江苏省徐州市2024-2025学年高一上册期中数学检测试题（含解析）

这是一份江苏省徐州市2024-2025学年高一上册期中数学检测试题（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列表述中正确的是
A．B．，C．D．
【分析】由集合的性质可知，表示没有任何元素的集合，而表示有一个元素0，表示有一个元素，是点的集合，而，表示有2个元素的集合，是数集，表示有一个元素，可判断．
解：由集合的性质可知，表示没有任何元素的集合，而表示有一个元素0，故错误；
表示有一个元素，是点的集合，而，表示有2个元素的集合，是数集，故错误；
表示没有任何元素的集合，而表示有一个元素，故错误；
故选：．
【点评】本题主要考查元素与集合的关系及集合与集合的关系，属于基础题．
2．命题“，”的否定为
A．，B．，C．，D．，
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
解：命题为全称命题，则命题“，”的否定为，．
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
3．下列各组中的两个函数是同一函数的是
①，；
②，；
③，；
④，．
A．①②B．②③C．③D．③④
【分析】根据题意，结合同一函数的概念，逐个判定，即可求解．
解：对于①，函数与，
两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；
对于②，函数，与的对应关系不相同，不是同一函数；
对于③，函数，与，
两个函数的的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于④，函数，与，
两个函数的的定义域不相同，不是同一函数．
综上，是同一函数的只有③．
故选：．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．
4．已知，，则“”是“”的
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】根据题意，设，从充分性和必要性两个方面证明是“”的充分必要条件，据此分析可得答案．
解：根据题意，设，
又由，，则有，且，
若，则有，变形可得，则有，
又由，解可得：，即；
反之：若，即，
即，变形可得，成立，
故是“”的充分必要条件，则“”是“”的必要不充分条件；
故选：．
【点评】本题考查充分必要条件的判断，涉及一元二次方程的分析，属于基础题．
5．已知函数的定义域为，，则函数的定义域为
A．B．，C．D．，
【分析】根据抽象函数定义域的求法计算即可．
解：的定义域为，，
由，解得．
即函数的定义域为，．
故选：．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
6．不等式的解集是
A．B．，，
C．D．，，
【分析】根据二次不等式的解法可解．
解：因为不等式，
则或，
则不等式的解集为，，，
故选：．
【点评】该题考查一元二次不等式的求解，属基础题，
7．已知，，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】设，利用待定系数法求得，，利用不等式的性质即可求的取值范围．
解：设，
所以，解得，即可得，
因为，，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查不等式的性质，属于基础题．
8．设，，且，则的最小值为
A．B．C．D．
【分析】由，化，利用基本不等式求出它的最小值．
解：由，，且，
则，
当且仅当，即，即且时取“”；
所以的最小值为．
故选：．
【点评】本题考查了利用基本不等式求最值的问题，也转化求解能力，是基础题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．下列各个函数中，既是偶函数，又在单调增的有
A．B．C．D．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性、单调性，综合可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于，令，其定义域，有，所以是偶函数，
在区间上，，所以在单调递增，故正确；
对于，令的定义域为，关于原点对称，
令，，所以是偶函数，
因为在单调递增，故正确；
对于，的定义域，关于原点对称，
令，，所以是偶函数，
令，，因为在单调递减，
在单调递减，由复合函数的单调性可得：
在单调递增，故正确；
对于，的定义域为，关于原点对称，
令，，所以是奇函数，故错误．
故选：．
【点评】本题考查函数单调性、奇偶性的判断，注意函数奇偶性、单调性的定义，属于基础题．
10．若正实数，满足，则下列说法正确的是
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值D．有最小值
【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断．
解：由正实数，满足，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为，故选项错误；
由，则，当且仅当时，等号成立，所以有最大值，故选项正确：
由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故选项正确；
由，当且仅当时，等号成立，所以有最小值，故选项正确；
故选：．
【点评】本题考查了基本不等式及其应用，属于中档题．
11．设非空集合满足：当时，有，给出如下四个命题，其中真命题是
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【分析】根据各选项对应、参数值，讨论另一个参数可能取值情况，根据非空集合的定义求出它们的范围．
解：当时，，此时，
若，显然，满足；
若，则，而，不满足；
综上，，有，正确；
当时，，此时，
若，则，此时，满足；
若，则，而，不满足；
综上，时，有，正确；
当时，，此时，
此时，需保证，，则，，
综上，，，正确；
当时，，此时或，
若，需保证，，则，，
若，有，满足，
综上，，，错误．
故选：．
【点评】本题考查了元素与集合的关系、分类讨论思想，理解集合的定义是关键点，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知集合，1，，集合，，，若，则实数的值是 ．
【分析】根据集合的相等求出的值即可．
解：，1，，，，，
若，
则，．
故．
【点评】本题考查了集合的相等的定义，是基础题．
13．已知不等式的解集为，则实数的取值范围为 ， ．
【分析】利用判别式△列不等式求出的取值范围．
解：因为不等式的解集为，
所以△，
解得，
所以实数的取值范围是，．
故，．
【点评】本题考查了一元二次不等式解集为的应用问题，是基础题．
14．已知，且，则的最小值为 ．
【分析】由已知结合乘1法，利用基本不等式即可求解．
解：因为，且，
所以，
则
，
当且仅当，即，时取等号．
故．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知全集，或，，
（1）若，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【分析】（1）代入求出集合，再求交集，并集；（2）先求，再根据条件求实数的取值范围．
解：（1）若，，
，或；
（2），
，
．
【点评】本题考查了集合的运算及集合的包含关系，属于基础题．
16．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）求的值；
（3）当时，求（a），的值．
【分析】（1）由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解；
（2）直接取得答案；
（3）分别取及求解．
解：（1）由题意，，解得且．
函数的定义域为且；
（2）；
（2）（a），．
【点评】本题考查函数的定义域及函数值的求法，是基础题．
17．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示：
（1）请补全函数的图象；
（2）根据图象写出函数的单调递增区间；
（3）求出函数在上的解析式．
【分析】（1）利用偶函数的关于图像关于轴对称，即可作出函数的图象；
（2）根据图像写出单调区间即可；
（3）利用时，，求得，再根据偶函数即可求解．
解：（1）如图所示：
（2）结合图象可得：函数的单调递增区间为和；
（3）当时，，
若时，则，
所以，
因为函数是定义在上的偶函数，
所以，
所以，
故函数在上的解析式为．
【点评】本题考查数形结合的思想函数的单调区间的求法，属于基础题．
18．已知，，，关于的不等式的解集为或．
（1）求，的值；
（2）解关于的不等式；
（3）若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
【分析】（1）根据方程的根的概念，可求，的值．
（2）对的值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式，可解关于的不等式．
（3）分离参数，转化为恒成立问题，通过求函数的值域得的取值范围．
解：（1）由题意：1，是方程的两根．
由，或（舍去）．
故，．
（2）原不等式可化为．
若，则，解得：；
若，则，解得：或；
若，则，
当，即时，解得：；
当，即时，解得：；
当，即时，解得：．
综上可知：当时，不等式的解集为：或；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：；
当时，不等式的解集为：．
（3）问题转化为恒成立，
因为恒成立，所以，恒成立，
因为．
设，则，，
且．
因为，当且仅当，即时取“”．
所以，所以．
所以．
所以的取值范围是：，．
【点评】本题主要考查了二次不等式的求解，二次不等式与二次方程转化关系的应用，不等式恒成立求解参数范围，属于中档题．
19．设为实数，函数．
（1）讨论函数的奇偶性；
（2）当时，证明：函数在区间上单调涕增；
（3）在（2）的条件下，若，，使成立．求实数的取值范围．
【分析】（1）分和两种情况讨论，利用奇偶函数的定义判断可得结果；
（2）按照取值、作差、变形、判号、下结论5个步骤证明即可；
（3）利用单调性求出函数在，上的最小值，再将不等式能成立转化为，解不等式即可得解．
解：（1）因为，
所以当时，，为偶函数，
当时，且，为非奇非偶函数，
综上所述：当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数；
（2）证明：当时，，
任取，，使，
则，
因为，
所以，，，
所以，
所以，
即，
所以，
所以函数在区间上单调递增；
（3）由（2）可知函数在区间，上单调递增，
所以（1），
所以，
解得或，
所以实数的取值范围为，，．
【点评】本题考查了对函数奇偶性的判断、单调性的证明及根据函数的单调性求最值，属于中档题．