北京市海淀区2024-2025学年八年级上学期期末考试 数学试卷（含解析）

这是一份北京市海淀区2024-2025学年八年级上学期期末考试 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．在我国传统的祥瑞纹样中，云纹有着流动飘逸的曲线和回转交错的结构，是生动、灵性、精神以及祥瑞的载体和象征．下列四个云纹纹样中是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．某计算机完成一次基本运算的时间约为、已知，将用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
3．六边形的内角和为（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知等腰三角形两条边的长分别为3和6，则它的周长为（ ）
A．12B．15
C．12或15D．9或15
6．下列分式变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在中，，是的中点，，则的大小为（ ）
A．B．C．D．
8．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．如用，，点在上，点在上，若添加一个条件可使，则添加的这个条件不可以是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，小华同学用四个边长为的正方形、两个长和宽分别为和的长方形拼成图1和图2．则下列四个关系式中，能利用图1和图2验证的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②B．②③C．①③D．②④
二、填空题（本大题共6小题）
11．若分式有意义，则的取值范围是 ．
12．因式分解： .
13．如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，点的坐标为0,2，．以点为圆心，线段的长为半径画弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为 ．
14．方程的解为 ．
15．如图，在中，，，为的中点，延长至点，使，连接和，则的大小为 °．
16．如图，在锐角中，，于点，，，，其中，、、分别为线段、、上的点（均不与点，、重合），对于每一个确定的点，将周长的最小值记为．给出下列三个结论：

①过点向、作垂线、垂足分别为、，此时的周长即为；
②在点从点向点运动过程中，的最小值为；
③当时，点能在两个不同的位置取到相同的值．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题（本大题共10小题）
17．计算：．
18．（1）计算：；
（2）已知，求的值．
19．如图，在中．．求作线段的中点．小明发现作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
(1)使用直尺和圆规，依小明的思路作出点（保留作图痕迹）；
(2)完成下面的证明．
证明：连接．
∵垂直平分，
∴________（________）（填推理依据）．
∴．
∵，
∴，．
∴________．
∴．
∴．
∴点为线段的中点．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，是上一点，，，．
求证：平分．
22．秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮到达各自步道终点所用的时间之比是，求两人走完各自步道全程分别用了多少小时．
23．如图，在中，，过点作的垂线，过点作的垂线，两条垂线交于点，作直线．
(1)求证：垂直平分；
(2)若，，，直接写出的长．
24．我们知道，“整式乘法”与“因式分解”是方向相反的变形．类似的，“几个分式相加”与“将一个分式化成几个分式之和的形式”也是方向相反的变形，我们称这种与“几个分式相加”方向相反的变形为“分式分解”．
例如，将分式分解：．
(1)将分式分解的结果为________；
(2)若可以分式分解为（其中，，是常数），则________，________；
(3)当时，判断与的大小关系，并证明．
25．在中，，，点在上（与点，不重合），连接，是的中点，是平面上一点，满足，连接，．
(1)如图1，，点在的延长线上．
①依题意补全图形；
②用等式表示和的数量关系，并证明；
(2)如图2，，若（1）中和的数量关系仍成立，直接写出的大小（用含的式子表示）．
26．在平面直角坐标系中，已知点和线段，点在线段的垂直平分线上，对于给定的一个正数，若点使得是以为底边的等腰三角形，且．则称点为点关于线段的度等腰点．
(1)如图1，点在轴上，，，在，，中，是点关于线段的90度等腰点的是________；
(2)如图2，，，，若存在点关于线段的90度等腰点，求的取值范围；
(3)如图3，点，，点在轴正半轴上，满足，点为轴上的动点，若存在点关于线段的60度等腰点，直接写出点的纵坐标的取值范围（用含的式子表示）．
参考答案
1．【答案】C
【详解】解：A、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、图形是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、图形不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故此题答案为C．
2．【答案】C
【分析】先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．
【详解】解：∵，
故此题答案为C．
3．【答案】A
【分析】设这个多边形的边数为n，根据题意，得，当时计算即可．
【详解】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得，
当时，
，
故此题答案为A．
4．【答案】D
【分析】根据合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，计算即可．
【详解】解：A. 不是同类项，无法计算，不符合题意；
B. ，此选项错误，不符合题意；
C. ，此选项错误，不符合题意；
D. ，此选项正确，符合题意；
故此题答案为D．
5．【答案】B
【分析】分腰长为和，根据三角形三边关系计算即可．
【详解】解：∵等腰三角形的两边长分别是和，
∴当腰长为时，，三角形的周长为；
当腰长为时，，不能构成三角形；
∴此等腰三角形的周长为，
故此题答案为B ．
6．【答案】B
【分析】根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A. ，此选项错误，不符合题意；
B. ，此选项正确，符合题意；
C. ，此选项错误，不符合题意；
D. ，此选项错误，不符合题意；
故此题答案为B．
7．【答案】A
【分析】根据等腰三角形的性质得，，再根据三角形内角和定理，计算即可．
【详解】证明：∵，是的中点，，
∴，，
∴，
∴故此题答案为A．
8．【答案】C
【分析】根据因式分解的概念：将多项式写成几个整式积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案．
【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解，故本项不符合题意；
B. ， 该等式右边不是整式积的形式，故本项不符合题意；
C. ，符合因式分解的定义，故本项符合题意；
D. ，该等式右边含有分式，故本项不符合题意；
故此题答案为C．
9．【答案】D
【分析】根据三角形全等的判定定理，逐一验证即可．
【详解】解：A.添加，
在中
∵
∴，
故此选项正确，不符合题意；
B.添加，
在中
∵
∴，
故此选项正确，不符合题意；
C.添加
在中
∵
∴，
故此选项正确，不符合题意；
D.添加，不符合任何一定判定定理，
无法证明，
故此选项错误，不合题意；
故此题答案为D．
10．【答案】D
【分析】根据图1、2不能得，可判断①；图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，据此可判断②；可看作边长为的正方形的面积，画出图形即可③；图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，据此可判断④，进而可得答案．
【详解】解：①根据图1、2不能得，不能验证，故①不符合题意；
②图1的面积可表示为，图2的面积可表示为，图1和图2的面积相等，故图1，图2可验证，②符合题意；
③可看作边长为的正方形的面积，如图所示：
图中阴影部分的面积即可表示成，与图1、图2的面积不相等，不能验证，③不符合题意；
④图2的面积可看作边长为的正方形减去一个边长为的正方形，图2可验证，④符合题意，
故此题答案为D．
11．【答案】
【分析】根据，计算即可．
【详解】解：分式有意义．
故，
解得
12．【答案】见详解
【详解】解：
13．【答案】2,0
【分析】连接，先根据点B的坐标可得，再根据等腰三角形的判定可得，是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一可得，由此即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
点的坐标为0,2，
，
∵，
∴，
∴点A的坐标为，
由同圆半径相等得：，
是等腰三角形，
，
，
又点位于轴正半轴，
点的坐标为2,0
14．【答案】
【分析】根据解分式方程的基本步骤解答即可．
【详解】解：
方程两边同乘，去分母得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
∴是原分式方程的根
15．【答案】110
【分析】根据三角形的性质得和，结合题意得和，利用三角形外角和性质得即可求得答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
则
16．【答案】②③/③②
【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，交于，交于，连接，交于，交于，连接，，，由两点之间线段最短可判断①；根据轴对称的性质证明，是等边三角形，由垂线段最短可判断②、③，进而得结论．
【详解】解：作点关于的对称点，
点关于的对称点，交于，交于，
连接，交于，交于，
连接，，，，
根据轴对称的性质可得：，， ，
， ，
，
，
是等边三角形，
，
的周长，
的周长，
，
，
与重合时，，即最小，故①错误；故②正确；
当时，点能在两个不同的位置取到相同的值，
分别在点两侧且关于点对称，故③正确，

17．【答案】2
【分析】根据实数的混合运算、有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂的运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
18．【答案】（1）；（2）11
【分析】（1）先算乘方，再算乘除法即可；
（2）先运用完全平方公式及多项式乘多项式的法则将式子化简，再整体代入求值即可．
【详解】解：（1）
；
（2）
∵
∴
原式．
19．【答案】(1)见解析
(2)；线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
【分析】（1）根据题意作线段的垂直平分线交于点，点即为所求．
（2）根据垂直平分线的性质得出，等边等角可得，进而根据等角的余角相等，可得，得出，等量代换即可得出结论．
【详解】（1）作图如图所示：
（2）证明：连接．
∵垂直平分，
∴（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴点为线段的中点．
20．【答案】；3
【分析】先对分式通分、因式分解、约分等化简，化成最简分式，后代入求值．
【详解】解：
，
当时，原式．
21．【答案】见解析
【分析】，先证明，再证明即可．
【详解】证明：∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴是的平分线．
22．【答案】小明走完步道全程用了小时，小亮走完步道全程用了小时
【分析】设小明走完步道全程用了小时，则小亮走完步道全程用了小时，由此列式求解即可．
【详解】解：设小明走完步道全程用了小时，则小亮走完步道全程用了小时，
可列方程：，
化简得：，
，
解得：，
检验：时，且
∴原分式方程的解为，
∴，
答：小明走完步道全程用了小时，小亮走完步道全程用了小时．
23．【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明，利用线段垂直平分线的判定即可证明；
（2）由勾股定理求出，利用面积关系：即可求解．
【详解】（1）证明：∵直线分别为的垂线，
∴.
∴
在和中，
，
∴．
∴．
又∵，
∴点A，P都在线段的垂直平分线上.
∴垂直平分.
（2）解：在中，，
由勾股定理得：；
∵，
∴；
∵，
∴，
即，
∴．
24．【答案】(1)；
(2)1，3；
(3)，证明过程见详解
【分析】（1）根据题中示例进行变形即可得出答案；
（2）将通分，即可求得m及关于的方程组，解之即可得答案；
（3）根据做差法求出两个分式的差再判断出差的正负即可得出答案．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
，
，
，解得
（3）
证明：
，
，，
，，
．
25．【答案】(1)①见解析；②
(2)或
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②延长至F，使得，连接CF，根据等边三角形的判定和性质及全等三角形的判定得出，，再由全等三角形的性质求解即可；
（2）分两种情况：当点P在直线右下方时，当点P在直线左下方时，方法同②相似，求证即可．
【详解】（1）解：①补全图形如下：
②延长至F，使得，连接CF，如图所示：
∵，，
∴为等边三角形，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）当点P在直线右下方时，如图所示：
延长至F，使得，连接CF，如图所示：
∵，，
∴为等腰三角形，，
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当点P在直线左下方时，如图所示：
同理得：，，，
∴，
综上可得：或．
26．【答案】(1)，
(2)的取值范围为且
(3)且
【分析】（1）根据，，得线段的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为Q，且点B，点C到对称轴的距离为，结合点使得是以为底边的等腰三角形，得到点P在对称轴直线上，当时，得到，此时是等腰直角三角形，且，这时点P的坐标为，恰好是；当点坐标在下方时，，也符合题意；当点坐标在上方时，，不符合题意；解答即可．
（2）设的中点为T，过点D作轴于点M，确定直线为线段OD的垂直平分线，求得其解析式为，确定点，都是等腰点的直角点，列式解答即可．
（3）当点N与原点重合时，如图，以为边构造等边三角形，过点C作轴于点G，利用等边三角形的性质，矩形的性质，平移的思想解答即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴线段的对称轴为直线，设对称轴与x轴的交点为Q，
∴点B，点C到对称轴的距离为，
∵点使得是以为底边的等腰三角形，
∴点P在对称轴直线上，
∴点，，都在对称轴直线上，
当时，
∴，此时是等腰直角三角形，且，这时点P的坐标为，恰好是，符合题意；
点在下方，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
故，也符合题意；
点在上方，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
故，不符合题意；
故答案为：，．
（2）解：设的中点为T，过点D作轴于点M，
∵O0,0，，
∴，，，，
∴直线为线段OD的垂直平分线，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
∴点关于线段的90度等腰点在直线上，
∵，，设与x轴的交点为G，
∴，的垂直平分线为直线，
∴点E，点F到对称轴的距离为，
∵点使得是以为底边的等腰三角形，且点关于线段的90度等腰点，
∴点关于线段的90度等腰点在对称轴直线上，且当等腰点到x轴的距离为1时，为直角，
∴点，都是等腰点的直角点，
∴或，
解得或，
∴等腰点在点下方，在上方，包括这两点，
∴的取值范围为，
∵时，E，等腰点，F三点共线，
∴，此时不符合题意，
∴的取值范围为且．
（3）解：当点N与原点重合时，如图，以为边构造等边三角形，过点C作轴于点G，
∵点，点在轴正半轴上，满足，
∴，，，
过点C作轴于点F，
则，
∴，
又四边形是矩形，
∴，
∵点为轴上的动点，存在点关于线段的60度等腰点，
∴是的一半，
∴，
当向上平移n个单位时，此时；
当向下平移n个单位时，此时；
根据定义得，
当时，T，N，H三点共线，不符合题意，
故，
∴且．