高考数学第二轮复习专项练习——数列大题（含解析）

这是一份高考数学第二轮复习专项练习——数列大题（含解析），共37页。试卷主要包含了求{bn}等内容，欢迎下载使用。
一．解答题（共30小题）
1．设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
2．已知{an}是首项为19，公差为﹣4的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
（Ⅰ）求通项an及Sn；
（Ⅱ）设{bn﹣an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
3．等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．
（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）若Sn=242，求n．
4．已知等差数列{an}中，a2=9，a5=21．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
已知等差数列{an}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{an}前n项和sn．
记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求Sn．
8．设数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．
9．在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设bn=lg3an，求数列{bn}的前n项和Sn．
已知{an}为等比数列，，求{an}的通项公式．
11．设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．
12．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=lg3a1+lg3a2+…+lg3an，求数列{}的前n项和．
在等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．
设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．
15．已知{an}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{bn}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{bn}的前n项和公式．
16．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．
（Ⅰ）求csB的值；
（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．
△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2=3ac，求A．
18．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．
19．已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．
在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和．
21．已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1，lga2，lga4成等差数列．又，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明{bn}为等比数列；
（Ⅱ）如果数列{bn}前3项的和等于，求数列{an}的首项a1和公差d．
22．若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．
（Ⅰ）求数列S1，S2，S4的公比．
（Ⅱ）若S2=4，求{an}的通项公式．
在等比数列{an}中，已知a6﹣a4=24，a3a5=64，求{an}前8项的和S8．
已知α，β，γ成公比为2的等比数列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比数列．求α，β，γ的值．
25．已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（Ⅰ）求{an}的通项公式
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
26．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．
27．已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=an3n（x∈R）．求数列{bn}前n项和的公式．
28．已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）设{bn}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}
的通项公式及其前n项和Tn．
29．等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
30．已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．

参考答案与试题解析

解答题（共30小题）
1．设等差数列{an}满足a3=5，a10=﹣9．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值．
【分析】（1）设出首项和公差，根据a3=5，a10=﹣9，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．
（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{an}的前n项和，整理成关于n的一元二次函数，二次项为负数求出最值．
【解答】解：（1）由an=a1+（n﹣1）d及a3=5，a10=﹣9得
a1+9d=﹣9，a1+2d=5
解得d=﹣2，a1=9，
数列{an}的通项公式为an=11﹣2n
（2）由（1）知Sn=na1+d=10n﹣n2．
因为Sn=﹣（n﹣5）2+25．
所以n=5时，Sn取得最大值．
【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．

2．已知{an}是首项为19，公差为﹣4的等差数列，Sn为{an}的前n项和．
（Ⅰ）求通项an及Sn；
（Ⅱ）设{bn﹣an}是首项为1，公比为2的等比数列，求数列{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）先根据等差数列的通项公式和求和公式求得an和Sn．
（Ⅱ）根据等比数列的通项公式求得{bn﹣an}的通项公式，根据（1）中的an求得bn，可知数列{bn}是由等差数列和等比数列构成，进而根据等差数列和等比数列的求和公式求得Tn．
【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是首项为19，公差为﹣4的等差数列
∴an=19﹣4（n﹣1）=﹣4n+23．．
∵{an}是首项为19，公差为﹣4的等差数列其和为
（Ⅱ）由题意{bn﹣an}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴bn﹣an=2n﹣1，所以bn=an+2n﹣1=2n﹣1﹣4n+23
∴Tn=Sn+1+2+22+…+2n﹣1=﹣2n2+21n+2n﹣1
【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．属基础题．

3．等差数列{an}的前n项和记为Sn．已知a10=30，a20=50．
（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）若Sn=242，求n．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式，根据a10和a20的值建立方程组，求得a1和d，则通项an可得．
（2）把等差数列的求和公式代入Sn=242进而求得n．
【解答】解：（Ⅰ）由an=a1+（n﹣1）d，a10=30，a20=50，得
方程组
解得a1=12，d=2．所以an=2n+10．
（Ⅱ）由得
方程．
解得n=11或n=﹣22（舍去）．
【点评】本小题主要考查等差数列的通项公式、求和公式，考查运算能力．

4．已知等差数列{an}中，a2=9，a5=21．
（1）求{an}的通项公式；
（2）令bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）设出数列的公差，分别根据等差数列的通项公式表示出a2和a5联立方程求得和a1和d，则数列的通项公式可得．
（2）把（1）中求得的an代入bn=2an中求得bn，判断出数列{bn}为等比数列，进而利用等比数列的求和公式求得前n项的和．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，由题意得
解得a1=5，d=4，
∴{an}的通项公式为an=4n+1．
（2）由an=4n+1得
bn=24n+1，
∴{bn}是首项为b1=25，公比q=24的等比数列．
∴Sn=．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和等比数列求和问题．熟练记忆等差数列和等比数列的通项公式和求和公式是快速解题的前提．

5．等差数列{an}的前n项和为Sn．已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{an}的通项式．
【分析】由，结合等差数列的求和公式可求a2，然后由，结合等差数列的求和公式进而可求公差d，即可求解通项公式
【解答】解：设数列的公差为d
由得，3
∴a2=0或a2=3
由题意可得，
∴
若a2=0，则可得d2=﹣2d2即d=0不符合题意
若a2=3，则可得（6﹣d）2=（3﹣d）（12+2d）
解可得d=0或d=2
∴an=3或an=2n﹣1
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，等比数列的性质的简单应用，属于基础试题

6．已知等差数列{an}中，a3a7=﹣16，a4+a6=0，求{an}前n项和sn．
【分析】利用等差数列的通项公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，求出a1、d，进而代入等差数列的前n项和公式求解即可．
【解答】解：设{an}的公差为d，则，
即，
解得，
因此Sn=﹣8n+n（n﹣1）=n（n﹣9），或Sn=8n﹣n（n﹣1）=﹣n（n﹣9）．
【点评】本题考查等差数列的通项公式及求和公式运用能力，利用方程的思想可求解．

7．记等差数列{an}的前n项和为Sn，设S3=12，且2a1，a2，a3+1成等比数列，求Sn．
【分析】由2a1，a2，a3+1成等比数列，可得a22=2a1（a3+1），结合s3=12，可列出关于a1，d的方程组，求出a1，d，进而求出前n项和sn．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，由题意得
，解得或，
∴sn=n（3n﹣1）或sn=2n（5﹣n）．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，熟记公式是解题的关键，同时注意方程思想的应用．

8．设数列{an}（n=1，2，3…）的前n项和Sn，满足Sn=2an﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列的前n项和为Tn，求Tn．
【分析】（Ⅰ）由条件Sn满足Sn=2an﹣a1，求得数列{an}为等比数列，且公比q=2；再根据a1，a2+1，a3成等差数列，求得首项的值，可得数列{an}的通项公式．
（Ⅱ）由于=，利用等比数列的前n项和公式求得数列的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由已知Sn=2an﹣a1，有
an=Sn﹣Sn﹣1=2an﹣2an﹣1（n≥2），
即an=2an﹣1（n≥2），
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．
又因为a1，a2+1，a3成等差数列，即a1+a3=2（a2+1）
所以a1+4a1=2（2a1+1），
解得：a1=2．
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
故an=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，
所以Tn=+++…+==1﹣．
【点评】本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差、等比数列的定义和性质，等比数列的前n项和公式，属于中档题．

9．在等比数列{an}中，a2=3，a5=81．
（Ⅰ）求an；
（Ⅱ）设bn=lg3an，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（Ⅰ）设出等比数列的首项和公比，由已知列式求解首项和公比，则其通项公式可求；
（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an代入bn=lg3an，得到数列{bn}的通项公式，由此得到数列{bn}是以0为首项，以1为公差的等差数列，由等差数列的前n项和公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）设等比数列{an}的公比为q，
由a2=3，a5=81，得
，解得．
∴；
（Ⅱ）∵，bn=lg3an，
∴．
则数列{bn}的首项为b1=0，
由bn﹣bn﹣1=n﹣1﹣（n﹣2）=1（n≥2），
可知数列{bn}是以1为公差的等差数列．
∴．
【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和公式，是基础的计算题．

10．已知{an}为等比数列，，求{an}的通项公式．
【分析】首先设出等比数列的公比为q，表示出a2，a4，利用两者之和为，求出公比q的两个值，利用其两个值分别求出对应的首项a1，最后利用等比数列的通项公式得到即可．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则q≠0，a2==，a4=a3q=2q
所以+2q=，
解得q1=，q2=3，
当q1=，a1=18．
所以an=18×（）n﹣1==2×33﹣n．
当q=3时，a1=，
所以an=×3n﹣1=2×3n﹣3．
【点评】本题主要考查学生理解利用等比数列的通项公式的能力．

11．设{an}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an+bn}的前n项和Sn．
【分析】（Ⅰ）由{an}是公比为正数的等比数列，设其公比，然后利用a1=2，a3=a2+4可求得q，即可求得{an}的通项公式
（Ⅱ）由{bn}是首项为1，公差为2的等差数列 可求得bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1，然后利用等比数列与等差数列的前n项和公式即可求得数列{an+bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（Ⅰ）∵设{an}是公比为正数的等比数列
∴设其公比为q，q＞0
∵a3=a2+4，a1=2
∴2×q2=2×q+4 解得q=2或q=﹣1
∵q＞0
∴q=2
∴{an}的通项公式为an=2×2n﹣1=2n
（Ⅱ）∵{bn}是首项为1，公差为2的等差数列
∴bn=1+（n﹣1）×2=2n﹣1
∴数列{an+bn}的前n项和Sn=+=2n+1﹣2+n2=2n+1+n2﹣2
【点评】本题考查了等比数列的通项公式及数列的求和，注意题目条件的应用．在用等比数列的前n项和公式时注意辨析q是否为1，只要简单数字运算时不出错，问题可解，是个基础题．

12．等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=lg3a1+lg3a2+…+lg3an，求数列{}的前n项和．
【分析】（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由a32=9a2a6，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简2a1+3a2=1，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；
（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn=lg3a1+lg3a2+…+lg3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6得a32=9a42，所以q2=．
由条件可知各项均为正数，故q=．
由2a1+3a2=1得2a1+3a1q=1，所以a1=．
故数列{an}的通项式为an=．
（Ⅱ）bn=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，
故=﹣=﹣2（﹣）
则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，
所以数列{}的前n项和为﹣．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式化简求值，掌握对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式，会进行数列的求和运算，是一道中档题．

13．在等比数列{an}中，a2﹣a1=2，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列{an}的首项、公比及前n项和．
【分析】等比数列的公比为q，由已知可得，a1q﹣a1=2，4，解方程可求q，a1，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：设等比数列的公比为q，
由已知可得，a1q﹣a1=2，4
联立可得，a1（q﹣1）=2，q2﹣4q+3=0
∴或q=1（舍去）
∴=
【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及等差中项等基础知识，考查运算求解的能力

14．设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2=6，6a1+a3=30，求an和Sn．
【分析】设出等比数列的公比为q，然后根据等比数列的通项公式化简已知得两等式，得到关于首项与公比的二元一次方程组，求出方程组的解即可得到首项和公比的值，根据首项和公比写出相应的通项公式及前n项和的公式即可．
【解答】解：设{an}的公比为q，由题意得：
，
解得：或，
当a1=3，q=2时：an=3×2n﹣1，Sn=3×（2n﹣1）；
当a1=2，q=3时：an=2×3n﹣1，Sn=3n﹣1．
【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的通项公式及前n项和的公式化简求值，是一道基础题．

已知{an}为等差数列，且a3=﹣6，a6=0．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若等比数列{bn}满足b1=﹣8，b2=a1+a2+a3，求数列{bn}的前n项和公式．
【分析】（Ⅰ）设出等差数列的公差为d，然后根据第三项为﹣6，第六项为0利用等差数列的通项公式列出方程解出a1和d即可得到数列的通项公式；
（Ⅱ）根据b2=a1+a2+a3和an的通项公式求出b2，因为{bn}为等比数列，可用求出公比，然后利用首项和公比写出等比数列的前n项和的公式．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d．
因为a3=﹣6，a6=0
所以解得a1=﹣10，d=2
所以an=﹣10+（n﹣1）•2=2n﹣12
（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q
因为b2=a1+a2+a3=﹣24，b1=﹣8，
所以﹣8q=﹣24，即q=3，
所以{bn}的前n项和公式为
【点评】考查学生会根据条件求出等差数列的通项公式和等比数列的前n项和的公式，此题是一道基础题．

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．角A，B，C成等差数列．
（Ⅰ）求csB的值；
（Ⅱ）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．
【分析】（Ⅰ）在△ABC中，由角A，B，C成等差数列可知B=60°，从而可得csB的值；
（Ⅱ）（解法一），由b2=ac，csB=，结合正弦定理可求得sinAsinC的值；
（解法二），由b2=ac，csB=，根据余弦定理csB=可求得a=c，从而可得△ABC为等边三角形，从而可求得sinAsinC的值．
【解答】解：（Ⅰ）由2B=A+C，A+B+C=180°，解得B=60°，
∴csB=；…6分
（Ⅱ）（解法一）
由已知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，
又csB=，
∴sinAsinC=1﹣cs2B=…12分
（解法二）
由已知b2=ac及csB=，
根据余弦定理csB=解得a=c，
∴B=A=C=60°，
∴sinAsinC=…12分
【点评】本题考查数列与三角函数的综合，着重考查等比数列的性质，考查正弦定理与余弦定理的应用，考查分析转化与运算能力，属于中档题．

△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2=3ac，求A．
【分析】由题设条件，可先由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π得到B=，及A+C=，再由正弦定理将条件2b2=3ac转化为角的正弦的关系，结合cs（A+C）=csAcsC﹣sinAsinC求得csAcsC=0，从而解出A
【解答】解：由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π得B=，故有A+C=
由2b2=3ac得2sin2B=3sinAsinC=，
所以sinAsinC=
所以cs（A+C）=csAcsC﹣sinAsinC=csAcsC﹣
即csAcsC﹣=﹣，可得csAcsC=0
所以csA=0或csC=0，即A是直角或C是直角
所以A是直角，或A=
【点评】本题考查数列与三角函数的综合，涉及了三角形的内角和，两角和的余弦公式，正弦定理的作用边角互化，解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三角函数的相关公式，本题考查了转化的思想，有一定的探究性及综合性

已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和．
【分析】（1）设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，运用通项公式可得q=3，d=2，进而得到所求通项公式；
（2）求得cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，再由数列的求和方法：分组求和，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】解：（1）设{an}是公差为d的等差数列，
{bn}是公比为q的等比数列，
由b2=3，b3=9，可得q==3，
bn=b2qn﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；
即有a1=b1=1，a14=b4=27，
则d==2，
则an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1，
则数列{cn}的前n项和为
（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+
=n2+．
【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，同时考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于基础题．

19．已知等差数列{an}满足a3=2，前3项和S3=．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}满足b1=a1，b4=a15，求{bn}前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件列式求得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）求出，再求出等比数列的公比，由等比数列的前n项和公式求得{bn}前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，则由已知条件得：
，解得．
代入等差数列的通项公式得：；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，．
设{bn}的公比为q，则，从而q=2，
故{bn}的前n项和．
【点评】本题考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．

20． 在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项，公差及前n项和．
【分析】设该数列的公差为d，前n项和为Sn，则利用a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，建立方程，即可求得数列{an}的首项，公差；利用等差数列的前n项和公式可求和．．
【解答】解：设该数列的公差为d，前n项和为Sn，则
∵a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，
∴2a1+2d=8，（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d）
解得a1=4，d=0或a1=1，d=3
∴前n项和为Sn=4n或Sn=．
【点评】本题主要考查等差数列、等比中项等基础知识，考查运算能力，考查分类与整合等数学思想，属于中档题．

已知{an}是各项均为正数的等差数列，lga1，lga2，lga4成等差数列．又，n=1，2，3，…．
（Ⅰ）证明{bn}为等比数列；
（Ⅱ）如果数列{bn}前3项的和等于，求数列{an}的首项a1和公差d．
【分析】（1）先设{an}中首项为a1，公差为d，根据等差中项的性质可知2lga2=lga1+lga4，把a1和d关系找出来，即d=0或d=a1，然后对d的两种情况进行讨论即可确定答案．
（2）当d=0时根据b1+b2+b3可求得a1；当d=a1时，根据bn=，再根据b1+b2+b3=，求得a1．
【解答】（1）证明：设{an}中首项为a1，公差为d．
∵lga1，lga2，lga4成等差数列
∴2lga2=lga1+lga4
∴a22=a1•a4，即（a1+d）2=a1（a1+3d）
∴d=0或d=a1
当d=0时，an=a1，bn=，
∴，
∴{bn}为等比数列；
当d=a1时，an=na1，bn=，
∴，
∴{bn}为等比数列
综上可知{bn}为等比数列
（2）当d=0时，bn=，
∴b1+b2+b3==
∴a1=；
当d=a1时，bn=
∴b1+b2+b3=
∴a1=3
综上可知或
【点评】本题主要考查了等比数列和等差数列的性质．涉及数列的公式多，复杂多样，故应多下点功夫记忆．

若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．
（Ⅰ）求数列S1，S2，S4的公比．
（Ⅱ）若S2=4，求{an}的通项公式．
【分析】由若Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．根据等差数列的前n项和公式，我们易求出基本量（即首项与公差）之间的关系．（1）将基本量代入易得列S1，S2，S4的公比；（2）由S2=4，构造方程，解方程即可求出基本量（即首项与公差）的值，然后根据等差数列通项公式的概念，不难得到答案．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由题意，得S22=S1•S4
所以（2a1+d）2=a1（4a1+6d）
因为d≠0
所以d=2a1
故公比
（Ⅱ）因为S2=4，d=2a1，
∴S2=2a1+2a1=4a1，
∴a1=1，d=2
因此an=a1+（n﹣1）d=2n﹣1．
【点评】解答特殊数列（等差数列与等比数列）的问题时，根据已知条件构造关于基本量的方程，解方程求出基本量，再根据定义确定数列的通项公式及前n项和公式，然后代入进行运算．

在等比数列{an}中，已知a6﹣a4=24，a3a5=64，求{an}前8项的和S8．
【分析】先设出数列{an}的公比为q，利用等比数列的通项公式代入a6﹣a4=24，a3a5=64，求得q，进而利用等比数列的求和公式求得答案．
【解答】解：设数列{an}的公比为q，依题意，
a6﹣a4=a1q3（q2﹣1）=24，（1）
a3a5=（a1q3）2=64，
∴a1q3=±8
将a1q3=﹣8代入到（1）式，得q2﹣1=﹣3，q2=﹣2，舍去．
将a1q3=8代入到（1）式，得q2﹣1=3，q=±2．
，
．
【点评】本题主要考查等比数列的性质和等比数列的前n项的和．属基础题．

已知α，β，γ成公比为2的等比数列（α∈[0，2π]），且sinα，sinβ，sinγ也成等比数列．求α，β，γ的值．
【分析】根据α，β，γ成公比为2的等比数列，可用α分别表示出β，γ；根据sinα，sinβ，sinγ成等比数列，进而可知，整理可求得csα，进而求得α，最后通过α，β，γ的关系求得β，γ．
【解答】解：∵α，β，γ成公比为2的等比数列，
∴β=2α，γ=4α，
∵sinα，sinβ，sinγ成等比数列
∴即2cs2α﹣csα﹣1=0
当csα=1时，sinα=0，与等比数列的首项不为零，故csα=1应舍去，，
【点评】本题主要考查了等比数列的性质，三角函数两角和公式等．考查了学生综合分析问题的能力．

已知{an}为等差数列，且a1+a3=8，a2+a4=12．
（Ⅰ）求{an}的通项公式
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，若a1，ak，Sk+2成等比数列，求正整数k的值．
【分析】（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2，从而得到{an}的通项公式．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1），再由=a1 Sk+2 ，求得正整数k的值．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差等于d，则由题意可得，解得 a1=2，d=2．
∴{an}的通项公式 an =2+（n﹣1）2=2n．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得 {an}的前n项和为Sn ==n（n+1）．
∵若a1，ak，Sk+2成等比数列，∴=a1 Sk+2 ，
∴4k2 =2（k+2）（k+3），k=6 或k=﹣1（舍去），故 k=6．
【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等差数列的通项公式，属于中档题．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB（tanA+tanC）=tanAtanC．
（Ⅰ）求证：a，b，c成等比数列；
（Ⅱ）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．
【分析】（I）由已知，利用三角函数的切化弦的原则可得，sinB（sinAcsC+sinCcsA）=sinAsinC，利用两角和的正弦公式及三角形的内角和公式代入可得sin2B=sinAsinC，由正弦定理可证
（II）由已知结合余弦定理可求csB，利用同角平方关系可求sinB，代入三角形的面积公式S=可求．
【解答】（I）证明：∵sinB（tanA+tanC）=tanAtanC
∴sinB（）=
∴sinB•=
∴sinB（sinAcsC+sinCcsA）=sinAsinc
∴sinBsin（A+C）=sinAsinC，
∵A+B+C=π
∴sin（A+C）=sinB
即sin2B=sinAsinC，
由正弦定理可得：b2=ac，
所以a，b，c成等比数列．
（II）若a=1，c=2，则b2=ac=2，
∴，
∵0＜B＜π
∴sinB=
∴△ABC的面积．
【点评】本题主要考查了三角形的切化弦及两角和的正弦公式、三角形的内角和定理的应用及余弦定理和三角形的面积公式的综合应用．

已知数列{an}是等差数列，且a1=2，a1+a2+a3=12．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）令bn=an3n（x∈R）．求数列{bn}前n项和的公式．
【分析】（I）利用等差数列的通项公式将已知等式用公差表示，列出方程求出公差，利用等差数列的通项公式求出通项．
（II）由于数列的通项是一个等差数列与一个等比数列的乘积，利用错位相减法求前n项和．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}公差为d，则 a1+a2+a3=3a1+3d=12，又a1=2，d=2．所以an=2n．
（Ⅱ）由bn=an3n=2n3n，得
Sn=2•3+4•32+…（2n﹣2）3n﹣1+2n•3n，①
3Sn=2•32+4•33+…+（2n﹣2）•3n+2n•3n+1．②
将①式减去②式，得
﹣2Sn=2（3+32+…+3n）﹣2n•3n+1=﹣3（3n﹣1）﹣2n•3n+1．
所以．
【点评】求数列的前n项和时，首先判断数列的通项的特点，然后选择合适的方法求和．

已知{an}是首项为1，公差为2的等差数列，Sn表示{an}的前n项和．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）设{bn}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{bn}的通项公式及其前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；
（Ⅱ）求出a4和S4，代入q2﹣（a4+1）q+S4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案．
【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴an=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．
；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．
∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，
∴（q﹣4）2=0，即q=4．
又∵{bn}是首项为2的等比数列，
∴．
．
【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式的求法，是基础题．

等差数列{an}中，a7=4，a19=2a9，
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an
（II）由==，利用裂项求和即可求解
【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d
∵a7=4，a19=2a9，
∴
解得，a1=1，d=
∴=
（II）∵==
∴sn=
==
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易

已知{an}是递增的等差数列，a2，a4是方程x2﹣5x+6=0的根．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
【分析】（1）解出方程的根，根据数列是递增的求出a2，a4的值，从而解出通项；
（2）将第一问中求得的通项代入，用错位相减法求和．
【解答】解：（1）方程x2﹣5x+6=0的根为2，3．又{an}是递增的等差数列，
故a2=2，a4=3，可得2d=1，d=，
故an=2+（n﹣2）×=n+1，
（2）设数列{}的前n项和为Sn，
Sn=，①
Sn=，②
①﹣②得Sn==，
解得Sn==2﹣．
【点评】本题考查等的性质及错位相减法求和，是近几年高考对数列解答题考查的主要方式．