅助角公式及正弦函数的性质求出
最小值.
【详解】以点 为原点，直线
为
轴建立平面直角坐标系，连接
，
令圆 的半径为 ，则
因此
，解得
，设
，
，
当且仅当
时取等号，
9 / 17

所以步行道
故答案为：
、
长度之和的最小值是
.
14．定义：若函数
在区间
上的值域为
，则称区间
是函数
的“完美区间”已知函数
，若函数
存在“完美区间”，则实数 b 的取值范围是
.
【答案】
【知识点】对数型复合函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、基本不等式求和的最小值、函数
新定义
【分析】先求函数
的定义域，再证明
在
上单调递增．
根据新定义，题意可知方程
在
上至少存在两个不同的实数解，
即
在
上至少存在两个不同的实数解，所以
与
的值域即可.
．
在
上至少
存在两个不同的交点．再利用基本不等式求出函数
【详解】由
，解得
，所以函数
的定义域是
因为
又
，
在
上为增函数，所以
上为增函数，
在
上为减函数，
所以
在
在
上为增函数，
故
在
上单调递增．
上单调递增，
的“完美区间”．则
可知
在
设区间
可知方程
是函数
，
．
在
上至少存在两个不同的实数解，
上至少存在两个不同的实数解，
即
在
所以
与
在
上至少存在两个不同的交点．
令
，则
，
所以
，
当且仅当
时，取等号．
10 / 17

又
在
上单调递减，在
；当 时，
上单调递增，
且当
所以
时，
．
时满足题意．故实数 b 的取值范围为
．
故答案为：
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13 分）
（1）
；
（2）已知
，用
表示
．
【答案】（1）4；(2)
【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数的运算、对数的运算性质的应用
【分析】（1）利用对数的运算性质及换底公式即可化简求值.
（2）先由指数与对数的互化得
【详解】（1）原式
，再由换底公式即可计算求解.
；
（2）因为
，所以
，
所以
.
16．（15 分）
已知
，函数
的奇偶性，请说明理由；
上单调递增，求 的取值范围.
.
(1)判断
(2)若
在
【答案】(1)答案见解析，理由见解析
(2)
【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的定义与判断
【分析】（1）分 两种情况讨论，分别判断函数的奇偶性；
（2）将函数写成分段函数，再分 三种情况讨论，分别得到函数的单调区间，即可求出
、
、
、
11 / 17

参数的取值范围.
【详解】（1）因为
定义域为
，则
，
当
时，
为奇函数；
时，
，所以
，
所以
当
，
且
，
所以
既不是奇函数又不是偶函数；
综上可得：当
时
为奇函数，当
时
既不是奇函数又不是偶函数.
（2）因为
，
当
时，
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
上单调递减，
因为
当
在
上单调递增，所以 ；
时，
在
在
上单调递增，符合题意；
当
时，
，
上单调递增，在
显然满足
在
上单调递增，所以
符合题意；
综上可得 的取值范围为
.
17．（15 分）
函数
对任意的实数
，都有
，当
时，
，
(1)判断
(2)
在
上的单调性并证明
，不等式
是 R 上的增函数，证明见解析
恒成立，求实数 的取值范围
【答案】(1)
(2)
或
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由指数函数的单调性解不等式
【分析】（1）利用赋值法求出
，设
可得答案；
上恒成立，令
且
，取
，判断出
（2）转化为
在
，则
讨论，利用
恒成立，令
的单调性可得答案.
，分
是 R 上的增函数，证明如下，
对任意的实数 ，都有
、
、
【详解】（1）
因为函数
，
12 / 17

令
，则
且
，所以
，
；
设
，取
则
，即
，因为
，
由于当
即
时，
，所以
，
，得
，
所以
是 R 上的增函数；
（2）不等式
由（2）可知
等价于
，
是
上的增函数，故
在
上恒成立，
令
令
，则
恒成立，
，
①当
即
时，
时，
在
在
上单调递增，
所以
②当
所以
即
，
上单调递减，
即
即
；
③当
即
时，
上单调递增，所以
恒成立矛盾，舍去.
在
上单调递减，
在
与
综上：
或
.
18．（17 分）
已知函数
的定义域为 R，若函数
取得最大值为 2；当
在区间
时函数
上佮好取到
一个最大值和一个最小值，且当
．
时函数
取得最小值为
(1)求函数
的解析式；
的图象保持横坐标不变纵坐标变为原来的 得到函数
(2)若将函数
，再将函数
的图象向左平
移
个单位得到函数
，已知函数
的最小值为 ，求满足条件的 的最小值；
？若存在，求出实数 的范
(3)是否存在实数 ，满足不等式
围（或值），若不存在，请说明理由．
13 / 17

【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、函数不等式能
成立（有解）问题、根据函数的单调性解不等式
【分析】（1）结合正弦函数最值先求出 ，结合周期求出 ，代入特殊点求出 ，进而可得函数解析式；
（2）结合三角函数图像变换求出
，然后结合已知函数的最值与单调性关系即可求解；
（3）结合已知先求出 得范围，结合二次函数的性质及正弦函数的性质即可求解.
【详解】（1）
，
，
，
又
，
，
，
，又
，
，
.
（2）由题意知：
，
的图象向左平移
个单位得
，
即
，
函数
与
均为其定义域上的单调增函数，且
取得最大值时，同时
，
，
当且仅当
取得最小值时，
才能取得函数的最小值
，得
，
由
又
，
，即
，
14 / 17

，又
，
的最小值为
.
（3） 满足
，解得
，
，
，同理
，
，
，
，
，
又函数
在
上单调递增，
若有
则
，
，
即只需
，即
成立即可，又
，
，即存在
，使
成立.
解析式的求解，还考查了三角函数图象的变换及利
【点睛】方法点睛：本题主要考查函数
用单调性解不等式.
（1）求函数
解析式的方法：
①利用最大（小）值确定
；
②观察图象或由题意得周期 ，利用
可求得
；
③将特殊点代入解析式，结合 得范围可求得
.
（2）利用单调性解不等式的方法：
如不等式
，可利用函数
的单调性来求解.
①把自变量 的位置看成一个整体，要确保这个整体属于同一区间 ，
如
得
，
，
，
.
15 / 17

②判断函数在这个区间内的单调性，如函数
在
上单调递增.
，即
③利用单调性得结论.如
.
④解出不等式即可求解.
19．（17 分）
设集合
是
的非空子集，若对任意
和
，
，都有
，则称集合 具有性质
，并说明理由；
.
(1)试判断集合
是否具有性质
(2)已知集合
出 3 个即可）
(3)已知集合
，若 具有性质
且恰有 4 个元素，直接写出符合条件的集合 ；（写
，若 具有性质
，证明： 中的元素个数不大于 10.
【答案】(1)集合 不具有，集合 具有，理由见解析；
(2)
（答案不唯一）
(3)证明见解析
【知识点】集合新定义
【分析】（1）根据
的含义直接验证即可；
（2）写出集合
并根据
的含义验证即可；
（3）转化为证明 从上面每个集合中选出的元素不能超过 2 个，举例
出的元素不超过 2 个即可.
，证明从每个集合中选
【详解】（1）对于集合
，
因为
，所以集合 不具有性质
，
.
对于集合
因为
，
所以集合 具有性质
.
（2）以下集合符合条件(答出其中任意 3 个即可)：
，
，
取其中 3 个
，
证明：
满足题意，因为
，
，
，
，
，
，
则
具有性质
，同理可证明
满足题意.
16 / 17

（3）将集合
分成如下的 5 个集合：
.
要证明 中的元素个数不大于 10，只需证明 从上面每个集合中选出的元素不能超过 2 个.
以
为例，该集合超过 2 个元素的子集有：
，
因为
，则这些子集均不具有性质
.
其余 4 个集合同理.
因为 具有性质
，所以 从每个集合中选出的元素不超过 2 个.
综上，集合 中的元素个数不大于 10.
【点睛】关键点点睛：本题（1）（2）问的关键是充分理解
的含义，再代入证明即可.
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