安徽省芜湖市无为市2024-2025学年八年级上学期1月期末 数学试题（含解析）

这是一份安徽省芜湖市无为市2024-2025学年八年级上学期1月期末 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列比亚迪汽车标志中，其图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是（ ）
A．三角形的稳定性B．四边形的不稳定性
C．三角形两边之和大于第三边D．三角形内角和等于
3．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
5．如图，中线交于点．若阴影部分的面积是7，则的面积是（ ）
A．10B．14C．17D．21
6．如图，为的平分线，添下列条件后，不能证明的是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达A点时，M、N同时停止运动．点M、N运动（ ）s后，可得到等边．
A．1B．C．4D．2
8．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
9．“行人守法，安全过街”体现了对生命的尊重，也体现了公民的文明素质，更反映了城市的文明程度．在某路口的斑马线路段横穿双向车道，其中，米，在人行绿灯亮时，小刚共用时10秒通过，其中通过的速度是通过的1.3倍，求小刚通过的速度．设小刚通过的速度为x米/秒，则根据题意列方程为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，等腰中，，垂直平分，交于点E，交于点F，点G是线段上的一动点，若的面积是，，则的周长最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4小题）
11．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚的一首《苔》，苔花的花粉直径约为0.0000084m，则数据0.0000084用科学记数法表示为 ．
12．若关于x的二次三项式含有因式，则实数p的值是 ．
13．如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °．
14．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，即（，1，2，3…）展开式系数的规律：
……
以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，在下列的四个结论中：
①；
②展开式的系数和是；
③展开式的系数和是；
④展开式的系数和是；
正确的是 （填序号）．
三、解答题（本大题共9小题）
15．因式分解：
16．先化简：，再从的范围内选取一个合适的整数x代入求值．
17．解方程：．
18．如图，已知，，，求证：．
19．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
如图1是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线对折后用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
(1)图2中阴影部分的正方形的边长是 ；
(2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：
方法1： ；
方法2： ；
(3)观察图2，请你写出，，之间的等量关系是 ；
(4)如图3，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，若，两正方形的面积，求的面积．
20．如图，在平面直角坐标系中，，，．
(1)在图中画出关于轴的对称图形，并写出点，，的坐标；
(2)请在轴上画出点的位置，使得最短，并直接写出点的坐标．
21．无为市环城河原来是一条古老的护城河，古代的护城河保护着城镇的安全，现在的环城河两岸风光旖旎，市政府把它改造成环城公园，改造后焕然一新，成为居民锻炼休闲的好去处．为了测量环城河某段平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表：

(1)分别根据第一小组，第二小组的测量方案，求出该段环城河的宽度；
(2)除上述方法外，请你运用所学知识再设计1种方案对河宽进行测量（要求：在图3中画出基本图形；简单说明测量方案；不写计算和证明的过程）
22．某镇准备对一条长3200米道路进行绿化整修，按原计划修了800米后，承包商安排工人每天加班，每天的工作量比原计划提高了20％，共用28天完成了全部任务．
(1)问原计划每天绿化道路多少米？
(2)已知承包商原计划每天支付工人工资5000元，安排工人加班后每天支付给工人的工资增加了40％，则完成此项工程，承包商共需支付工人工资多少元？
23．通过对如图数学模型的研究学习，解决下列问题：
[模型呈现]
如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．进而得到AC＝ ，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型；
[模型应用]
如图2，AE⊥AB且AE＝AB，BC⊥CD且BC＝CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为 ．
A．50 B．62 C．65 D．68
[深入探究]
如图3，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，连接BC，DE，且BC⊥AF于点F，DE与直线AF交于点G．求证：点G是DE的中点；
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故此题答案为C．
2．【答案】A
【详解】解：南宁白沙大桥是一座斜拉索桥，造型美观，结构稳固，其蕴含的数学道理是三角形的稳定性，
故此题答案为．
3．【答案】D
【分析】利用同底数幂乘法、单项式除以单项式、合并同类项、幂的乘方等运算法则分别计算，判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意；
故此题答案为D．
4．【答案】D
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式．根据概念进行判断即可．
【详解】解：A、是整式乘法，不是因式分解，故不合题意；
B、是整式乘法，不是因式分解，故不合题意；
C、没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故不合题意；
D、是因式分解，故符合题意；
故此题答案为D．
5．【答案】B
【详解】解：∵的中线交于点 ，
∴，，，
∵，
∴，
∴的面积是，
故此题答案为B．
6．【答案】D
【分析】根据“”对B进行判断；根据“”对C进行判断； D选项符合，不能证明．
【详解】解：由，利用可证明，所以A选项不符合题意；
由，利用可证明，所以B选项不符合题意；
由，利用可证明，所以C选项不符合题意；
由，符合，不能证明，所以D选项符合题意．
故此题答案为D．
7．【答案】C
【分析】设点M、N运动后，可得到等边，求出，由等边三角形的性质得到，当时，是等边三角形，得到，求出，即可得到答案．
【详解】解：设点M、N运动后，可得到等边，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴时，是等边三角形，
∴，
∴，
∴点M、N运动后，可得到等边
故此题答案为C．
8．【答案】D
【分析】根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故此题答案为D．
9．【答案】A
【分析】设小刚通过的速度为x米/秒，通过的速度为米/秒，利用小刚共用时10秒通过，可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
设小刚通过的速度为x米/秒，通过的速度为米/秒，
∴，
故此题答案为A
10．【答案】B
【分析】连接．利用三角形的面积公式求出，由垂直平分，推出，推出，由，推出，的最小值为3，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为3，
∴的最小值为，
故此题答案为B．
11．【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：数据0.0000084用科学记数法表示为
12．【答案】
【分析】根据多项式乘多项式的法则可得关于x的二次三项式还含有因式，据此即可求解
【详解】解：∵关于x的二次三项式含有因式，且，
∴关于x的二次三项式还含有因式，
∴，
∴实数p的值是
13．【答案】58
【详解】解：延长交于点，
是的角平分线，
，
，
14．【答案】
【分析】由“杨辉三角”可得，的展开式的系数为，，10，10，，，据此即可判断结论①；当时系数和，当时系数和，当时系数和，当时系数和，， 据此即可判断结论．
【详解】解：由“杨辉三角”可得：的展开式的系数为，，10，10，，，
∴，故结论①正确；
当时，系数和，
当时，系数和，
当时，系数和，
当时，系数和，
∴的展开式的系数和是，故结论②错误；
的展开式的系数和是，故结论③正确；
∵的展开式有项，
∴的展开式的系数和是，故结论④错误；
综上，正确的结论有：
15．【答案】
【分析】根据综合提公因式和公式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式，
．
16．【答案】，当时，原式；或当时，原式
【分析】先计算分式的减法，再计算分式的除法得到化简的结果，再根据分式有意义的条件选取或代入求解即可．
【详解】解：原式
．
∵，，
∴当时，原式；
或当时，原式．
17．【答案】方程无解
【分析】方程两边同乘，变成整式方程，解整式方程，再检验即可．
【详解】解：方程两边乘，得，
，
解得，
检验：当时，，
因此不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
18．【答案】见解析
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中
∴
∴
19．【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【分析】（1）由拼图可直接得出答案；
（2）一方面阴影部分是边长为的正方形，可用面积公式列代数式，另一方面阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积即可；
（3）由（2）两种方法所表示的面积相等可得答案；
（4）设设，，则，，，利用完全平方公式变形，计算即可．
【详解】（1）解：根据图形可得阴影部分的正方形的边长是
（2）解：方法1：直接求阴影部分的面积，即阴影部分是边长为的正方形：；
方法2：间接求阴影部分的面积，即阴影部分可以看作从边长为的正方形面积中减去4个长为，宽为的长方形面积：
（3）解：由（2）可得：
（4）解：设，，则，，
，
，
，
，
答：的面积为．
20．【答案】(1)见解析，，，
(2)见解析，
【分析】（1）根据轴对称的定义作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，再顺次连接即可，结合图形得点的坐标即可；
（2）确定点C关于x轴的对称点，连接，与x轴交于点P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所作，，，；
（2）解：作出点C关于x轴的对称轴点，连接交x轴于点，即点即为所作，点的坐标为．
21．【答案】(1)20米
(2)见详解
【分析】（1）第一小组：根据三角形外角性质求出，再根据等角对等边求出米；第二小组：根据证明，得米；
（2）观察者从点向东走到点，此时恰好测得，利用等腰三角形的判定和性质即可测量．
【详解】（1）解：第一小组：
，
，
，
，
米，
米，
∴河宽为20米；
第二小组：由题意得，，
，
，
米，
米，
∴河宽为20米；
（2）解：如图为所画的测量基本图形，

在河南岸找到一点，正好位于对岸树的正南方向，然后从点沿河岸向东走到点，测得，则线段的长就是河宽的长度．
由题意得，
，
，
，
∴线段的长就是河宽的长度．
22．【答案】(1)100米
(2)（元）
【分析】（1）设原计划每天绿化道路x米，根据题意列分式方程即可；
（2）根据题意列式计算即可．
【详解】（1）解：设原计划每天绿化道路x米，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意．
答：原计划每天绿化道路100米．
（2）解：（天），（天），
（元）．
23．【答案】[模型呈现]DE；[模型应用]B；[深入探究]证明见解析
【分析】[模型呈现]利用全等三角形的性质解答即可；
[模型应用]由“K字”模型可知，△EPA△AGB，△BGC△CHD，得出线段间的数量关系，然后结合图形求解面积即可；
[深入探究]过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N，由“K字”模型得出△ABF∆DAM，再由全等三角形的判定和性质得出∆DMG∆ENG，得出DG=EG，即可得出结果．
【详解】解：[模型呈现]：△ABC△DAE，
∴AC=DE，
故答案为：DE；
[模型应用]如图中，
由“K字”模型可知，△EPA△AGB，△BGC△CHD，
∴EP=AG=6，PA=BG=3，BG=CH=3，GC=DH=4，
∴PH=PA＋AG＋GC＋CH=3+6+4+3=16，
∴图中实线所围成的图形的面积=梯形EPHD的面积一△EPE的面积一△ABG的面积一△BGC的面积一△CHD的面积
=×(6+4)×16-2××3×6-2××3×4
=50，
故此题答案为A；
[深入探究]证明：如图，过D作DM⊥AF于M，过E作EN⊥AF于N，
由“K字”模型得：△ABF∆DAM(AAS)，
∴AF=DM，
同理：AF=EN，
∴EN=DM，
∵DM⊥AF，EN⊥AF，
∴∠GMD=∠GNE=90°，
在△DMG与△ENG中，
，
∴∆DMG∆ENG(AAS)，
∴DG=EG，
即点G是DE的中点．
课题
测量环城河的宽度
工具
测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组
第一小组
第二小组
测量方案
如图，观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点出发，沿着南偏西的方向走到点C，此时恰好测得，米．
如图，观测者在河南岸找到一点B，正好位于对岸树A的正南方向；从B点向东走到O点，在O点插上一根标杆，继续向东走相同的路程，到达C点后，一直向南走到点D，使得树，标杆，人在同一直线上．测得CD长为20米．
示意图