北京海淀区2024-2025高三上学期期末数学试卷及答案

这是一份北京海淀区2024-2025高三上学期期末数学试卷及答案，共13页。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（ ）
A B.
C. D.
2. 在的展开式中，的系数为（ ）
A. B. C. D.
3. 若复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
4. 抛物线的焦点为，点在上，则（ ）
A. B. C. D.
5. 已知直线与圆交于两点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等差数列的前项和为，，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆的焦点在轴上，点，则（ ）
A. 在外B. 的长轴长为
C. 在内D. 的焦距为
8. 设函数，则“”是“没有极值点”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 如图，正方体的棱长为2，分别为棱的中点，为正方形边上的动点（不与重合），则下列说法中错误的是（ ）

A. 平面截正方体表面所得的交线形成的图形可以是菱形
B. 存在点，使得直线与平面垂直
C. 平面把正方体分割成的两个几何体的体积相等
D. 点到平面的距离不超过
10. 2023年，甲、乙两公司的盈利规律如下：从2月份开始，甲公司每个月盈利比前一个月多200万元；乙公司每个月盈利比前一个月增加. 记甲、乙两公司在2023年第个月的盈利分别为，（单位：万元）. 已知，，则最大时，的值为（ ）
（参考数据：，）
A. B. C. D.
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 双曲线的渐近线方程为__________．
12. 已知向量，，则_________，的最小值为_________.
13. 已知为等腰三角形，且，则_________.
14. 已知函数存在最小值，则的取值范围是_________.
15. 已知曲线. 给出下列四个结论：
①曲线关于直线对称；
②曲线上恰好有个整点（即横、纵坐标均是整数的点）；
③曲线上存在一点，使得到点的距离小于；
④曲线所围成区域的面积大于.
其中，所有正确结论序号为_________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求曲线的两条对称轴之间距离的最小值；
（2）若在区间上的最大值为，求的值.
17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，是的中点，在棱上，且平面.
（1）求证：是的中点；
（2）再从条件①，条件②中选择一个作为已知，求平面与平面夹角的余弦值.
条件①：平面平面；
条件②：.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
18. 某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下：
（1）从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率；
（2）对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下：
当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分；
当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分.
①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望；
②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下：
对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系.
19. 已知椭圆的左顶点为，离心率.
（1）求的标准方程；
（2）设点为上异于顶点的一点，点关于轴的对称点为，过作的平行线，与的另一个交点为. 当与不重合时，求证：.
20. 已知函数.
（1）当时，求的定义域；
（2）若在区间上单调递减，求取值范围；
（3）当时，证明：若，，则.（参考数据：，，）
21. 已知为各项均为整数的无穷递增数列，且. 对于中的任意一项，在中都存在两项，使得或.
（1）若，，写出的所有可能值；
（2）若.
①当时，求的最大值；
②当时，求的最小值.
2025年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷
1. B 2. A 3. A 4. C 5. B
6. B 7. A 8. C 9. B 10. B
11. 12. 0,1； 13. 14.
15.②④
三、解答题共6小题，共85分
16.（1）函数
由，解得
所以曲线的两条对称轴之间的距离最小值为．
（2）当时，，
由在区间上的最大值为，得，
而正弦函数在上单调递减，则在上单调递减，
因此，，解得，
所以的值是.
17.（1）取的中点，连接，又是的中点，则且，
由在棱上，底面为矩形，则，故，
由平面，且面面，则，
所以为平行四边形，故，
所以是的中点，得证；
（2）选①：面面，面面，，面，
所以面，又底面为矩形，可构建如下图示的空间直角坐标系，
则，
所以，设面的一个法向量为，
则，令，则，
显然面的一个法向量为，故，
所以平面与平面夹角的余弦值；
选②：连接，底面为矩形，则，而，，
所以，即，又，都在面内，
所以面，又底面为矩形，可构建如下图示的空间直角坐标系，
则，
所以，设面的一个法向量为，
则，令，则，
显然面的一个法向量为，故，
所以平面与平面夹角的余弦值；
18.（1）设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件，
依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同，
由古典概型，得.
（2）①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于的学生共有6人，
赋分依次为100，100，100，85，85，85，则的所有可能值为170，185，200，
，
所以的分布列如下：
.
②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100,100,100,85,85,85,70,70,70,60,60,60，
对课程乙进行赋分，赋分依次为：100,100,100,100,100,85,85,85,70,70,70,70,60,60,60,60，
因此，
；
，
，
所以.
19.（1）依题意可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设，，
则，，得直线的斜率.
由得直线的斜率.
由经过点得直线的方程.
由，得，
由韦达定理
得.
所以.
因为 ，，
由于不重合，所以，所以
所以.
因为两条直线不重合，所以.
20.（1）由题设，则，故定义域为.
（2）由，则必有，且，
由在区间上单调递减，则在上恒成立，
令且，则，
在上，则单调递增，故，
所以.
（3）当，则，且，
设，则，
当，则，当，则，
所以在上单调递增，在上单调递减，
当，
；
当，，，故使，
由，又，则，
综上，得证.
21.（1）或，
当时，因为，符合条件；
则或或或，
又因为为各项均为整数的无穷递增数列，则或.
当时， 则或或或，
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
当或27，此时不满足数列为递增数列，故舍去，
综上，的所有可能值为7，9，15，17．
（2）①的最大值为1013，理由如下：
（i）当时符合题意且．
（ii）假设中存在偶数，且首个偶数为，
因为为递增数列，所以存在，使得ak=2aj-ai=aj+aj-ai>aj或，进而有．
所以为奇数，此时均不为偶数，与为偶数矛盾．
所以中各项均为正奇数，
又因为为递增数列，所以，
即．
综上的最大值为1013．
②的最小值为7，理由如下：
（i）首先证明时存在符合条件的：
当前7项为$1，2，3，9，27，45，2025$时，
且可构造的后续项使其符合题意（如可取．
（ii）其次证明．
由题，当时，，
所以aj2ai2≤aj2a12=aj2,aj2-2aj-ai=aj2-2aj+ai=ajaj-2+ai>0，
进而有，
所以，
所以．
（iii）最后证明．
假设存在符合题意且，
因为，所以当时，，
所以存在，有，从而，
所以，所以，从而，且因为，
所以当时，，
所以存在，有，从而为整数，
又因为，所以为5的倍数，与矛盾．
综上有的最小值为7．原始成绩
8.75
8.25
8.25
6.75
6.75
6.5
6
5.5
5.25
4.25
3.75
3.25
排名
1
2
2
4
4
6
7
8
9
10
11
12
原始成绩
9.75
8
8
75
7.5
6
5.75
5.75
排名
1
2
2
4
4
6
7
7
原始成绩
5
4.75
4.5
4.5
425
4
3.75
3.5
排名
9
10
11
11
13
14
15
16
170
185
200
0
0
单调递减
极小值
单调递增
0
0
单调递增
极大值
单调递减