高考数学第二轮复习专项练习——三角函数、数列（含答案）

这是一份高考数学第二轮复习专项练习——三角函数、数列（含答案），共22页。
姓名： 得 分：
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（ ）
A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°
2．在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcsA+acsB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（ ）
A．7.5B．7C．6D．5
3．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，csA=．且b＜c，则b=（ ）
A．3B．2C．2D．
4．在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（ ）
A．B．C．D．
5．在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（ ）
A．B．C．D．1
6．在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
8．已知等差数列{an}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（ ）
A．100B．210C．380D．400
9．在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（ ）
A．﹣1B．0C．1D．6
10．在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（ ）
A．12B．16C．20D．24

二．填空题（共10小题，每题3分，共30分）
11．在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC= ．
在△ABC中，已知a=，b=4，A=30°，则sinB= ．
在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a= ．
已知等差数列{an}前17项和S17=51，则a7+a11= ．
已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6= ．
已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是 ．
在数列{an}中，an+1=2an，若a5=4，则a4a5a6= ．
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+，则= ．
在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知sinB﹣sinC=sinA，2b=3c，则csA= ．
20．在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n= ．

三．解答题（共10小题，每题9分，共90分）
21．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cs（A﹣C）+csB=1，a=2c，求C．
23．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcsC=3csAsinC，求b．
25．等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．
26．已知{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．
（Ⅰ）求{an}的通项an；
（Ⅱ）求{an}前n项和Sn的最大值．
27．在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设bn=lg3an，求数列{bn}的前n项和Sn．
等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
29．设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，csB=．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
30．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，csC=
（Ⅰ）求△ABC的周长；
（Ⅱ）求cs（A﹣C）的值．

解三角形、数列测试题
参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）
1． 在△ABC中，若a=2，b=2，A=30°，则B为（ ）
A．60°B．60°或120°C．30°D．30°或150°
【分析】利用正弦定理和题设中两边和一个角的值求得B．
【解答】解：由正弦定理可知 =，
∴sinB==
∵B∈（0，180°）
∴∠B=60°或120°
故选B．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．运用正弦定理a：b：c=sinA：sinB：sinC来解决边角之间的转换关系．属于基础题．

在△ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，若bcsA+acsB=c2，a=b=2，则△ABC的周长为（ ）
A．7.5B．7C．6D．5
【分析】由已知利用余弦定理可求c的值，进而可得周长的值．
【解答】解：∵bcsA+acsB=c2，a=b=2，
∴由余弦定理可得：b×+a×=c2，整理可得：2c2=2c3，
∴解得：c=1，则△ABC的周长为a+b+c=2+2+1=5．
故选：D．
【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，csA=．且b＜c，则b=（ ）
A．3B．2C．2D．
【分析】运用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccsA，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．
【解答】解：a=2，c=2，csA=．且b＜c，
由余弦定理可得，
a2=b2+c2﹣2bccsA，
即有4=b2+12﹣4×b，
解得b=2或4，
由b＜c，可得b=2．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．

在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（ ）
A．B．C．D．
【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC
【解答】解：根据正弦定理，，
则
故选B
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题

在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（ ）
A．B．C．D．1
【分析】由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．
【解答】解：∵a=3，b=5，sinA=，
∴由正弦定理得：sinB===．
故选B
【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，则AC=（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】直接利用余弦定理求解即可．
【解答】解：在△ABC中，若AB=，BC=3，∠C=120°，
AB2=BC2+AC2﹣2AC•BCcsC，
可得：13=9+AC2+3AC，
解得AC=1或AC=﹣4（舍去）．
故选：A．
【点评】本题考查三角形的解法，余弦定理的应用，考查计算能力．

已知{an}为等差数列，a2+a8=12，则a5等于（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】将a2+a8用a1和d表示，再将a5用a1和d表示，从中寻找关系解决，或结合已知，根据等差数列的性质a2+a8=2a5求解．
【解答】解：解法1：∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a2+a8=a1+d+a1+7d=2a1+8d=12；
∴a1+4d=6；
∴a5=a1+4d=6．
解法2：∵a2+a8=2a5，a2+a8=12，
∴2a5=12，
∴a5=6，
故选C．
【点评】解法1用到了基本量a1与d，还用到了整体代入思想；
解法2应用了等差数列的性质：{an}为等差数列，当m+n=p+q（m，n，p，q∈N+）时，am+an=ap+aq．
特例：若m+n=2p（m，n，p∈N+），则am+an=2ap．

已知等差数列{an}中，a2=7，a4=15，则前10项的和S10=（ ）
A．100B．210C．380D．400
【分析】由第二项和第四项的值可以求出首项和公差，写出等差数列前n项和公式，代入n=10得出结果．
【解答】解：d=，a1=3，
∴S10=
=210，
故选B
【点评】若已知等差数列的两项，则等差数列的所有量都可以求出，只要简单数字运算时不出错，问题可解．

在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a6=（ ）
A．﹣1B．0C．1D．6
【分析】直接利用等差中项求解即可．
【解答】解：在等差数列{an}中，若a2=4，a4=2，则a4=（a2+a6）==2，
解得a6=0．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的性质，等差中项个数的应用，考查计算能力．

在等差数列{an}中，已知a4+a8=16，则a2+a10=（ ）
A．12B．16C．20D．24
【分析】利用等差数列的性质可得，a2+a10=a4+a8，可求结果
【解答】解：由等差数列的性质可得，则a2+a10=a4+a8=16，
故选B
【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础试题

二．填空题（共10小题）
11． 在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，则AC= ．
【分析】利用正弦定理和题设中的条件求得AC．
【解答】解：由正弦定理得，
解得
故答案为4
【点评】本题主要考查解三角形的基本知识．已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理

在△ABC中，已知a=，b=4，A=30°，则sinB= ．
【分析】由正弦定理易得=，即可求sinB．
【解答】解：由正弦定理易得=，
所以sinB=
故应填
【点评】考查用正弦定理解三角形，属训练基础知识的题型．

13． 在△ABC中．若b=5，，sinA=，则a= ．
【分析】直接利用正弦定理，求出a 的值即可．
【解答】解：在△ABC中．若b=5，，sinA=，所以，
a===．
故答案为：．
【点评】本题是基础题，考查正弦定理解三角形，考查计算能力，常考题型．

已知等差数列{an}前17项和S17=51，则a7+a11= 6 ．
【分析】先根据S17=51求出2a1+16d的值，再把2a1+16d代入a7+a11即可得到答案．
【解答】解：∵S17===51
∴2a1+16d=6
∴a7+a11=a1+6d+a1+10d=2a1+16d=6
故答案为6
【点评】本题主要考查了等差数列中的通项公式和求和公式．由于公式较多，应注意平时多积累．

已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1=6，a3+a5=0，则S6= 6 ．
【分析】由已知条件利用等差数列的性质求出公差，由此利用等差数列的前n项和公式能求出S6．
【解答】解：∵{an}为等差数列，Sn为其前n项和．
a1=6，a3+a5=0，
∴a1+2d+a1+4d=0，
∴12+6d=0，
解得d=﹣2，
∴S6==36﹣30=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查等差数列的前6项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和，若a1+a22=﹣3，S5=10，则a9的值是 20 ．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a9的值．
【解答】解：∵{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a1+a22=﹣3，S5=10，
∴，
解得a1=﹣4，d=3，
∴a9=﹣4+8×3=20．
故答案为：20．
【点评】本题考查等差数列的第9项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．

在数列{an}中，an+1=2an，若a5=4，则a4a5a6= 64 ．
【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出．
【解答】解：由an+1=2an，a5=4知，数列{an}是等比数列，
故．
故答案为：64．
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+，则= ．
【分析】由已知等式可得c2=4a2﹣4b2，又由余弦定理可得csB=，代入所求化简即可得解．
【解答】解：∵a2=b2+，
∴解得：c2=4a2﹣4b2，
又∵由余弦定理可得：csB=，
∴=====．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知sinB﹣sinC=sinA，2b=3c，则csA= ．
【分析】由已知可得b=，又利用正弦定理可得b﹣c=a，进而可得：a=2c，利用余弦定理即可解得csA的值．
【解答】解：在△ABC中，∵2b=3c，
∴可得：b=，
∵sinB﹣sinC=sinA，
∴由正弦定理可得：b﹣c=a，可得：﹣c=a，整理可得：a=2c，
∴csA===．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

在数列{an}中，a1=2，an+1=2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn=126，则n= 6 ．
【分析】由an+1=2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．
【解答】解：∵an+1=2an，
∴，
∵a1=2，
∴数列{an}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，
∴Sn===2n+1﹣2=126，
∴2n+1=128，
∴n+1=7，
∴n=6．
故答案为：6
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．

三．解答题（共10小题）
21． 在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及csA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，
又A为锐角，
则A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•csA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc=，又sinA=，
则S△ABC=bcsinA=．
【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

22． △ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cs（A﹣C）+csB=1，a=2c，求C．
【分析】由cs（A﹣C）+csB=cs（A﹣C）﹣cs（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC，联立可求C
【解答】解：由B=π﹣（A+C）可得csB=﹣cs（A+C）
∴cs（A﹣C）+csB=cs（A﹣C）﹣cs（A+C）=2sinAsinC=1
∴sinAsinC=①
由a=2c及正弦定理可得sinA=2sinC②
①②联立可得，
∵0＜C＜π
∴sinC=
a=2c即a＞c
【点评】本题主要考查了两角和与差的余弦公式及正弦定理的应用，属于基础试题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【分析】（Ⅰ）由csA=得到A为锐角且利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据三角形的内角和定理得到C=π﹣﹣A，然后将C的值代入sinC，利用两角差的正弦函数公式化简后，将sinA和csA代入即可求出值；
（Ⅱ）要求三角形的面积，根据面积公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里边的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵A、B、C为△ABC的内角，且＞0，
∴A为锐角，
则sinA==
∴
∴sinC=sin（﹣A）=csA+sinA=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinA=，sinC=，
又∵，
∴在△ABC中，由正弦定理，得
∴a==，
∴△ABC的面积S=absinC=×××=．
【点评】考查学生灵活运用正弦定理、三角形的面积公式及同角三角函数间的基本关系化简求值．灵活运用两角和与差的正弦函数公式化简求值．

在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a2﹣c2=2b，且sinAcsC=3csAsinC，求b．
【分析】根据正弦定理和余弦定理将sinAcsC=3csAsinC化成边的关系，再根据a2﹣c2=2b即可得到答案．
【解答】解：法一：在△ABC中∵sinAcsC=3csAsinC，
则由正弦定理及余弦定理有：
，
化简并整理得：2（a2﹣c2）=b2．
又由已知a2﹣c2=2b∴4b=b2．
解得b=4或b=0（舍）；
法二：由余弦定理得：a2﹣c2=b2﹣2bccsA．
又a2﹣c2=2b，b≠0．
所以b=2ccsA+2①又sinAcsC=3csAsinC，
∴sinAcsC+csAsinC=4csAsinCsin（A+C）=4csAsinC，
即sinB=4csAsinC由正弦定理得，
故b=4ccsA②由①，②解得b=4．
【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用．属基础题．

等差数列{an}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．
【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）bn=2+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+…+b10的值．
【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，
解得，
所以an=3+（n﹣1）=n+2；
（Ⅱ）bn=2+n=2n+n，
所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+（210+10）
=（2+22+…+210）+（1+2+…+10）
=+=2101．
【点评】本题考查等差数列的通项，考查数列的求和，求出数列的通项是关键．

已知{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=﹣5．
（Ⅰ）求{an}的通项an；
（Ⅱ）求{an}前n项和Sn的最大值．
【分析】（1）用两个基本量a1，d表示a2，a5，再求出a1，d．代入通项公式，即得．
（2）将Sn的表达式写出，是关于n的二次函数，再由二次函数知识可解决之．
【解答】解：（Ⅰ）设{an}的公差为d，由已知条件，，
解出a1=3，d=﹣2，所以an=a1+（n﹣1）d=﹣2n+5．
（Ⅱ）=4﹣（n﹣2）2．
所以n=2时，Sn取到最大值4．
【点评】本题是对等差数列的基本考查，先求出两个基本量a1和d，其他的各个量均可以用它们表示．

在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设bn=lg3an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn=lg3an，得到数列{bn}的通项公式，由此得到数列{bn}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，
由a2=3，a5=81，得
，解得．
∴；
（Ⅱ）∵，bn=lg3an，
∴．
则数列{bn}的首项为b1=0，
由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），
可知数列{bn}是以1为公差的等差数列．
∴．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．

等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式
【解答】解：设数列的公差为d
由得，3
∴a2=0或a2=3
由题意可得，
∴
若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意
若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）
解可得d=0或d=2
∴an=3或an=2n﹣1
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题

设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，csB=．
（1）求a，c的值；
（2）求sin（A﹣B）的值．
【分析】（1）利用余弦定理列出关系式，将b与csB的值代入，利用完全平方公式变形，求出acb的值，与a+c的值联立即可求出a与c的值即可；
（2）先由csB的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinB的值，再由a，b及sinB的值，利用正弦定理求出sinA的值，进而求出csA的值，所求式子利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）∵a+c=6①，b=2，csB=，
∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accsB=（a+c）2﹣2ac﹣ac=36﹣ac=4，
整理得：ac=9②，
联立①②解得：a=c=3；
（2）∵csB=，B为三角形的内角，
∴sinB==，
∵b=2，a=3，sinB=，
∴由正弦定理得：sinA===，
∵a=c，即A=C，∴A为锐角，
∴csA==，
则sin（A﹣B）=sinAcsB﹣csAsinB=×﹣×=．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，csC=
（Ⅰ）求△ABC的周长；
（Ⅱ）求cs（A﹣C）的值．
【分析】（I）利用余弦定理表示出c的平方，把a，b及csC的值代入求出c的值，从而求出三角形ABC的周长；
（II）根据csC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后由a，c及sinC的值，利用正弦定理即可求出sinA的值，根据大边对大角，由a小于c得到A小于C，即A为锐角，则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出csA的值，然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子，把各自的值代入即可求出值．
【解答】解：（I）∵c2=a2+b2﹣2abcsC=1+4﹣4×=4，
∴c=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5．
（II）∵csC=，∴sinC===．
∴sinA===．
∵a＜c，∴A＜C，故A为锐角．则csA==，
∴cs（A﹣C）=csAcsC+sinAsinC=×+×=．
【点评】本题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查学生的基本运算能力，是一道基础题．