高一数学开学摸底考（湘教版2019，必修一全册）-2024-2025学年高中下学期开学摸底考试卷.zip

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数学·参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1
2
3
4
5
6
7
8
A
C
C
A
A
D
B
B
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9
10
11
BD
AC
ACD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．64 13． 14．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15.（本小题满分 13 分）
【解】（1）由题设
，开口向上且对称轴为
，
.
结合二次函数的图象，在
上最大值为
，最小值为
（2）由题意
，
当
当
当
时，解集为
时，解集为
时，解集为
；
；
.
16．（本小题满分 15 分）
【解】（1）令关于 的不等式
.
，有
①当
时，解不等式
的定义域为
时，解不等式
的定义域为
时，函数
，可得
，
此时函数
②当
：
，可得
；
，
此时函数
（2）当
的定义域为
令
，
1 / 4

有
令
，可得
，所以
，
因为
，
有
由
，
，当且仅当
时取等号，
有
，有
，
.
所以
，故 的最小值为
17．（本小题满分 15 分）
【解】（1）由题意可知
，所以
，则
，
.
所以
，所以
由题意可设
，所以
，所以
（2）设王先生投资 （万元）销售足球器材，则投资
（万元）销售篮球器材，
设他所获得的利润为
则由题意有
（万元），
，
时等号成立.
当且仅当
，即
所以当王先生投资 （万元）销售足球器材，投资 （万元）销售篮球器材时，
他所获得的利润最大，最大利润为 （万元）.
18．（本小题满分 17 分）
【解】（1）由题设
，
令
，得
，
2 / 4

所以函数
对称轴方程为
；
（2）由
，则
，则
单调增区间为
的单调减区间，
令
，
所以
的单调增区间为
在
；
（3）方程
上有解，等价于
与
的图象有交点．
，
由
，则
，即
所以
，故 的取值范围为
．
19．（本小题满分 17 分）
【解】（1）
（2）不妨设
因此
，集合 可能为：
，则
，
，
，
；
，
，
或
，
时，
时，
，
，
因此
中只能选项一个，
有
中选两个，
为
，
，共有 4 个；
综上集合
（3）（1）若
，则
个数分成
组中取 个数，必有两个数属于同一组，例如
是从
这
个数所取，
把这
从这
组
，每组中两个数的和为
，则取
，
，
是
的倍数，结论成立；
（2）若
，不妨设
中任取
，
3 个数，
从
，
若
与
都是 的倍数，则
中任意两个数的差都不是 的倍数，不妨设
，这与
矛盾，
所以
不是 倍数，
考虑这 个数：
，
①若这 个数除以 的余数各不相同，则必有一个是 的倍数，又
且均不为
，
故存在
为偶数，取
，使得
，
若
，则
，结论成立；
3 / 4

若
为奇数，取
②若这 个数除以 的余数中有两个相同，由它们的差是 的倍数，又
所以存在 ，使得
，则
，结论成立；
均不为 的倍数，
，
若
若
是偶数，取
是奇数，取
，
，结论成立，
，结论成立，
，
综上，存在非空集合
，使得
是
的倍数．
4 / 4