高考数学第二轮复习专项练习——向量（含解析）

这是一份高考数学第二轮复习专项练习——向量（含解析），共24页。试卷主要包含了在平面直角坐标系中，已知两点A，平面向量=，已知向量=，若向量、满足，已知点A等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（共11小题）
1．在平面直角坐标系中，已知两点A（cs80°，sin80°），B（cs20°，sin20°），则||的值是（ ）
A．B．C．D．1
2．在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学=2，则•（+）等于（ ）
A．B．C．D．
3．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（ ）
A．B．C．D．2
4．平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
5．已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6．已知向量=（csθ，sinθ），向量=（，﹣1）则|2﹣|的最大值，最小值分别是（ ）
A．4，0B．4，4C．16，0D．4，0
7．若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（ ）
A．2B．C．1D．
8．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
9．已知向量=（sinα，csα），=（3，4），且∥，则tanα等于（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
11．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A．B．C．4D．12

二．填空题（共12小题）
12．已知向量，．若，则实数k= ．
13．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为60°，则|﹣|= ．
14．已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），若（）∥，则k= ．
15．在▱ABCD中，M为BC的中点，则= ．（用表示）
16．设0＜θ＜，向量=（sin2θ，csθ），=（csθ，1），若∥，则tanθ= ．
17．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ．
18．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ= ．
19．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k= ．
20．已知向量⊥，||=3，则•= ．
21．若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||= ．
22．设0＜θ＜，向量=（sin2θ，csθ），=（1，﹣csθ），若•=0，则tanθ= ．
23．若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为 ．

三．解答题（共7小题）
24．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）
（1）若c=5，求sin∠A的值；
（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．
25．设向量
（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．
26．已知向量，，且•．
（Ⅰ）求tanA的值；
（Ⅱ）求函数的值域．
27．设函数f（x）=•，其中向量=（m，cs2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点．
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．
28．已知向量，，．
（1）若，求θ；
（2）求的最大值．
29．已知向量=（sinθ，csθ﹣2sinθ），=（1，2）．
（1）若，求tanθ的值；
（2）若，求θ的值．
30．设函数，其中向量，，，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象按向量平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的．

高考真题向量专项训练
参考答案与试题解析

一．选择题（共11小题）
1．在平面直角坐标系中，已知两点A（cs80°，sin80°），B（cs20°，sin20°），则||的值是（ ）
A．B．C．D．1
【分析】根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．
【解答】解：∵A（cs80°，sin80°），B（cs20°，sin20°），
∴||===1．
故选D．
【点评】本题考查了向量模的坐标运算，即把点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简求值．

2．在△ABC中，M是BC的中点，AM=1，点P在AM上且满足学=2，则•（+）等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解．
【解答】解：∵M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，
又由点P在AM上且满足
∴P是三角形ABC的重心
∴
==﹣
又∵AM=1
∴=
∴=﹣
故选A
【点评】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：①定义：三条中线的交点．②性质：或取得最小值③坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数．

3．在△ABC中，∠A=90°，AB=1，AC=2．设点P，Q满足，，λ∈R．若=﹣2，则λ=（ ）
A．B．C．D．2
【分析】由题意可得=0，根据=﹣（1﹣λ）﹣λ=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，求得λ的值．
【解答】解：由题意可得=0，
由于=（）•（）=[﹣]•[﹣]
=0﹣（1﹣λ）﹣λ+0=（λ﹣1）4﹣λ×1=﹣2，
解得 λ=，
故选B．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算，属于中档题．

4．平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【分析】由已知求出向量的坐标，再根据与的夹角等于与的夹角，代入夹角公式，构造关于m的方程，解方程可得答案．
【解答】解：∵向量=（1，2），=（4，2），
∴=m+=（m+4，2m+2），
又∵与的夹角等于与的夹角，
∴=，
∴=，
∴=，
解得m=2，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是数量积表示两个向量的夹角，难度中档．

5．已知向量=（1，k），=（2，2），且+与共线，那么•的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用向量的运算法则求出两个向量的和；利用向量共线的充要条件列出方程求出k；利用向量的数量积公式求出值．
【解答】解：∵=（3，k+2）
∵共线
∴k+2=3k
解得k=1
∴=（1，1）
∴=1×2+1×2=4
故选D
【点评】本题考查向量的运算法则、考查向量共线的充要条件、考查向量的数量积公式．

6．已知向量=（csθ，sinθ），向量=（，﹣1）则|2﹣|的最大值，最小值分别是（ ）
A．4，0B．4，4C．16，0D．4，0
【分析】先表示2﹣，再求其模，然后可求它的最值．
【解答】解：2﹣=（2csθ﹣，2sinθ+1），
|2﹣|=
=，最大值为 4，最小值为 0．
故选D．
【点评】本题考查平面向量数量积的运算，三角函数的最值，是中档题．

7．若向量、满足：||=1，（+）⊥，（2+）⊥，则||=（ ）
A．2B．C．1D．
【分析】由条件利用两个向量垂直的性质，可得（+）•=0，（2+）•=0，由此求得||．
【解答】解：由题意可得，（+）•=+=1+=0，∴=﹣1；
（2+）•=2+=﹣2+=0，∴b2=2，
则||=，
故选：B．
【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量垂直，则它们的数量积等于零，属于基础题．

8．已知点A（1，3），B（4，﹣1），则与向量同方向的单位向量为（ ）
A．B．C．D．
【分析】由条件求得 =（3，﹣4），||=5，再根据与向量同方向的单位向量为 求得结果．
【解答】解：∵已知点A（1，3），B（4，﹣1），∴=（4，﹣1）﹣（1，3）=（3，﹣4），||==5，
则与向量同方向的单位向量为 =，
故选A．
【点评】本题主要考查单位向量的定义和求法，属于基础题．

9．已知向量=（sinα，csα），=（3，4），且∥，则tanα等于（ ）
A．B．﹣C．D．﹣
【分析】利用向量平行的坐标形式的充要条件列出方程，将方程两边同除以余弦求出正切．
【解答】解：∵
∴4sinα=3csα
∴
故选A
【点评】本题考查两向量共线的充要条件、三角函数的商数关系．是基础题．

10．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若=2，=，则λ=（ ）
A．B．C．﹣D．﹣
【分析】本题要求字母系数，办法是把表示出来，表示时所用的基底要和题目中所给的一致，即用和表示，画图观察，从要求向量的起点出发，沿着三角形的边走到终点，把求出的结果和给的条件比较，写出λ．
【解答】解：在△ABC中，已知D是AB边上一点
∵=2，=，
∴=，
∴λ=，
故选A．
【点评】经历平面向量分解定理的探求过程，培养观察能力、抽象概括能力、体会化归思想，基底给定时，分解形式唯一，字母系数是被基底唯一确定的数量．

11．平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|=（ ）
A．B．C．4D．12
【分析】根据向量的坐标求出向量的模，最后结论要求模，一般要把模平方，知道夹角就可以解决平方过程中的数量积问题，题目最后不要忘记开方．
【解答】解：由已知|a|=2，
|a+2b|2=a2+4a•b+4b2=4+4×2×1×cs60°+4=12，
∴|a+2b|=．
故选：B．
【点评】本题是对向量数量积的考查，根据两个向量的夹角和模之间的关系，根据和的模两边平方，注意要求的结果非负，舍去不合题意的即可．两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积，结果可正、可负、可以为零，其符号由夹角的余弦值确定．

二．填空题（共12小题）
12．已知向量，．若，则实数k= ．
【分析】根据向量平行的充要条件可得关于k的方程，解出即可．
【解答】解：由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，
故答案为：．
【点评】本题考查向量共线的充要条件，若，则⇔x1y2﹣x2y1=0．

13．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角为60°，则|﹣|= ．
【分析】根据题意和根据向量的减法几何意义画出图形，再由余弦定理求出||的长度．
【解答】解：如图，
由余弦定理得：||=
==
故答案为：．
【点评】本题考查的知识点有向量的夹角、向量的模长公式、向量三角形法则和余弦定理等，注意根据向量的减法几何意义画出图形，结合图形解答．

14．已知向量=（3，1），=（1，3），=（k，7），若（）∥，则k= 5 ．
【分析】由题意可得 =（3﹣k，﹣6），由（）∥，可得（3﹣k，﹣6）=λ（1，3），解出 k 值．
【解答】解：由题意可得=（3﹣k，﹣6），
∵（）∥，
∴（3﹣k，﹣6）=λ（1，3），
∴3﹣k=λ，﹣6=3λ，解得 k=5，
故答案为 5．
【点评】本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到 （3﹣k，﹣6）=λ（1，3），是解题的关键．

15．在▱ABCD中，M为BC的中点，则= ．（用表示）
【分析】根据题目所给的一组基底，把表示出来，注意M和N两点的位置，一个是中点，另一个是四等分点，从起点M出发，走到终点N，过程中尽量用已知条件来表示．
【解答】解：∵
∴，
，
∴
=．
故答案为：
【点评】用一组向量来表示一个向量，是以后解题过程中常见到的，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．

16．设0＜θ＜，向量=（sin2θ，csθ），=（csθ，1），若∥，则tanθ= ．
【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出．
【解答】解：∵∥，向量=（sin2θ，csθ），=（csθ，1），
∴sin2θ﹣cs2θ=0，
∴2sinθcsθ=cs2θ，
∵0＜θ＜，∴csθ≠0．
∴2tanθ=1，
∴tanθ=．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式，属于基础题．

17．已知向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）（m，n∈R），则m﹣n的值为 ﹣3 ．
【分析】直接利用向量的坐标运算，求解即可．
【解答】解：向量=（2，1），=（1，﹣2），若m+n=（9，﹣8）
可得，解得m=2，n=5，
∴m﹣n=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查向量的坐标运算，向量相等条件的应用，考查计算能力．

18．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ= ．
【分析】依题意，+=，而=2，从而可得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD交于点O，
∴+=，
又O为AC的中点，
∴=2，
∴+=2，
∵+=λ，
∴λ=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题．

19．已知向量=（，1），=（0，﹣1），=（k，）．若与共线，则k= 1 ．
【分析】利用向量的坐标运算求出的坐标；利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程，求出k的值．
【解答】解：
∵与共线，
∴
解得k=1．
故答案为1．
【点评】本题考查向量的坐标运算、考查向量共线的坐标形式的充要条件：坐标交叉相乘相等．

20．已知向量⊥，||=3，则•= 9 ．
【分析】由已知结合平面向量是数量积运算求得答案．
【解答】解：由⊥，得•=0，即•（）=0，
∵||=3，
∴．
故答案为：9．
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，是基础的计算题．

21．若向量=（1，﹣3），||=||，•=0，则||= ．
【分析】利用向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系即可得出．
【解答】解：设=（x，y），∵向量=（1，﹣3），||=||，•=0，
∴，解得或．
∴=（3，1），（﹣3，﹣1）．
∴==（2，4）或（﹣4，2）．
∴=．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量模的计算公式、向量垂直与数量积的关系，属于基础题．

22．设0＜θ＜，向量=（sin2θ，csθ），=（1，﹣csθ），若•=0，则tanθ= ．
【分析】由条件利用两个向量的数量积公式求得 2sinθcsθ﹣cs2θ=0，再利用同角三角函数的基本关系求得tanθ
【解答】解：∵=sin2θ﹣cs2θ=2sinθcsθ﹣cs2θ=0，0＜θ＜，
∴2sinθ﹣csθ=0，∴tanθ=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．

23．若△ABC中，已知•=tanA，当A=时，△ABC的面积为 ．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得AB•AC=，再根据△ABC的面积为 AB•AC•sinA，计算求得结果．
【解答】解：△ABC中，∵•=AB•AC•csA=tanA，
∴当A=时，有 AB•AC•=，解得AB•AC=，
△ABC的面积为 AB•AC•sinA=××=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角形的面积公式，属于基础题．

三．解答题（共7小题）
24．已知△ABC顶点的直角坐标分别为A（3，4），B（0，0），C（c，0 ）
（1）若c=5，求sin∠A的值；
（2）若∠A是钝角，求c的取值范围．
【分析】（1）通过向量的数量积求出角A的余弦，利用平方关系求出A角的正弦．
（2）据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于0，列出不等式解．
【解答】解：（1）根据题意，
，，
若c=5，则，
∴，∴sin∠A=；
（2）若∠A为钝角，
则解得，
∴c的取值范围是；
【点评】本题考查向量数量积在解三角形中的应用及向量的夹角为钝角转化为数量积小于0．

25．设向量
（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．
【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，再由与垂直等价于与的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．
（2）先根据线性运算求出，然后根据向量的求模运算得到||的关系，最后根据正弦函数的性质可确定答案．
（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4csα）•（4csβ）=sinαsinβ，正是∥的充要条件，从而得证．
【解答】解：（1）∵=（sinβ﹣2csβ，4csβ+8sinβ），与垂直，
∴4csα（sinβ﹣2csβ）+sinα（4csβ+8sinβ）=0，
即sinαcsβ+csαsinβ=2（csαcsβ﹣sinαsinβ），
∴sin（α+β）=2cs（α+β），
cs（α+β）=0，显然等式不成立
∴tan（α+β）=2．
（2）∵=（sinβ+csβ，4csβ﹣4sinβ），
∴||=
=，
∴当sin2β=﹣1时，||取最大值，且最大值为．
（3）∵tanαtanβ=16，∴，即sinαsinβ=16csαcsβ，
∴（4csα）•（4csβ）=sinαsinβ，
即=（4csα，sinα）与=（sinβ，4csβ）共线，
∴∥．
【点评】本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．

26．已知向量，，且•．
（Ⅰ）求tanA的值；
（Ⅱ）求函数的值域．
【分析】（Ⅰ）用向量数量积的坐标运算求得tanA的值，
（Ⅱ）用三角函数的二倍角公式化简函数，用换元法将三角函数转化成二次函数，求二次函数的值域．
【解答】解：（Ⅰ）=sinA﹣2csA=0即sinA=2csA
∴tanA=2
（Ⅱ）f（x）=cs2x+tanAsinx=cs2x+2sinx=1﹣2sin2x+2sinx
令sinx=t
∵∴
∴y=﹣2t2+2t+1=﹣2，∴
∴当t=时，y最大为；当t=0时，y最小为1
域为[1，]．
【点评】本题考查向量的数量积，三角函数的二倍角，二次函数的值域．

27．设函数f（x）=•，其中向量=（m，cs2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点．
（1）求实数m的值；
（2）求f（x）的最小正周期．
【分析】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算及三角函数的周期及其求法，
（1）由=（m，cs2x），=（1+sin2x，1），我们易出求f（x）=•的解析式（含参数m），同由y=f（x）的图象经过点，将点的坐标代入可以得到一个关于m的方程，解方程即可求出m的值．
（2）由（1）的结论，我们可以写出函数f（x）的解析式，利用辅助角公式易将其转化为一个正弦型函数，然后根据正弦型函数的周期T=，求出f（x）的最小正周期．
【解答】解：（1）f（x）=•=m（1+sin2x）+cs2x，
∵图象经过点，
∴，
解得m=1．
（2）当m=1时，
，
∴
【点评】函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）中，最大值或最小值由A确定，由周期由ω决定，即要求三角函数的周期与最值一般是要将其函数的解析式化为正弦型函数，再根据最大值为|A|，最小值为﹣|A|，周期T=进行求解．

28．已知向量，，．
（1）若，求θ；
（2）求的最大值．
【分析】（1）利用向量垂直的充要条件列出方程，利用三角函数的商数关系求出正切，求出角．
（2）利用向量模的平方等于向量的平方，利用三角函数的平方关系及公式，化简，利用三角函数的有界性求出范围．
【解答】解：（1）因为，所以
得
又，
所以θ=
（2）因为
=
所以当θ=时，的最大值为5+4=9
故的最大值为3
【点评】本题考查向量垂直的充要条件|数量积等于0；向量模的平方等于向量的平方；三角函数的同角三角函数的公式；

29．已知向量=（sinθ，csθ﹣2sinθ），=（1，2）．
（1）若，求tanθ的值；
（2）若，求θ的值．
【分析】（1）根据平面向量的共线定理的坐标表示即可解题．
（2）由||=||化简得sin2θ+cs2θ=﹣1，再由θ∈（0，π）可解出θ的值．
【解答】解：（1）∵∥
∴2sinθ=csθ﹣2sinθ即4sinθ=csθ
∴tanθ=
（2）由||=||
∴sin2θ+（csθ﹣2sinθ）2=5
即1﹣2sin2θ+4sin2θ=5化简得sin2θ+cs2θ=﹣1
故有sin（2θ+）=﹣
又∵θ∈（0，π）∴2θ+∈（，π）
∴2θ+=π或2θ+=π
∴θ=或θ=π
【点评】本题主要考查平面向量的共线定理的坐标表示以及向量的求模运算．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考．

30．设函数，其中向量，，，x∈R．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象按向量平移，使平移后得到的图象关于坐标原点成中心对称，求长度最小的．
【分析】（Ⅰ）先用向量的运算法则及三角函数的倍角公式化简f（x），再用三角函数的周期公式求．
（Ⅱ）用整体代换的方法求出平移后得到的图象的所有对称中心，即求得，通过二次函数的最值求．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=a•（b+c）=（sinx，﹣csx）•（sinx﹣csx，sinx﹣3csx）
=sin2x﹣2sinxcsx+3cs2x=2+cs2x﹣sin2x=2+sin（2x+）．
所以，f（x）的最大值为2+，最小正周期是=π．
（Ⅱ）由sin（2x+）=0得2x+=k．π，即x=，k∈Z，
于是d=（，﹣2），，k∈Z．
因为k为整数，要使|d|最小，则只有k=1，此时d=（﹣，﹣2）即为所求．
【点评】本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图象的基本知识，考查推理和运算能力