江苏省扬州市2024-2025学年高一上册期中数学检测试题（含解析）

这是一份江苏省扬州市2024-2025学年高一上册期中数学检测试题（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，，，2，，则
A．，B．，，C．，2，D．，，，
【分析】解一元二次不等式得到集合，利用集合交集的概念求．
解：由题意可知，．
，，，2，，
，2，．
故选：．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．函数的定义域为
A．，B．，C．，D．，，
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
解：由题意，，解得．
函数的定义域为，．
故选：．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
3．函数的图象大致为
A．B．
C．D．
【分析】由已知，结合函数的性质检验各选项即可判断．
解：由题意，，故排除，
因为，
所以，
故为偶函数，排除，
时，，排除．
故选：．
【点评】本题主要考查了函数的图象与性质的应用，体现了数形结合思想的应用，属于基础题．
4．若，则
A．3B．4C．9D．16
【分析】利用对数的运算性质化简给定式子求解即可．
解：因为，所以，
故得，化简得，
所以，故，故正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
5．已知，则
A．B．C．D．2
【分析】根据对数运算公式，即可求解．
解：，
得．
故选：．
【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
6．使不等式成立的一个充分不必要条件是
A．B．C．D．
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
解：解得，，
使不等式成立的一个充分不必要条件，即找集合的真子集，
因为，
所以是使不等式成立的一个充分不必要条件，
故选：．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．
7．已知二次函数的图象与轴交于，两点，则关于的不等式的解集为
A．B．
C．D．
【分析】利用韦达定理求出，的值，代入解不等式即可．
解：由题意可得的两根为，2，
即，所以，，
所以不等式为，
解得．
故选：．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，属于中档题．
8．已知若，且，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】画出函数图象，结合对称性，数形结合得到，，，，求出，得到答案．
解：画出的图象，如图所示：
设，则，
令，解得或0，
因为的对称轴为，由对称性可得，
且，，
其中，
因为，所以，
故，
又，故，
所以．
故选：．
【点评】本题考查了二次函数的性质、对数函数的性质及数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9．已知，则下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
【分析】由不等式性质判断；特殊值法，，判断，作差法判断、．
解：由，则，错；
当，，时，，错；
，即，对；
，即，对．
故选：．
【点评】本题考查不等式的性质，属于基础题．
10．下列四组函数中，与（或表示同一函数的有
A．B．，
C．，D．
【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．
解：对于，的定义域为，的定义域为，
它们的定义域不同，故它们不是同一函数，故错误；
对于，的定义域为，的定义域为，
它们的对应关系也相同，故它们的值域也相同，故它们是同一函数，故正确；
对于，的定义域为，的定义域为，
它们的定义域不同，故它们不是同一函数，故错误；
对于，的定义域为，的定义域为，
它们的对应关系也相同，故它们的值域也相同，故它们是同一函数，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，属于基础题目．
11．若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是
A．若，则是3阶聚合点集
B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集
C．若，则不是阶聚合点集
D．“，”是“是阶聚合点集”的充要条件
【分析】根据集合新定义的规定，易判断正确；通过举反例排除；按照集合新定义得不出合理结论否定为阶聚合点集判断；运用等价转化思想，即可得到正确．
解：对于，，
则，由已知定义可知，是3阶聚合点集，故正确；
对于，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故错误；
对于，因为，
所以，故不是阶聚合点集，故正确；
对于，是阶聚合点集，则，
因，可得，又因，依题意可得，反之也成立，
故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，故正确．
故选：．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合关系的综合应用，属于中档题．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．命题“，”的否定是 ， ．
【分析】存在改任意，将结论取反，即可求解．
解：命题“，”的否定是：，．
故，．
【点评】本题主要考查特称命题的否定，属于基础题．
13．已知集合，，均是集合，3，5，7，的非空真子集，则以集合，，为元素所构成的集合，，的个数为 4060 ．
【分析】根据集合子集个数结论，得到集合，，的总数，再结合组合知识计算即可．
解：因为集合，，均是集合，3，5，7，的非空真子集，
所以集合，，的总数为，
然后从30个非空真子集中任选3个组成集合即可，
则组合数为．
故4060．
【点评】本题主要考查了集合子集个数公式，考查了排列组合知识，属于基础题．
14．已知函数，，若对任意，，存在，使得，则实数的取值范围 ， ．
【分析】依题意，可求得当，时，的值域，，当时，的值域，，由，列式可求得实数的取值范围．
解：为减函数，当，时，其值域，；
，，
令，则，
，可化为，
由对勾函数的性质可知，在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，
（2），又（1），（6），（6）（1），
，，
当时，的值域为，；
对任意，，存在，使得，
，
，解得．
故，．
【点评】本题考查了函数恒成立问题，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知集合，定义在集合上的两个函数和的值域分别为集合和集合．
（1）若，求，；
（2）若，，且，求实数的取值范围．
【分析】（1）根据条件与集合运算关系求出答案．
（2）根据，即集合为集合的子集，求出实数的取值范围．
解：（1）因为时，集合，
函数的值域：，，函数的值域：，，
所以，，则，，，，．
（2）根据题意，可得集合，其中，，．
当，时，因为为函数在集合上值域，所以，
由得解得，所以实数的取值范围是，．
【点评】本题主要考查集合的包含关系与集合的交、并、补的运算法则，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
16．已知函数，若为偶函数，且（1）．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围．
【分析】（1）根据为偶函数得到，然后根据（1）求出的值，可得的解析式；
（2）根据二次函数的单调性与图象的对称性，建立关于的不等式，解之即可得到本题的答案．
解：（1）由为偶函数，可得在上成立，
所以，即在上成立，可知，即．
由（1），得，即，可得数的解析式为．
（2）由的图象是开口向上的抛物线，关于直线对称，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为，所以，即，
解得或，则的取值范围为，，．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质、函数的奇偶性与单调性等知识，属于基础题．
17．设实数，满足．
（Ⅰ）求的最小值；
（Ⅱ）若，，求的最小值．
【分析】由已知得，代入到所求式子，结合二次函数的性质可求；
由已知结合乘1法．利用基本不等式即可求解．
解：因为，则，
所以，
当时，取得最小值，最小值为，
所以当，时， 取得最小值．
因为，，，
所以，
当且仅当，即 时取等号，
又因为，
所以，当且仅当 时等号成立，
所以，当且仅当 时等号成立，
所以 的最小值为．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
18．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）写出函数的增区间（不需要证明）；
（3）若函数，，求函数的最小值．
【分析】（1）根据奇函数的性质，即可求出函数的解析式；
（2）由（1）直接可写出函数的增区间；
（3）求出函数函数的对称轴，在分别根据，，三种情况，结合二次函数的单调性即可求出函数的最小值．
解：（1）根据题意，设，则，所以
又为奇函数，则，
所以，
又函数是定义在上的奇函数，所以当时，；
所以；
（2）根据题意，由（1）可知，函数的增区间和
（3）根据题意，因为，
所以，
所以函数的对称轴为；
当时，即时，所以在区间，上单调递增函数，
所以（1）；
当时，即时，所以在区间，上单调递减函数，
所以（2）；
当时，即时，所以在区间，上单调递减，在区间，上单调递增，
所以；
综上，
【点评】本题考查函数的奇偶性和最值，涉及函数解析式的求法，属于中档题．
19．2023年10月20日，国务院新闻办举办了2023年三季度工业和信息化发展情况新闻发布会工业和信息化部表示，2023年前三季度，我国新能源汽车产业发展保持强劲的发展势头．在这个重要的乘用车型升级时期，某公司科研人员努力攻克了动力电池单体能量密度达到的关键技术，在技术水平上使得纯电动乘用车平均续驶里程超过460公里．该公司通过市场分析得出，每生产千块动力电池，将收入万元，且该公司每年最多生产1万块此种动力电池，预计2024年全年成本总投入万元，全年利润为万元．由市场调研知，该种动力电池供不应求．（利润收入成本总投入）
（1）求函数的解析式；
（2）当2024年动力电池的产量为多少块时，该企业利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）利用利润函数收入成本总投入，即可求出的解析式．
（2）利用分类讨论法，求出分段函数在每一范围内的函数最大值，再求的最大值，以及取最大值时对应的值．
解：（1）由题意得，利润函数，
因为，
所以当时，，
当时，，
综上知，函数的解析式为．
（2）因为，
当时，，二次函数的图象是抛物线，对称轴是，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且，（5），所以最大值是132.5；
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值207.5；
因为，所以的最大值为207.5，
即当2024年动力电池的产量为7000块时，该企业利润最大，最大利润是207.5万元．
【点评】本题考查了函数的实际应用和分段函数的性质，也考查了函数思想、转化思想和分类讨论思想，是中档题．