高考数学第二轮复习专项练习——三角函数（含解析）

这是一份高考数学第二轮复习专项练习——三角函数（含解析），共20页。试卷主要包含了设sinα=，α∈，若α∈，设tan，函数f，函数是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共15小题）
1．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
2．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若sin2α＞0，且csα＜0，则角α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
4．若α为第二象限角，sinα=，则csα=（ ）
A．B．C．D．
5．设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
6．已知sinθ+csθ=，，则sinθ﹣csθ的值为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
7．若α∈（，π），则3cs2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
8．设tan（5π+α）=m，则的值为（ ）
A．B．﹣1C．D．1
9．函数f（x）=cs（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ﹣，kπ+，），k∈zB．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z
C．（k﹣，k+），k∈zD．（，2k+），k∈z
10．函数是（ ）
A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数
11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cs2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
12．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
13．函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）
14．已知tan（α﹣）=，则的值为（ ）
A．B．2C．2D．﹣2
15．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）
A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=

二．填空题（共10小题）
16．已知，则= ．
17．已知，则值为 ．
18．已知tanα=3，则= ．
19．已知f（x）=，则f（）的值为 ．
20．已知sinα=+csα，且α∈（0，），则的值为 ．
21．若，则= ．
22．已知，，，则tanβ= ；= ．
23．若α为锐角，cs2α=，则tan（α+）= ．
24．已知α为第四象限的角，且= ．
25．函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为 ．

三．解答题（共5小题）
26．设f（x）=sinxcsx﹣cs2（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．
27．已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．
已知sinα=，求tan（α+π）+的值．
29．化简：
（1）
（2）•sin（α﹣2π）•cs（2π﹣α）．
30．设α为锐角，已知sinα=．
（1）求csα的值；
（2）求cs（α+）的值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）
1．为得到函数的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个长度单位B．向右平移个长度单位
C．向左平移个长度单位D．向右平移个长度单位
【分析】先根据诱导公式将函数化为正弦的形式，再根据左加右减的原则进行平移即可得到答案．
【解答】解：∵，
只需将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到函数的图象．
故选A．
【点评】本题主要考查诱导公式和三角函数的平移．属基础题．

2．若sinα＞0，且tanα＜0，则角α的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】由sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，由tanα＜0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．
【解答】解：∵sinα＞0，则角α的终边位于一二象限，
∵由tanα＜0，
∴角α的终边位于二四象限，
∴角α的终边位于第二象限．
故选择B．
【点评】本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．

3．若sin2α＞0，且csα＜0，则角α是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【分析】csα＜0，确定α的象限，sin2α＞0，确定sinα的范围，再确定α的范围；然后推出结论．
【解答】解：由csα＜0，可知α是二，三象限角；
由sin2α=2sinαcsα＞0，可得sinα＜0可知：α是三、四象限角；
所以α是第三象限角
故选C．
【点评】本题考查象限角、轴线角，任意角的三角函数的定义，二倍角的正弦，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．

4．若α为第二象限角，sinα=，则csα=（ ）
A．B．C．D．
【分析】由α为第二象限角，得到csα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出csα的值．
【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，
∴csα=﹣=﹣．
故选A
【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．

5．设sinα=，α∈（，π），则tanα的值为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】根据角的范围，求出csα，再求tanα．
【解答】解：sinα=，
∴csα=﹣，
tanα==﹣．
故选B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，sinα=，csα=﹣是对应三角函数值，理解记忆；是基础题．

6．已知sinθ+csθ=，，则sinθ﹣csθ的值为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】由题意可得可得1＞csθ＞sinθ＞0，2sinθcsθ=，再根据sinθ﹣csθ=﹣，计算求得结果．
【解答】解：由sinθ+csθ=，，可得1＞csθ＞sinθ＞0，1+2sinθcsθ=，
∴2sinθcsθ=．
∴sinθ﹣csθ=﹣=﹣=﹣，
故选：B．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，正弦函数、余弦函数的定义域和值域，属于基础题．

7．若α∈（，π），则3cs2α=sin（﹣α），则sin2α的值为（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】直接利用两角和与差的三角函数以及二倍角的余弦函数化简函数的表达式，利用平方关系式求出结果即可．
【解答】解：3cs2α=sin（﹣α），
可得3cs2α=（csα﹣sinα），
3（cs2α﹣sin2α）=（csα﹣sinα），
∵α∈（，π），∴sinα﹣csα≠0，
上式化为：sinα+csα=，
两边平方可得1+sin2α=．
∴sin2α=．
故选：D．
【点评】本题主要考查二倍角的余弦函数，同角三角函数的基本关系的应用，属于中档题．

8．设tan（5π+α）=m，则的值为（ ）
A．B．﹣1C．D．1
【分析】利用诱导公式，再将所求值的关系式转化为关于tanα的关系式即可．
【解答】解：∵tan（5π+α）=m，
∴tanα=m，
∴
=
=
=．
故选C．
【点评】本题考查三角函数的诱导公式的作用，考查同角三角函数间的基本关系，考查转化思想与运算能力，属于基础题．

9．函数f（x）=cs（ωx+φ）的部分图象如图所示，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A．（kπ﹣，kπ+，），k∈zB．（2kπ﹣，2kπ+），k∈z
C．（k﹣，k+），k∈zD．（，2k+），k∈z
【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ，可得f（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性，求得f（x）的减区间．
【解答】解：由函数f（x）=cs（ωx+ϕ）的部分图象，可得函数的周期为=2（﹣）=2，∴ω=π，f（x）=cs（πx+ϕ）．
再根据函数的图象以及五点法作图，可得+ϕ=，k∈z，即ϕ=，f（x）=cs（πx+）．
由2kπ≤πx+≤2kπ+π，求得 2k﹣≤x≤2k+，故f（x）的单调递减区间为（，2k+），k∈z，
故选：D．
【点评】本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；还考查了余弦函数的单调性，属于基础题．

10．函数是（ ）
A．周期为π的奇函数B．周期为π的偶函数
C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数
【分析】利用诱导公式化简函数，然后直接求出周期，和奇偶性，确定选项．
【解答】解：因为：=2cs2x，
所以函数是偶函数，周期为：π
故选B．
【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，正弦函数的奇偶性，考查计算能力，是基础题．

11．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cs2x的图象，则只要将f（x）的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【分析】先根据图象确定A和T的值，进而根据三角函数最小正周期的求法求ω的值，再将特殊点代入求出φ值从而可确定函数f（x）的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可．
【解答】解：由图象可知A=1，T=π，∴ω==2
∴f（x）=sin（2x+φ），又因为f（）=sin（+φ）=﹣1
∴+φ=+2kπ，φ=（k∈Z）
∵|φ|，∴φ=
∴f（x）=sin（2x+）=sin（+2x﹣）=cs（﹣2x）=cs（2x﹣）
∴将函数f（x）向左平移可得到cs[2（x+）﹣]=cs2x=y
故选C．
【点评】本题主要考查根据图象求函数解析式和方法和三角函数的平移变换．根据图象求三角函数解析式时，一般先根据图象确定A的值和最小正周期的值，进而求出w的值，再将特殊点代入求φ的值．

12．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度
【分析】把化为，故把的图象向左平移个单位，即得函数y=cs2x的图象．
【解答】解：=，
故把的图象向左平移个单位，即得函数的图象，
即得到函数的图象．
故选 C．
【点评】本题考查诱导公式，以及y=Asin（ωx+∅）图象的变换，把两个函数化为同名函数是解题的关键．

13．函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，则（ ）
A．y=2sin（2x﹣）B．y=2sin（2x﹣）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）
【分析】根据已知中的函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象，求出满足条件的A，ω，φ值，可得答案．
【解答】解：由图可得：函数的最大值为2，最小值为﹣2，故A=2，
=，故T=π，ω=2，
故y=2sin（2x+φ），
将（，2）代入可得：2sin（+φ）=2，
则φ=﹣满足要求，
故y=2sin（2x﹣），
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，确定各个参数的值是解答的关键．

14．已知tan（α﹣）=，则的值为（ ）
A．B．2C．2D．﹣2
【分析】由tan（α﹣）=，求出tanα，然后对表达式的分子、分母同除以csα，然后代入即可求出表达式的值．
【解答】解：由tan（α﹣）==，
得tanα=3．
则=．
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的化简求值，注意表达式的分子、分母同除以csα，是解题的关键，是基础题．

15．设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（ ）
A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=
【分析】化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=csα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=csα，则答案可求．
【解答】解：由tanα=，得：
，
即sinαcsβ=csαsinβ+csα，
sin（α﹣β）=csα=sin（），
∵α∈（0，），β∈（0，），
∴当时，sin（α﹣β）=sin（）=csα成立．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．

二．填空题（共10小题）
16．已知，则= ．
【分析】根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin（α+）的值代入即可求得答案．
【解答】解：=sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了运用诱导公式化简求值的问题．属基础题．

17．已知，则值为 ．
【分析】由于+=π，利用互为补角的诱导公式即可．
【解答】解：∵+=π，sin（π﹣α）=sinα，
∴sin=sin（π﹣）=sin，
又，
∴=．
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式的作用，关键在于观察到+=π，再用互为补角的诱导公式即可，属于基础题．

18．已知tanα=3，则= 2 ．
【分析】将原式分子分母同时除以csα，化为关于tanα的三角式求解．
【解答】解：将原式分子分母同时除以csα，得==2
故答案为：2
【点评】本题主要考查了同角三角函数，考查转化计算能力．

19．已知f（x）=，则f（）的值为 ．
【分析】因为大于0，所以选择合适的解析式f（x）=f（x﹣1）+1，利用函数的周期性及特殊角的三角函数得到值即可．
【解答】解：当x＞0时，f（x）=f（x﹣1）+1，故===．
故答案为
【点评】本题主要考查分段函数，函数的周期性，三角函数的求值等．有关函数方程问题时常出现在高考试题中，考生应该进行专题研究．

20．已知sinα=+csα，且α∈（0，），则的值为 ﹣ ．
【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式，求得要求式子的值．
【解答】解：∵sinα=+csα，即sinα﹣csα=，
∴===﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查二倍角的余弦公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．

若，则= ．
【分析】根据诱导公式以及二倍角公式化简计算即可．
【解答】解：，则=cs（2α+）=2cs2（α+）﹣1=2×﹣1=，
故答案为：．
【点评】本题考查了诱导公式以及二倍角公式，属于基础题．

已知，，，则tanβ= 3 ；= ．
【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求csα，tanα的值，由利用两角差的正切函数公式即可解得tanβ的值，利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求值．
【解答】解：∵，，
∴cs=，tanα==，
∵==，
∴解得：tanβ=3，
∴=====．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了两角差的正切函数公式，诱导公式，二倍角的余弦函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

若α为锐角，cs2α=，则tan（α+）= 3 ．
【分析】由α为锐角，cs2α==2cs2α﹣1，解得csα，可得sinα=，tanα=．代入展开tan（α+）即可得出．
【解答】解：∵α为锐角，cs2α==2cs2α﹣1，解得csα=，
∴sinα==．
∴tanα=．
则tan（α+）==3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了倍角公式、同角三角函数基本关系式、和差公式，考查了推理能力 与计算能力，属于中档题．

已知α为第四象限的角，且= ．
【分析】先利用诱导公式求出csα，然后根据α所在的象限判断出sinα的正负，然后利用同角三角函数的基本关系，根据csα的值求得sinα的值，进而求得tanα．
【解答】解：∵sin（+α）=csα= α为第四象限的角
∴sinα=﹣=﹣
∴tanα==﹣
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，注重了对学生基础知识的掌握．学生做题时注意α的范围．

函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为 π ．
【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．
【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cs2x，
∴函数的最小正周期为=π，
故答案为：π．
【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．

三．解答题（共5小题）
26． 设f（x）=sinxcsx﹣cs2（x+）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．
【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=sin2x﹣，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得f（x）的单调递增区间，由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得单调递减区间．
（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA，csA，由余弦定理可得：bc，且当b=c时等号成立，从而可求bcsinA≤，从而得解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，f（x）=sin2x﹣
=sin2x﹣
=sin2x﹣
由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；
由2k≤2x≤2k，k∈Z可解得：k≤x≤k，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间是[k，k]，（k∈Z）；单调递减区间是：[k，k]，（k∈Z）；
（Ⅱ）由f（）=sinA﹣=0，可得sinA=，
由题意知A为锐角，所以csA=，
由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccsA，
可得：1+bc=b2+c2≥2bc，即bc，且当b=c时等号成立．
因此S=bcsinA≤，
所以△ABC面积的最大值为．
【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．

27.已知函数f（x）=sinx﹣2sin2．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间[0，]上的最小值．
【分析】（1）由三角函数恒等变换化简函数解析式可得f（x）=2sin（x+）﹣，由三角函数的周期性及其求法即可得解；
（2）由x∈[0，]，可求范围x+∈[，π]，即可求得f（x）的取值范围，即可得解．
【解答】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2
=sinx﹣2×
=sinx+csx﹣
=2sin（x+）﹣
∴f（x）的最小正周期T==2π；
（2）∵x∈[0，]，
∴x+∈[，π]，
∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，
∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．

28．已知sinα=，求tan（α+π）+的值．
【分析】根据sinα的值大于0，判断α的范围为第一或第二象限角，分象限，利用同角三角函数间的基本关系求出csα的值，然后把所求的式子利用诱导公式化简后，把sinα和csα的值分别代入即可求出值．
【解答】解：∵sinα=＞0，∴α为第一或第二象限角．
当α是第一象限角时，csα==，
tan（α+π）+=tanα+=+==．
当α是第二象限角时，csα=﹣=﹣，原式==﹣．
【点评】此题是一道基础题，要求学生灵活运用同角三角函数间的关系及诱导公式化简求值，值得让学生注意的是根据正弦值判断角度的范围．

29．化简：
（1）
（2）•sin（α﹣2π）•cs（2π﹣α）．
【分析】由条件利用诱导公式对所给的式子进行化简，从而求得结果．
【解答】解：（1）===1．
（2）•sin（α﹣2π）•cs（2π﹣α）=•sinα•csα=sin2α．
【点评】本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．

30．（2016•长沙校级模拟）设α为锐角，已知sinα=．
（1）求csα的值；
（2）求cs（α+）的值．
【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式求解即可．
（2）利用两角和与差的三角函数化简求解即可．
【解答】解：（1）∵α为锐角，且，∴，综上所述，结论是：．
（2）=．
综上所述，结论是：．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力．