高考数学第二轮复习专项练习——正弦定理（二）（含解析）

这是一份高考数学第二轮复习专项练习——正弦定理（二）（含解析），共10页。试卷主要包含了已知△ABC中，a等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共9小题）
1．已知△ABC中，A=30°，C=105°，b=8，a等于（ ）
A．4B．4C．4D．

2．在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积（ ）
A．B．2C．D．

3．在锐角△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°

4．已知△ABC中，a：b：c=1：：2，则A：B：C等于（ ）
A．1：2：3B．2：3：1C．1：3：2D．3：1：2

5．在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，则BC边上的高等于（ ）
A．B．C．3D．

6．在△ABC中，a=80，b=70，A=45°，则此三角形解的情况是（ ）
A．一解B．两解C．一解或两解D．无解

7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsC+ccsB=asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定

8．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ）
A．B．C．D．

9．△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（ ）
A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°


二．填空题（共3小题）
10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= ．

11．在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B= ．

12．在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= ．


三．解答题（共3小题）
13．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

14．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c csB=2a﹣b．
（I）求C；
（Ⅱ）若csB=，求csA的值．

15．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin2A﹣csA=0．
（1）求角A的大小；
（2）若b=，sinB=sinC，求a．


参考答案与试题解析

一．选择题（共9小题）
1．已知△ABC中，A=30°，C=105°，b=8，a等于（ ）
A．4B．4C．4D．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用正弦定理和题设中一边和两个角的值求得a．
【解答】解：∵A=30°，C=105°
∴B=45°
∵由正弦定理可知
∴a===4，
故选B．
【点评】本题主要考查了正弦定理的应用．正弦定理常用来运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系．

2．在△ABC中，若B=60°，AB=2，AC=2，则△ABC的面积（ ）
A．B．2C．D．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】利用正弦定理列出关系式，把AB，AC，sinB的值代入求出sinC的值，确定出C的度数，进而求出A的度数，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积即可．
【解答】解：∵在△ABC中，B=60°，AB=2，AC=2，
∴由正弦定理=得：sinC===，
∴C=30°，
∴A=90°，
则S△ABC=AB•AC•sinA=2，
故选：B．
【点评】此题考查了正弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

3．在锐角△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】已知等式利用正弦定理化简，根据sinB不为0求出sinA的值，由A为锐角确定出A的度数即可．
【解答】解：把b=2asinB利用正弦定理化简得：sinB=2sinAsinB，
∵sinB≠0，A为锐角，
∴sinA=，
则A=30°．
故选：A．
【点评】此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

4．已知△ABC中，a：b：c=1：：2，则A：B：C等于（ ）
A．1：2：3B．2：3：1C．1：3：2D．3：1：2
【考点】解三角形．
【专题】计算题．
【分析】根据三边的比令a=1，b=，c=2，进而可知c2=a2+b2，根据勾股定理推断出C=90°，进而根据a=c推断出A=30°，进而求得B，则三个角的比可求．
【解答】解：令a=1，b=，c=2
∴c2=a2+b2，三角形为直角三角形
∴C=90°
a=c
∴A=30°，
∴B=90°﹣30°=60°
∴A：B：C=1：2：3
故选A
【点评】本题主要考查了解三角的问题．应熟练记忆三角形中的常用结论如勾股定理，边边关系，角与角的关系，正弦定理，余弦定理等．

5．在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，则BC边上的高等于（ ）
A．B．C．3D．
【考点】解三角形．
【专题】解三角形．
【分析】首先利用余弦定理求出c，然后求高．
【解答】解：因为在△ABC中，若a=2，∠B=60°，b=，
所以cs60°=，解得c=3或c=﹣1（舍去）
则BC边上的高为csin60°=；
故选A．
【点评】本题考查了利用余弦定理求三角形的一边；熟练运用定理是关键．

6．在△ABC中，a=80，b=70，A=45°，则此三角形解的情况是（ ）
A．一解B．两解C．一解或两解D．无解
【考点】解三角形．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，结合a＞b，A＞B，即得到此三角形有一解．
【解答】解：由正弦定理得sinB==，
∵a=80，b=70，A=45°，
∴a＞b，A＞B，
∴此三角形解的情况是一解．
故选：A．
【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．

7．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcsC+ccsB=asinA，则△ABC的形状为（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由条件利用正弦定理可得 sinBcsC+sinCcsB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．
【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
∵bcsC+ccsB=asinA，则由正弦定理可得 sinBcsC+sinCcsB=sinAsinA，
即 sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，
故选B．
【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．

8．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（ ）
A．B．C．D．
【考点】正弦定理．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】利用正弦定理可求得sinA，结合题意可求得角A．
【解答】解：∵在△ABC中，2asinB=b，
∴由正弦定理==2R得：2sinAsinB=sinB，
∴sinA=，又△ABC为锐角三角形，
∴A=．
故选D．
【点评】本题考查正弦定理，将“边”化所对“角”的正弦是关键，属于基础题．

9．△ABC中，a=1，b=，A=30°，则B等于（ ）
A．60°B．60°或120°C．30°或150°D．120°
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】根据正弦定理可求出角B的正弦值，进而得到其角度值．
【解答】解：∵a=1，b=，∠A=30°
根据正弦定理可得：，
∴sinB=，
∴∠B=60°或120°
故选：B．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．

二．填空题（共3小题）
10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b= 1 ．
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】由sinB=，可得B=或B=，结合a=，C=及正弦定理可求b
【解答】解：∵sinB=，
∴B=或B=
当B=时，a=，C=，A=，
由正弦定理可得，
则b=1
当B=时，C=，与三角形的内角和为π矛盾
故答案为：1
【点评】本题考查了正弦、三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解本题的关键

11．在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B= ．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．
【解答】解：由正弦定理可得，
=，
即有sinB===，
由b＜a，则B＜A，
可得B=．
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的边角关系，属于基础题．

12．在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= 2 ．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．
【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，
则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，
由正弦定理可得，
=，
即有AC==2．
故答案为：2．
【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．

三．解答题（共3小题）
13．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知csB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．
【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．
【专题】解三角形．
【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；
②利用正弦定理解之．
【解答】解：①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知csB=，
sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcsB+csAsinB=，
所以sinA+csA=，结合平方关系sin2A+cs2A=1，
得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，
解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；
②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，
所以a=2c，又ac=2，所以c=1．
【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．

14．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c csB=2a﹣b．
（I）求C；
（Ⅱ）若csB=，求csA的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（I）已知等式利用正弦定理化简，把sinA=sin（B+C）代入并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理求出csC的值，即可确定出C的度数；
（Ⅱ）由csB的值，求出sinB的值，csA变形为﹣cs（B+C），利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（I）由正弦定理得2sinCcsB=2sinA﹣sinB，
即2sinCcsB=2sin（C+B）﹣sinB，
∴2sinCcsB=2sinCcsB+2csCsinB﹣sinB，即2csCsinB﹣sinB=0，
∵sinB≠0，
∴2csC﹣=0，即csC=，
∵0＜C＜π，
∴C=；
（Ⅱ）∵csB=，0＜C＜π，
∴sinB==，
∴csA=﹣cs（B+C）=﹣（csBcsC﹣sinBsinC）=﹣×+×=．
【点评】此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．

15．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且sin2A﹣csA=0．
（1）求角A的大小；
（2）若b=，sinB=sinC，求a．
【考点】正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（1）已知等式利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（2）已知等式利用正弦定理化简，把b的值代入求出c的值，利用余弦定理列出关系，将b，c，csA的值代入即可求出a的值．
【解答】解：（1）由sin2A﹣csA=0，得2sinAcsA﹣csA=0，
即csA（2sinA﹣1）=0得csA=0或sinA=，
∵△ABC为锐角三角形，
∴sinA=，
则A=；
（2）把sinB=sinC，由正弦定理得b=c，
∵b=，∴c=1，
由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccsA=3+1﹣2××1×=1，
解得：a=1．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．