2024-2025学年浙江省宁波市高一上册10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年浙江省宁波市高一上册10月月考数学检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
3. 命题“，”否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
4. 下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 是（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要
6. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 若函数的值域是，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数，若关于不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 8
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. 的根为和
B. 函数的零点为和
C.
D.
10. 下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 若正实数，满足，则的最小值为2
D. 若正实数，满足，则的最大值为2
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的单调递减区间是
B 若函数，则函数
C. 若，则函数中满足的函数共有9个
D. 若定义在上的函数满足，且，则
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．
12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为________．
13. 已知，且，则的最小值是__________.
14. 若函数在−1,1内恰有一个零点，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
15. 设全集，集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
16. 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中．
（1）求关于的函数解析式；
（2）根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？
17. （1）解关于的不等式，其中；
（2）若对任意，都有，则求实数的取值范围．
18. 已知定义在上函数，其中．
（1）判断函数在上的单调性，并用定义法进行证明；
（2）解不等式；
（3）设，若定义域为时，值域为，则求正实数的取值范围．
19. 已知．
（1）当，时，求的值域；
（2）对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
2024-2025学年浙江省宁波市高一上学期10月月考数学检测试题
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据并集的知识求得正确答案.
【详解】依题意，.
故选：A
2. 已知集合M满足，那么这样的集合的个数为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【正确答案】C
【分析】由题意可知集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，从而可求出集合的个数.
【详解】因为
所以集合中一定包含元素1和2，集合其他元素构成的集合为集合的子集，
所以集合个数为，
故选：C
3. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【正确答案】D
【分析】根据全称命题的否定即可得答案.
【详解】命题“，”的否定是“，”.
故选：D.
4. 下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】利用常用数集，结合集合包含关系逐项判断即得.
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，中不含任何元素，C错误；
对于D，不是的元素，因此不是的子集，D错误.
故选：B
5. 是的（ ）条件
A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要条件D. 既不充分也不必要
【正确答案】D
【分析】根据交集、子集、充分和必要条件等知识进行分析，从而确定正确答案.
【详解】若，如，满足但不满足.
若，如，满足但不满足.
所以是的既不充分也不必要条件.
故选：D
6. 已知，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】根据不等式的性质以及代入特殊值可求得结果.
【详解】对于A，令，则，故选项A错误，不符合题意；
对于B，若，，则，故选项B错误，不符合题意；
对于C，，则a>b>1，即，故选项C正确，符合题意；
对于D，令，则，故选项D错误，不符合题意；
故选：C.
7. 若函数值域是，则函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】由条件，结合不等式性质求的范围即可.
【详解】因为函数的值域是，
所以，
所以，
所以，
所以，
故函数的值域是.
故选：C.
8. 已知函数，若关于的不等式恰有一个整数解，则实数的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. 5D. 8
【正确答案】D
【分析】画出函数的图象，对分类讨论，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出结论.
【详解】函数的图象如图所示：
，
当时，，
由于关于的不等式恰有一个整数解，
因此其整数解必为3，又，，
结合图象可知，解得，
因为要求的最大值，所以不必考虑.
综上所述，的最大值为.
故选：D
方法点睛：
数形结合与图象分析：通过画出函数的图象，结合不等式的条件，利用数形结合的方法直观地分析解的分布情况．数形结合是分析不等式解的一个非常有效的工具．在解题过程中，绘制函数图象并结合不等式条件进行讨论，是找到解集并确定最大值的关键．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A. 的根为和
B. 函数的零点为和
C.
D.
【正确答案】AC
【分析】根据三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的关系，即可得出正确的选项.
【详解】关于的不等式的解集为，
，C选项正确；
且和是关于的方程的两根，
则 ，则，，故D不正确；
不等式解集的端点值就是函数的零点及方程的根，故A正确，B不正确.
故选：AC．
10. 下列说法中正确的是（ ）
A.
B.
C. 若正实数，满足，则的最小值为2
D. 若正实数，满足，则的最大值为2
【正确答案】ABD
分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，当时，，
当且仅当时等号成立.
当时，，
当且仅当时等号成立.
综上所述，成立，A选项正确.
B选项，，
令，则在上单调递增，
故，
当，即时取等号，则，
而成立，所以B选项正确.
C选项，，
，
，不符合题意，所以C选项错误.
D选项，，，
，
当且仅当时等号成立，D选项正确.
故选：ABD
11. 下列说法中正确的是（ ）
A. 函数的单调递减区间是
B. 若函数，则函数
C. 若，则函数中满足的函数共有9个
D. 若定义在上的函数满足，且，则
【正确答案】CD
【分析】根据单调性判断A，根据换元法求选项B，根据映射定义判断C，根据赋值法判断D.
【详解】对于A，多个单调区间不能用并集符号连接，用“，”或“和”连接，故A错误；
对于B，令，则，所以，即，故B错误；
对于C，，满足，则集合中剩2个元素，
但集合中仍有3个元素，集合中每一个元素在集合中都有3个相对应，即个，故C正确；
对于D，，令，则，
则，所以，故D正确；
故选：CD.
三、填空题：本大题共3小题，每题5分，共15分．把答案填在题中的横线上．
12. 若函数的定义域为，则函数的定义域为________．
【正确答案】
【分析】根据抽象函数的定义域可得到的定义域.
【详解】根据的定义域为，即，得到，
则的定义域为，
故答案为.
13. 已知，且，则的最小值是__________.
【正确答案】
【分析】根据已知式子拼凑出，将乘以“2”再除以“2”，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为，所以，
由可得，
则
当且仅当，即时取等，
所以的最小值是，
故答案为.
14. 若函数在−1,1内恰有一个零点，则实数的取值范围是______．
【正确答案】
【分析】根据判别式结合零点存在原理分类讨论即可.
【详解】当时，，解得，符合题意，则；
当时，二次函数的判别式为：，
若，即时，函数的零点为，符合题意，则；
当，即时，由，解得且，
则且；
当时，，方程另一根，当时，
，方程中一根，则或，
所以实数a的取值范围为.
故
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．
15. 设全集，集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【正确答案】（1），
（2）或．
【分析】（1）根据补集、交集的知识求得正确答案.
（2）根据得到，根据是否为空集进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【小问1详解】
当时，，
所以，.
【小问2详解】
，
当时，，
当时，，
综上所述，或．
16. 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的研究调查中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当时，图象是二次函数的一部分，顶点为，听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，听课时间为4分钟的注意力指数为62；当时，图象是线段，其中．
（1）求关于的函数解析式；
（2）根据专家研究，当注意力指数大于62时，学习效果最佳，要使学生学习效果最佳，教师安排核心内容应在什么时间段？
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据已知条件以及图象求得关于的函数解析式；
（2）根据函数的解析式列不等式，由此求得正确答案.
【小问1详解】
由于听课时间为12分钟与听课时间为8分钟的的注意力指数都为78，
，所以顶点的横坐标为，
当时，设，
将代入上式得，
解得，所以，
当时，设，将代入上式得：
，解得，所以.
所以.
小问2详解】
当时，，
当时，，
综上所述，老师在时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳．
17. （1）解关于的不等式，其中；
（2）若对任意，都有，则求实数的取值范围．
【正确答案】（1）答案见解析；（2）.
【分析】（1）利用分类讨论方法求解含参的不等式.
（2）变形给定不等式，构造函数，借助二次函数最值列式求解即得.
【详解】（1）不等式，
当时，，解得，
当时，，解得，
当时，，解得或，
所以当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（2）依题意，对任意的都成立，
而当时，不成立，则，且，即，解得，
所以实数取值范围是.
18. 已知定义在上函数，其中．
（1）判断函数在上的单调性，并用定义法进行证明；
（2）解不等式；
（3）设，若的定义域为时，值域为，则求正实数的取值范围．
【正确答案】（1）在上单调递增；证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）根据单调性的定义法证明即可；
（2）根据单调性得到不等式组，求解即可；
（3）根据值域得到有关的一元二次函数方程，根据根的情况得到不等式组，求解即可.
【小问1详解】
在0,+∞上单调递增；
证明：，且，
，
∵，，∴，，
∴，即，
∴在0,+∞上单调递增；
【小问2详解】
∵在0,+∞上单调递增，，
∴x≥x+3x−1x>0x+3x−1>0，则x−x+3x−1≥0x>0x+3x−1>0解得，
∴；
【小问3详解】
由（1）可知，在上单调递增，
又∵在上的值域为，
∴，
∴方程有两个实根，，即方程有两个不相等的正实根，
∴Δ>0a2a−12a2>012a2>0，∴．
19. 已知．
（1）当，时，求的值域；
（2）对任意，存在，使得，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）将解析式转化为有关的一个一元二次方程，求得最小值即可得到值域；
（2）转化为二次函数恒成立问题，然后根据对号函数求值域即可.
【小问1详解】
，令，则，
，当，时，
因为，则当时，取得最小值为4，
所以的值域为；
【小问2详解】
，令，则，
，，则对任意，存在，使得，
法一：令，则恒成立，
即恒成立，
，
，即或，
存在，使得或，
或，或；
法二：令，则恒成立，
，
当且仅当时等号成立，
，即，下同法一；
所以或.