2024-2025学年江苏省南通市高一上册期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年江苏省南通市高一上册期中数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了已知为实数，则，已知，则的最小值为，函数满足等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集，集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【分析】利用补集的定义求出集合的补集；利用交集的定义求出．
【详解】解：，
故选：．
本题考查利用集合的交集、补集、并集的定义进行交、并、补集的混合运算，属于基础题．
2．设：，：，则是的．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．既非充分也不必要条件
【正确答案】B
【知识点】判断命题的必要不充分条件
【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】解：设，所以，所以是必要非充分条件，故选B.
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．比较基础．
3．已知不等式的解集为，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】A
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】由题意可得2和3是方程的两个根，根据韦达定理可得，从而转化为，解该一元二次不等式即可.
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴2和3是方程的两个根.
∴，可得.
可化为，即，
即,解得.
故选:A.
4．已知为实数，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【正确答案】C
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质证明不等式
【分析】根据不等式性质逐选项判断即可.
【详解】对于A，若，当时，根据不等式性质，故A错误；
对于B，若，当时，大小无法确定，故B错误；
对于C，若，则，，对不等式两边同时乘以，则，故C正确；
对于D，若时，，故D错误，
故选：C.
5．已知函数是定义在R上的函数，且是奇函数，是偶函数，，记，若对于任意的，都有，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．(0,+∞)C．D．
【正确答案】C
【知识点】函数奇偶性的应用、已知二次函数单调区间求参数值或范围、函数方程组法求解析式
【分析】根据解析式及奇偶性，应用函数方程组求它们的解析式，进而可得，由题设易知在（1,2）上单调递减，结合二次函数的性质求a的取值范围即可.
【详解】由题设有：，即，解得，
∴，
对于任意的，都有，即函数在（1,2）上单调递减，
∴或，解得．
故选：C
6．已知，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】B
【分析】根据题意，，将所求式子变形，利用基本不等式求解.
【详解】由，
，，
，
当且仅当，即时等号成立.
故选：A.
7．已知，函数，若对，恒有，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【知识点】分段函数的性质及应用、函数不等式恒成立问题
【分析】先根据函数图像求出恒成立，再根据函数的最值求得即可.
【详解】令，因为，则，由的图像可知或（舍），
则等价于在恒成立，由题意在时，，
因为，当且仅当时，取等号，所以；
因为，
所以的最大值为，的最小值为，所以可得，得.
故选：D.

8．函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（ ）
A．B．C．D．1
【正确答案】C
【知识点】函数基本性质的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数
【分析】首先判断函数关于点对称，再画出函数和的图象，结合函数的对称性，判断交点的个数，利用数形结合，即可求解.
【详解】若函数是奇函数，则，
即，则函数关于点对称，所以
而也关于点对称，恒过点，
方程根，即为函数y=fx与交点的横坐标，
因为两个函数都关于点对称，所以交点也关于点对称，且其中一个交点是，
如图画出两个函数的图象，
若，根据对称性可知，轴左侧和右侧各有3个交点，如图，
当直线过点时，轴右侧有2个交点，此时，
当直线过点时，轴右侧有3个交点，此时，
所以满足条件的的取值范围是，选项中满足条件的只有.
故选：C
关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数的图象，尤其是，并且会利用数形结合，分析临界直线，即可求解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知，是正实数，则下列选项正确的是（ ）
A．若，则有最小值2
B．若，则有最大值5
C．若，则有最大值
D．有最小值
【正确答案】AC
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】将已知转化，再利用基本不等式可判断ABCD选项。
【详解】对于A，，，，
，当且仅当，即时取等号，则有最小值2，故A正确；
对于B，，，，，
当且仅当，即时取等号，则有最大值4，故B错误；
对于C，，，，
，
当且仅当，即时取等号，则则有最大值2，故C正确；
对于D，，当且仅当，即时取等，故D错误；
故选：AC
10．已知定义域为的函数满足，且为奇函数，则（ ）
A．B．函数的一个周期为4
C．D．
【正确答案】BCD
【分析】对于A，根据奇函数的性质分析判断，对于B，令，可判断其为偶函数，再结合为奇函数，可求出其周期判断，对于C，利用的周期分析判断，对于D，由，利用并项求和判断.
【详解】对于A，因为为上的奇函数，所以，所以，
因为，所以，所以A错误，
对于B，令，因为，
所以，所以，所以为偶函数，
因为为上的奇函数，
所以，即，
所以，所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以是以4为周期的周期函数，即函数的一个周期为4，所以B正确，
所以，
所以，所以C正确，
对于D，因为，，
所以，
所以，
所以，，，
，，，
，，
，，
所以
，所以D正确.
故选：BCD
关键点点睛：此题考查利用赋值法求抽象函数的值，考查抽象函数的奇偶性、周期性，解题的关键是根据已知的关系式合理赋值求解，考查逻辑推理能力和计算能力，属于较难题.
11．已知函数，则下列命题正确的有（ ）
A．方程有三个实根
B．方程有四个实根
C．，方程有四个实根
D．，方程有两个实根
【正确答案】ACD
【知识点】求函数零点或方程根的个数
【分析】用判别式法，把看成关于的方程，求出根的情况，再根据每个选项得到需要满足的条件，并进行判断.
【详解】由且，有①，
或都不满足方程①，
时，方程①有一个实数根，
时，，
或时，方程①有两个实数根，
或时，方程①有一个实数根，
时，方程①没有实数根，
对于选项，令，解得或，
时，方程有一个实数根，时，方程有两个实数根，
所以有三个实数根，故正确；
对于选项，即，解得或，
而时，方程没有实数根，时，方程有两个实数根，
所以有两个实数根，故错误；
对于选项，时，对应有两个值，
，与、、比大小，
求得或，此时每一个的值都对应两个实数根，
所以，方程有四个实根，故正确；
对于选项，，对应有两个值，
此时不妨让对应的值一个在，一个在1,+∞，
对应的值其中一个取时，
则或，此时方程有两个实数根，故正确.
故选：ACD.
关键点点睛：本题考查复合函数以及分式方程根的情况，关键是把二次分式函数转化为关于的方程，讨论二次项系数是否为以及的符号，来判断方程根的情况.
12．已知集合，集合，若，则实数的取值范围为 .
【正确答案】
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】求得集合，根据，分和两种情况讨论，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，集合
当时，则，解得；
当时，若，如图所示：则满足 ，解得．
综上，的取值范围为.
本题主要考查了集合间的关系及其应用，其中解答中根据集合间的包含关系，合理分类讨论是解答的关键，同时忽视是解答本题的一个易错点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
13．已知函数，则 ．
【正确答案】
【知识点】已知求解析式
【分析】利用换元法求得，即可求得答案.
【详解】令 ，故由，
可得，
所以.
故
14．已知，均为正数，且，则的最小值为 ．
【正确答案】7
【知识点】条件等式求最值、柯西不等式求最值
【详解】∵a，b均为正数，且ab﹣a﹣2b=0，∴=1．
则=+b2﹣1．
+b==+2≥2+2=4，当且仅当a=4，b=2时取等号．
∴（+b2）（1+1）≥≥16，当且仅当a=4，b=2时取等号．
∴+b2≥8，
∴=+b2﹣1≥7．故选B.
点睛：本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合，集合.
（1）当时，求，；
（2）当时，求实数的值以及集合.
【正确答案】（1）；（2），
【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数、并集的概念及运算
【分析】（1）首先求得集合，当时，解一元二次方程求得集合，由此求得，.
（2）根据得到是的子集，将中元素代入集合，由此求得的值.
【详解】（1）由题意得.
当时，，.
（2），.，，
，解得.
16．某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度（单位：毫米/立方米）随着时间（单位：小时）变化的关系如下：当时，；当时，．若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4（毫克/立方米）时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用．
（1）若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
（2）若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值（精确到0.1，参考数据：取1.4）
【正确答案】（1）8小时；（2）1.6
【分析】（1）由可求出结果；
（2）根据题意求出从第一次喷洒起，经小时后，其浓度关于的函数解析式，再根据基本不等式求出其最小值，再由最小值不低于4，解不等式可得结果.
【详解】（1）因为一次喷洒4个单位的消毒剂，
所以其浓度为
当时，，解得，此时，
当时，，解得，此时，
所以若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达8小时．
（2）设从第一次喷洒起，经小时后，
其浓度，
因为，，
所以，
当且仅当，即时，等号成立；
所以其最小值为，由，解得，
所以a的最小值为．
17．已知函数.
（1）若，判断在上的单调性，并用定义法证明；
（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围；
（3）若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）在单调递增，证明见解析；（2）；（3）
【分析】（1）当时，写出函数的解析式，利用函数单调性的定义可证得结论成立；
（2）由参变量分离法可得，求出函数在0,4上的最大值，即可求得实数的取值范围；
（3）由已知可得出，令，可得出，再令，根据，可求得实数的取值范围.
【详解】（1）证明：当时，，
任取、，且，
则，，，，
所以，，所以，函数在单调递增.
（2）解：由题，因为，则，
所以，，即，
由（1）知，函数在单调递增，
所以，当时，函数取最大值，即，
所以，，则，
因此，实数的取值范围是.
（3）解：对任意的，任意的，恒成立，
即，
令，
因为时，，
则，
所以，对任意的恒成立，
令，则，解得，
所以，实数的取值范围是.
方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法：
（1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且；
（2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；
（3）定号：确定差的符号；
（4）下结论：判断，根据定义得出结论.
即取值作差变形定号下结论.
18．已知函数.
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）设函数在区间上的最小值为，求的表达式；
（3）对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、求二次函数的值域或最值、已知二次函数单调区间求参数值或范围、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）求出函数的对称轴，根据二次函数的性质计算可得；
（2）分、、三种情况讨论，分别求出，即可得解；
（3）结合（2）求出的值域，则当，恒有成立，令，，则，再分、两种情况讨论，分别求出，即可得解.
【详解】（1）函数开口向上，对称轴为，
若在上单调递减，则，即的取值范围为；
（2）因为，，
当时，在上单调递增，所以；
当时，在上单调递减，所以；
当时，；
所以；
（3）当时，则，
因为当，时，恒有成立，
所以当，恒有成立，
令，，则，
当，即时，，解得，所以；
当，即时，，解得，所以；
综上可得.
19．已知定义域为R的函数，若对任意R，m＞n，S，均有，则称是S关联.
（1）判断和证明函数是否是关联？是否是关联？
（2）若是{3}关联，当时，，解不等式：；
（3）证明：“是{1}关联，且是{3}关联”的充要条件为“是关联”.
【正确答案】（1）函数是关联，不是关联，证明见解析；
（2）；
（3）证明见解析.
【知识点】充要条件的证明、利用函数单调性求最值或值域、解分段函数不等式、函数新定义
【分析】（1）根据给定的定义，分别为、时，求的取值区间即可判断作答.
（2）根据给定条件，可得，再结合已知函数分段解不等式并求并集作答.
（3）利用给定的定义，利用推理证明命题的充分性和必要性作答.
【详解】（1）函数是关联，证明如下：
任取R，若，则，
所以函数是关联；
函数不是关联，证明如下：
若，则，
所以函数不是关联.
（2）因是{3}关联，则，有，即，
当时，，而，
即，解得，于是得，
当时，，，不等式无解，
当时，，，而，
即，解得，则有，
当时，，，，不等式无解，
把函数从起每3个单位向右按变换，图象上升，
从起每3个单位向左按变换，图象下降，综上得，
所以不等式的解集为.
（3）必要性：函数是{1}关联，，则，即有，
显然有，，即是{3}关联，，
若，有，则，
即有，因此，
所以函数是关联；
充分性：当函数是关联时，即，，
则有，，即有，
又，则有，于是得，
有，
从而得，即函数是{1}关联；
同理，当，时，
，，，
，又，，即，
于是得，有，即是{3}关联，
所以“是{1}关联，且是{3}关联”的充要条件为“是关联”.
思路点睛：涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.