北京市西城区2024-2025学年八年级上学期期末考试 数学试卷（含解析）

这是一份北京市西城区2024-2025学年八年级上学期期末考试 数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．故宫博物院北院区在建设时使用了混凝土仿生自修复技术，模仿生物组织损伤愈合的机能来提高建筑寿命，当出现不足0.0006米的裂缝时，这种混凝土可以“自愈”．将0.0006用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
2．下列图案中，不能看成是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列运算中，结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若一个三角形的两边长分别是，，则它的第三边长不可能是（ ）
A．B．C．D．
5．下列各式从左到右变形一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
6．在平面直角坐标系中，点（2，-3）关于轴的对称点坐标是（ ）
A．（2，3）B．（-2，-3）C．（-2，3）D．（-3，2）
7．如图，于点D，交于点E，延长交于点F．有以下结论：①；②；③；④．其中所有正确结论是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①④
8．在正方形中，点P在边上运动，连接，过点P作，连接．以下结论正确的是（ ）
A．点P与点B重合时，线段的长取得最大值
B．点P与边的中点重合时，线段的长取得最大值
C．点P与点C重合时，线段的长取得最大值
D．点P运动的过程中，线段的长不发生变化
二、填空题（本大题共8小题）
9．计算：（1） ；（2） ．
10．若一个多边形的内角和是，则这个多边形是 边形．
11．若分式有意义，则x的取值范围是 ．
12．如图，在和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是 ．（写出一个即可）
13．已知等式：，若括号内所填的式子记为A，则 ．
14．一辆汽车从A地途经B地开往C地，它在这两个路段的行驶情况如下表所示．已知这辆汽车从A地到B地行驶的时间比从B地到C地行驶的时间多，那么可列出关于v的方程为 ．
15．如图所示的“画图仪”由两根有轨道槽的木条组成，两根木条在点Q处相连并可绕点Q转动．另有长度与相等的两根木条，其中木条的一端S固定在木条上的相应位置，木条可绕点S转动，分别调整点M和点T在相应轨道槽中的位置可改变的大小．若小华同学在某次借助“画图仪”画图时，摆出的位置恰好满足：，则此时 ．
16．如图，在中，．D为边上一动点，连接．当取最小值时，的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题）
17．分解因式：
(1)
(2)
18．计算：
(1)计算：；
(2)先化简，再求值：，其中．
19．解方程：．
20．如图，点E，F分别在四边形的边AB，CD的的延长线上，连接，分别交，于点G，H，．
(1)求证：；
(2)判断线段与的位置关系，并证明．
21．已知：如图1，角α和线段m．
(1)求作：等腰三角形，使得它的底角为α，底边．
作法：①作；
②在上取点C，使；
③作线段的垂直平分线，交射线于点A；
④连接．
则为所求作的等腰三角形．
用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；
其中的依据是________；
(2)求作：等腰三角形，使得它的顶角，，底边上的高为m．
作法：①作；
②作的角平分线；
③在上取点H，使；
④过点H作的垂线，分别交，于点P，点Q；
则为所求作的等腰三角形．
用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹），并完成以下证明．
证明：平分．
．
，
．
，
．（________）（填推理的依据）
为等腰三角形．
22．对于多项式，当时，此多项式的值记为，即，例如．
(1)求的值：
(2)有以下两个结论：①对于任意实数a，都有；②对于任意两个实数a、b（且），都有．判断这两个结论是否正确，并说明理由．
23．在中，，点D在边上，．点E在的边上或内部，连接，．
(1)如图1，当点E在边上时，连接．
①________°；
②求证：；
(2)如图2，当点E在的内部时，用等式表示线段的数量关系，并证明．
24．在平面直角坐标系中，将过点且与轴垂直的直线记为直线，对于图形，给出如下定义：将图形关于直线对称后，再向右平移个单位长度，得到的图形记为，称图形为图形的“型对照变换图形”．
(1)点的“型对照变换图形”的坐标为________；
(2)已知点的“型对照变换图形”为点．
①点的坐标为________（用含，的式子表示）；
②当点与点关于第一、三象限的角平分线对称时，________；________；
(3)已知，作，其中，，，，，三点顺时针排列，并且，两点的横坐标均不超过．的“型对照变换图形”为．当线段与第一、三象限的角平分线存在交点时，直接写出的取值范围（用含的式子表示）．
25．如图所示的网格是正方形网格，正方形的顶点称为格点，顶点都在格点上的三角形称为格点三角形．将与全等，并与有且只有一条边重合的格点三角形称为的“友好格点三角形”．
(1)画出以为公共边的的所有“友好格点三角形”；
(2)共有________个“友好格点三角形”．
26．对于点P，直线l和图形N，给出如下定义：若点P关于直线l的对称点在图形N的内部或边上，则称点P为图形N关于直线l的“镜像点”．
在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．设点，直线为过点且与y轴垂直的直线．
(1)若在点中，点________是关于直线的“镜像点”；
(2)当时，若x轴上存在关于直线的“镜像点”，则t的最小值为________；
(3)已知直线过点且与第一、三象限的角平分线平行．
①若直线上存在关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围；
②已知边长为1的正方形的对角线的交点为，且正方形的边与坐标轴平行．若正方形边上的所有点都是关于直线的“镜像点”，直接写出t的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【分析】表示时要正确确定a的值以及n的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：0.0006用科学记数法表示应为．
故此题答案为C．
2．【答案】B
【分析】此题可根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是轴对称图形”进行求解即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故符合题意；
C、是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故不符合题意；
故此题答案为B．
3．【答案】D
【分析】利用同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方与积的乘方的法则对各项进行运算即可
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故此题答案为D．
4．【答案】D
【详解】解：由题意得：它的第三边长小于，大于，
∴A、B、C选项都可能，只有D选项不可能．
故此题答案为D．
5．【答案】D
【详解】解：A、不一定等于，即A项不合题意，
B、无法再约分，不一定等于，即B项不合题意，
C、分式的分子和分母同时加上一个数，与原分式不相等，即C项不合题意，
D、，即D项符合题意，
故此题答案为D．
6．【答案】A
【分析】关于轴的对称点坐标，横坐标不变，将纵坐标改为相反数.
【详解】横坐标不变，将纵坐标改为相反数，可得（2，3）
故此题答案为A.
7．【答案】B
【分析】根据平行线的性质结合题意可证，即得出，故①正确；由平行线的性质结合题意可证，又可求出，即得出，结合勾股定理即可求出，故②错误；过点C作于点G，根据角平分线的性质定理得出，再由，即得出，故③正确；由题意可求，即得出，根据，即，可证，故④错误．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，，
∴，即．
∵，
∴，
∴，故②错误；
如图，过点C作于点G，
∵，
∴．
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，即，
∴，故④错误．
综上可知正确结论是①③
故此题答案为B．
8．【答案】C
【详解】解：如图，延长，作于点，
，
，四边形为正方形，
，，
，
在与中，
，
，
，，
四边形为正方形，
，
，
，
，
，
当点P与点C重合时，取最大值，
线段的长取得最大值，
故此题答案为C．
9．【答案】 1
【详解】解：（1）．
（2）．
10．【答案】6/六
【详解】解：设这个多边形的边数为，由内角和公式可得：
，
11．【答案】
【分析】分式有意义的条件为，即可求得的范围，要求掌握意义：对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．
【详解】解：根据题意得：，解得：．
12．【答案】（答案不唯一）
【分析】根据全等三角形的判定填写即可．
【详解】解：添加的条件为：，
，
13．【答案】/
【分析】根据题意有，结合整式的混合运算法则求解即可．
【详解】解：
．
14．【答案】
【详解】解：汽车从A地到B地行驶的时间为，
汽车从B地到C地行驶的时间为，
根据题意可得
15．【答案】
【分析】可得为等边三角形，再利用，求得即可解答
【详解】解：由题意可得，
为等边三角形，
，
，
，
,
，
16．【答案】
【分析】延长到点，使，连接，证是等边三角形，可推出，过点作于点，则，从而，故当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，求出的值即可，构造含的直角三角形，将目标转化为求的最小值
【详解】解：如图，延长到点，使，连接，
，即，
垂直平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
过点作于点，
，
，
求的最小值即求的最小值，当，，三点共线时，的最小，过点作于点，即为所求最小值，
此时，设，则，
，
即当取最小值时，的值为．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先提取公因数3，进而利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）根据多项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：，
，
，
，
，
当时，原式．
19．【答案】分式方程无解
【分析】“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，最后一定注意要验根．
【详解】解：，
，
，
，
，
经检验，为原分式方程的增根，故原分式方程无解．
20．【答案】(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）根据得到，再利用得到，即可证明；
（2）根据（1）中可得，再利用平行线得到，即可得到．
【详解】（1）解：，
，
，
，即，
在与中，
，
；
（2）解：，证明如下：
，
，
，
，
，
．
21．【答案】(1)图见解析；线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等
(2)图见解析；证明见解析
【分析】（1）根据所给的作法和线段垂直平分线的作图方法画出对应的图形即可；
（2）根据所给的作法和作垂线的方法画出图形即可，再根据等腰三角形的判定，等角对等边即可证得．
【详解】（1）解：补全图形如下：
其中的依据是：线段垂直平分线上的点到该线段两端点的距离相等；
（2）解：补全图形如下：
证明：平分，
∴．
，
．
，
．(等角对等边)
为等腰三角形．
22．【答案】(1)6
(2)①②都是错误的，理由见详解
【分析】（1）根据题意可把代入进行求解即可；
（2）①根据题意可分当时和当时进行求解即可；②根据题意可分当时和当时进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
（2）解：由题意得：
①，
当时，则有；
当时，则有；
所以对于任意实数a，都有这个说法错误；
②由可分：
当时，则有：
；
当时，则有：
；
所以对于任意两个实数a、b（且），都有这个说法错误．
23．【答案】(1)①45；②见解析
(2)
【分析】（1）①根据三角形内角和定理结合题意即可求得；
②根据题意易证，即得出，结合三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求出．由题意可求出，根据三角形外角性质得出，即得出；
（2）在线段上取，易证，得出．设，则，可求出，即得出，从而得．
【详解】（1）解：①∵，
∴，即；
②∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：如图，在线段上取，
∵，，
∴，
∴．
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】(1)
(2)①；②，
(3)
【分析】（1）根据“型对照变换图形”的定义求解即可；
（2）①根据“型对照变换图形”的定义求解即可；②根据点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为，列方程即可求解；
（3）当时，，可得，，当时，则，可得，，根据线段与第一、三象限的角平分线存在交点，列不等式即可求解．
【详解】（1）解：点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为，
（2）解：①点关于直线对称的点的坐标为，再向右平移个单位长度后坐标为，
；
②点关于第一、三象限的角平分线对称的点的坐标为，
，
解得：；
（3）解： ，，，，，三点顺时针排列，
当时，，
∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，，
线段与第一、三象限的角平分线存在交点，
，，
解得：，
当时，则，
∴将，两点进行“型对照变换图形”后，，，
线段与第一、三象限的角平分线存在交点，
∴，，
解得：，
∴．
25．【答案】(1)画图见解析
(2)7
【分析】（1）根据新定义画出图形即可；
（2）根据新定义和全等三角形的性质画出图形来求解．
【详解】（1）解：根据题意作图如下
以为公共边的的所有“友好格点三角形”为：,,．
（2）解：根据题意画图如下，的“友好格点三角形”有,,，，，，共7个．
26．【答案】(1)点和点
(2)
(3)①，②
【分析】（1）将已知点放入直角坐标系中，根据对称性求得对应的对称点，结合“镜像点”逐点判断即可；
（2）根据题意可知这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的，观察竖直方向，上离x轴最远的点为C，则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C．此时，直线位于x轴和点C的正中间即可．
（3）①结合图像可知t取最小值和最大值时直线上存在关于直线的“镜像点”，结合对称性和临界点的性质即可求得最大值和最小值；
②根据正方形的性质可知四个顶点坐标分别为，，，．设正方形边上一点，其关于直线：的对称点，则正方形四个顶点及对角线交点关于直线∶的对称点的坐标，进一步列出不等式组求解，再结合对称正方形的对角线交点纵坐标不能小于0即可．
【详解】（1）解：将各个点标示在平面直角坐标系中，
∵关于直线的对称点为，，，
∴点和点是关于直线的“镜像点”．
故答案为：点和点；
（2）解∶求t的最小值，这个最小值必然是负值，对称轴直线是平行x轴的，
所以观察竖直方向，上离x轴最远的点为C，
则x轴上的关于直线的“镜像点”在竖直方向的最远距离就是在点C．
此时，直线位于x轴和点C的正中间．
因此，t的最小值为，
故答案为：；
（3）解∶ ①由题意可知直线的解析式为，
则直线上的点关于的对称点为，
那么，过点的直线为，
∴与直线有交点，且交点的临界值为和．
∴当过点A时，t的最大值为；当过点C时，t的最小值为，
故直线上存在关于直线的“镜像点”，t的取值范围为．
②正方形的对角线交点为，边长为1，则四个顶点坐标分别为，，，．
如果设正方形边上一点，过点P作交直线：于点B，则点，连接，结合直线和对称性即可知，
那么，点关于直线：的对称点．
∴正方形四个顶点及对角线交点关于直线：的对称点的坐标分别为，，，，，
∵正方形边上的所有点都是关于直线的“镜像点”，并且正方形位于直线的右下方，
∴对称正方形的左边顶点的横坐标不小于，对称正方形的上面顶点的纵些标不大于1，
即，解得，
同时，对称正方形的对角线交点纵坐标不能小于0(不能在x轴以下)，即，解得，
综上，t的取值范围为．
路段
路程（）
平均速度（）
A地—B地
40
B地—C地