江苏省南通市2024-2025学年高一上册11月期中数学检测试题（含解析）

这是一份江苏省南通市2024-2025学年高一上册11月期中数学检测试题（含解析），共17页。试卷主要包含了下列各组函数表示同一个函数的是，已知正实数、满足，则的最小值为，已知是定义域为的奇函数，满足，设函数，下列选项中正确的是等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据交集的定义和运算即可求解.
【详解】由题意知，仅点在直线上，
所以.
故选：C
2．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】B
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得结论.
【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题可知：
命题“”的否定为“”.
故选：B
3．已知集合，，且，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】按集合M是是空集和不是空集求出a的范围，再求其并集而得解.
【详解】因，而，
所以时，即，则，此时
时，，则，无解，
综上得，即实数的取值范围是.
故选：C
4．下列各组函数表示同一个函数的是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【正确答案】C
【知识点】具体函数的定义域、判断两个函数是否相等
【分析】利用两函数的定义域与对应关系相同时是同一个函数，逐一分析判断即可得解.
【详解】对于A，函数的定义域为，而的定义域为，
两函数的定义域不相同，所以不是同一个函数，故A错误；
对于B，因为，显然与的对应关系不相同，
所以两函数不是同一个函数，故B错误；
对于C，因为，显然与的定义域与对应关系都相同，
所以两函数是同一个函数，故C正确；
对于D，因为，显然与的对应关系不相同，
所以两函数不是同一个函数，故D错误.
故选：C.
5．已知正实数、满足，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【正确答案】A
【难度】0.65
【来源】河北省石家庄市第十五中学2024-2025学年高一上学期阶段测试卷（一）数学试题
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】在等式的两边同乘以，结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最小值.
【详解】因为正实数满足，
等式两边同乘以可得，
所以，
因为，解得，当且仅当 时，等号成立.
因此，的最小值为.
故选：A.
6．已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（ ）
A．13B．0C．D．1
【正确答案】D
【知识点】函数基本性质的综合应用、函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】根据奇函数的性质得到，，再由，即可得到是以为周期的周期函数，再求出、、的值，即可得解.
【详解】解：因为是定义域为的奇函数，所以，，
又，所以，即，
所以，即是以为周期的周期函数，
又，所以，，
，
所以，
所以
.
故选：D
7．已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围.
【详解】对于函数，当时，，当时，，
而，即有，依题意可得，又，解得，
所以；
当时，函数在上的取值集合为，不符合题意，
当，函数在上单调递增，
则，所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：A
关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论.
8．设函数．若对任意的正实数和实数，总存在，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．−∞,1D．
【正确答案】B
【知识点】函数基本性质的综合应用、分类讨论证明绝对值不等式、根据二次函数的最值或值域求参数
【分析】转化成，即求在的最小值.
【详解】设的最大值为，令，当时，函数单调递减，，，
由，解得
（由，时，；时，；时
（由，，
（由时，，，
综上可得：，
故
本题主要考查了函数的综合应用，根据函数的单调性判断函数的最大值，属于比较难的题目.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列选项中正确的是（ ）
A．若，则的最小值为4
B．若，则的最大值为
C．若，则的最小值为2
D．若，且，则的最大值为7
【正确答案】ABD
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】A选项，直接使用基本不等式即可；B选项，变形后使用基本不等式；C选项，使用基本不等式，但不满足等号成立的条件，C错误；D选项，设，则，，从而得到，利用基本不等式“1”的妙用求出的最小值，从而得到的最大值.
【详解】A选项，若，则，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，故A正确；
B选项，若，则，
故，
当且仅当，即时，等号成立，B正确；
C选项，由基本不等式得，
当且仅当时，等号成立，
但无解，故最小值取不到，C错误；
D选项，设，则，，
则，
因为，所以，
其中
，
当且仅当，即时，等号成立，
故，D正确.
故选：ABD
利用基本不等式求解最值问题，方法灵活，式子不能直接使用基本不等式时，常常需要变形，比如凑项法，“1”的妙用，消元法，多次使用基本不等式等
10．函数的定义域为，已知是奇函数，，当时，，则有（ ）
A．一定是周期函数B．在单调递增
C．D．
【正确答案】AC
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】由抽象函数的性质一一判定即可.
【详解】∵是奇函数，∴，
∴，故C正确；
又，
故，
即是的一个周期，故A正确；
由是奇函数知关于中心对称，即函数在上的单调性与上的单调性一致，
由，则时，，显然此时函数单调递减，即B错误；
由上可知：，故D错误.
故选：AC.
11．已知定义域为R的奇函数，当时，，下列说法中错误的是（ ）
A．当时，恒有
B．若当时，的最小值为，则m的取值范围为
C．存在实数k，使函数有5个不相等的零点
D．若关于x的方程所有实数根之和为0，则
【正确答案】ACD
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、分段函数的单调性、根据分段函数的值域（最值）求参数
【分析】根据奇函数的定义确定在上单调性与性质，然后由函数值大小可判断A，由函数解析式分段求函数值的范围后可判断B，由直线与函数的图象交点个数判断C，求出的根是，然后确定值使根的和为即可判断D．
【详解】选项A，是奇函数，时，，在上递减，且，
是奇函数，则，时，，在上递减，但，因此在上不是增函数，A错；
选项B，当时，，，因此，当时，是减函数，由得，因此，综上有，B正确；
选项C，易知是的一个零点，
由于，过点时，，此时由得，，，即直线与在点处相切，因此时，直线与的图象只有一交点，在时，直线与只有一个交点，
从而时，直线与的图象有三个交点，而时，，因此，直线与的图象无交点，
所以直线与的图象不可能是5个交点，即函数不可能有5个不相等的零点，C错；
选项D，由上讨论知的解为和，
因此若关于x的方程所有实数根之和为0，由是奇函数知若，则的解是和，符合题意，
但（由此讨论知只有一解），即，即时，关于x的方程所有实数根之和也为0，D错．
故选：ACD．
方法点睛：解决分段函数的零点与交点问题，把零点问题转化为直线与函数图象交点问题进行处理，从而利用函数的性质确定出函数解析式，作出函数图象，观察出结论并找到解题思路．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．若不等式的解集是或，则不等式的解集是 ．
【正确答案】
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系
【分析】由题设可得和是方程的两根，利用韦达定理，求得，把不等式转化为不等式，即可求解.
【详解】由题意，不等式的解集是或，
可得和是方程的两根，
所以，解得，
则不等式可化为，即，
因为，所以不等式等价于，
解得，即不等式的解集为.
故答案为.
本题主要考查了一元二次不等式的求解，以及二次式之间的关系，其中解答中根据三个二次式之间的关系，利用韦达定理求得的关系，结合一元二次不等式的解法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
13．若，，且，则的最小值为 ．
【正确答案】2
【知识点】条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】通分后利用已知化简，然后再变形为，利用常数代换，结合基本不等式可得.
【详解】因为，
所以
，
由于，所以，且，
所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为2.
故2
14．已知函数有三个零点，且的图像关于直线对称，则 ；的取值范围为 ．
【正确答案】1；
【知识点】函数对称性的应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】，从而得到，故的图像关于直线对称，求出，，显然为函数的零点，故有两个不相等且不为1的根，由即可得解.
【详解】，则，
定义域为R，且，
故的图像关于直线对称，故，
，
显然为函数的零点，故有两个不相等且不为1的根，
所以，解得.
故，.
思路点睛：函数的对称性，
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
记关于x的不等式的解集为P，不等式|x－1|≤1的解集为Q．
（1）若a＝3，求P；
（2）若Q⊆P，求正数a的取值范围．
【正确答案】（1）{x|－1＜x＜3}；（2）（2，＋∞）
【知识点】根据集合的包含关系求参数、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式、公式法解绝对值不等式
【分析】（1）将a＝3代入，转化为一元二次不等式求解即可；
（2）先求出不等式的解集Q，再由Q⊆P求出a的取值范围．
【详解】（1）由，得，解得－1＜x＜3，则P＝{x|－1＜x＜3}．
（2）Q＝{x||x－1|≤1}＝{x|－1≤x－1≤1}＝{x|0≤x≤2}．
由，得，
由a＞0，得P＝{x|－1＜x＜a}，
又Q⊆P，所以a＞2，即a的取值范围是（2，＋∞）．
16．（本小题满分15分）
已知集合，集合．
（1）若，求；
（2）已知，，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．
（3）若，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）；（3）
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、根据交并补混合运算确定集合或参数、根据必要不充分条件求参数
【分析】（1）解二次不等式与绝对值不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解；
（2）根据题意得到集合是集合的真子集，再利用集合的包含关系得到关于的不等式组，解之即可得解；
（3）先考虑，即的情况，得到的取值范围，进而得到时的取值范围，从而得解.
【详解】（1）解，得，所以，
当时，解，得，所以，
所以.
（2）因为，，若是的必要不充分条件，
所以集合是集合的真子集，
因为是非空集合，，
所以且等号不能同时成立，解得，
故实数的取值范围为.
（3）若，则，
因为，所以或x≥1，
又是非空集合，
所以或，解得或；
所以当时，，
所以的取值范围为.
17．（本小题满分15分）
已知函数．
（1）若，解方程；
（2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（3）若函数在的最小值为，求的解析式．
【正确答案】（1）或；（2）；（3）详见解析.
【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数的单调性求参数值、求二次函数的值域或最值
【分析】（1）当时，解方程，进行分类讨论或，即可得出答案.
（2）由绝对值的定义化简，又因为在上单调递减，则，从而求得实数的取值范围；
（3）通过讨论的范围，求出的最小值，即可求出的解析式.
【详解】（1）当时，
或或.
（2）由
∵在上单调递减，∴
（3）由.
①当时，由（2）知，函数在上单调递减，则：

②当时：此时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，则：
③当时，此时，函数在上单调递增，则：
综上.
18．（本小题满分17分）
已知函数满足对一切实数，都有成立，且在上为单调递减函数．
（1）求，；
（2）解不等式；
（3）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．
【正确答案】（1）；（2）或；（3）或或．
【知识点】求抽象函数的解析式、根据函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）用赋值法先求出，然后可求，；
（2）由再结合函数的单调性可解不等式；
（3）由单调性得在上的最小值，问题变为对恒成立，作为的一次不等式易得结论．
【详解】（1）因为对一切实数，都有，，
令，则，，
令，则，，
令，则，
令，则．
（2）∵，
∴不等式化为
，即，
，∴，又是减函数，
所以，解得或．
解集为或
（3）因为是减函数，∴在上的最小值为，
∴对任意，恒成立，等价于对恒成立，
∴，解得或或．
所求范围是或或．
本题考查抽象函数问题，考查解抽象不等式及不等式恒成立，利用赋值法求抽象函数的函数值，利用函数单调性解抽象不等式是基本方法，问题转化是本题解题关键．
19．（本小题满分17分）
已知集合．对集合A中的任意元素，定义，当正整数时，定义（约定）．
（1）若，求和；
（2）若满足且，求的所有可能结果；
（3）是否存在正整数n使得对任意都有？若存在，求出n的所有取值；若不存在，说明理由．
【正确答案】（1）；
（2）、、、；
（3）存在，n的所有取值为，理由见解析.
【知识点】根据元素与集合的关系求参数、集合新定义
【分析】（1）根据定义依次写出、即可得结果.
（2）由题设有或，再依据定义确定的所有可能结果；
（3）由定义得，依次写出直到即可判断存在性，并确定n的所有取值.
【详解】（1）由题意，，，，
，，，.
（2）由且，
①，
当或1时，，
同理，或1时，，
或1时，，
或1时，，
所以①等价于，则，，
当，，则为满足；
当，，则为满足，
当，，则为满足，
当，，则为满足，
综上，的所有可能结果、、、
（3）存在正整数n使且，理由如下：
由，则，
所以，
若，，
所以，
若，则，，，
所以，对都有，
当时，恒成立，
综上，n所有取值为使成立.
关键点点睛：第二、三问，根据已知条件及的定义依次写出结果，判断存在性并列举出结果.