广东省广州市海珠区中山大学附属中学2024-2025学年八年级上学期期末 数学试题（含解析）

这是一份广东省广州市海珠区中山大学附属中学2024-2025学年八年级上学期期末 数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．下列式子中是分式的是( )
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（ ）
A．2y3+y3=3y6B．y2•y3=y6C．（3y2）3=9y6D．y3÷y﹣2=y5
3．若等腰三角形的底角是顶角的2倍，则这个等腰三角形的底角的度数是( )
A．36°B．72°C．36°或72°D．无法确定的
4．若分式的值为0，则x的值为（ ）．
A．0B．1C．﹣1D．±1
5．下列因式分解中，正确的是 （ ）
A．B．
C．D．
6．已知：如图，在中，是的平分线，E为上一点，且于点F．若，，则∠B的度数为（ ）
A．60°B．65°C．75°D．85°
7．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC的长为
A．5B．6C．7D．8
8．如图，在中，，点B的坐标为，点C的坐标为1,4，则点A的坐标为（ ）
A．B．C．D．
9．已知，如图，是等边三角形，，于，交于点，下列说法：①，②，③，④，其正确的结论有（ ）．
A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④
10．若整数a使关于x的分式方程的解为负数，且使关于x的不等式组无解，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．5B．7C．9D．10
二、填空题（本大题共6小题）
11．计算： ．
12．已知点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)，则点A的坐标为 ．
13．如图，RtABC中，∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，则AD+DB的长为 ．
14．在RtABC中，∠C＝90°，若BC＝6，AD平分∠BAC交BC于点D，BD＝2CD，则点D到线段AB的距离为 ．
15．边长分别为m和的两个正方形如图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为 ．
16．如图，在ABC中，CD是AB边上的中线，设BC＝a，AC＝b，若a，b满足a2﹣10a+b2﹣18b+106＝0，则CD的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共9小题）
17．计算题
(1)计算：
(2)化简：
18．分解因式及解方程
(1)分解因式：
(2)解方程：
19．如图，ΔABC中，A点坐标为(2，4)，B点坐标为(-3，-2)，C点坐标为(3，1).
(1)在图中画出ΔABC关于y轴对称的ΔA′B′C′(不写画法)，并写出点A′，B′，C′的坐标；
(2)求ΔABC的面积.
20．在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．
（1）作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）条件下，比较线段DA与BC的大小关系，请说明理由．
21．化简式子然后从的范围内选取一个合适的整数作为x的值代入求值．
22．已知：如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，D、E分别是边PA和PB上的点，且CD＝CE．求证：∠APB+∠DCE＝180°．
23．阳光体育用品店有甲、乙两种品牌的篮球，已知乙品牌篮球的单价比甲品牌篮球的单价多元，用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍．
(1)求甲、乙两种品牌篮球的单价；
(2)该店在国庆节期间开展优惠活动，甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共50个，总费用不超过元，那么最多可购买多少个乙品牌篮球？
24．阅读材料：对于非零实数a，b，若关于x的分式的值为零，则解得x1＝a，x2＝b．又因为﹣（a+b），所以关于x的方程x+＝a+b的解为x1＝a，x2＝b．
(1)理解应用：方程的解为：x1＝ ，x2＝ ；
(2)知识迁移：若关于x的方程x+＝5的解为x1＝a，x2＝b，求a2+b2的值；
(3)拓展提升：若关于x的方程＝k﹣x的解为x1＝t+1，x2＝t2+2，求k2﹣4k+2t3的值．
25．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，，且b满足．
(1)求点B的坐标．
(2)为y轴上一动点，连接，过点P在线段上方作，且，
①如图1，若点P在y轴正半轴上，点M在第一象限，连接，过点B作的平行线交x轴于点，求点的坐标（用含t的式子表示）．
②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据分式的定义判断即可.
【详解】、、的分母中不含有字母，属于整式，
的分母中含有字母，属于分式．
故此题答案为C．
2．【答案】D
【分析】根据同底数幂的计算法则答即可.
【详解】A. 2y3+y3=3y3,所以A错误；
B. y2•y3=y5，所以B错误；
C. （3y2）3=27y6，所以C错误；
D. y3÷y﹣2=y5，正确.
故此题答案为D.
3．【答案】B
【分析】设顶角为x度，则底角为2x度，根据三角形内角和定理求出x的值即可得.
【详解】设顶角为x度，则底角为2x度，
则：x+2x+2x=180，
解得：x=36，
∴2x=72，
故此题答案为B．
4．【答案】B
【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得.
【详解】解：∵分式的值为零，
∴，
解得：x=1，
故此题答案为B．
5．【答案】C
【分析】根据因式分解的方法，进行因式分解，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，选项错误，不符合题意；
B、，选项错误，不符合题意；
C、，选项正确，符合题意；
D、无法分解因式，选项错误，不符合题意；
故此题答案为C．
6．【答案】B
【分析】先根据EF⊥BC，∠DEF＝15°可得出∠ADB的度数，再由三角形外角的性质得出∠CAD的度数，根据角平分线的定义得出∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】解：∵EF⊥BC，∠DEF＝15°，
∴∠ADB＝90°−15°＝75°，
∵∠C＝35°，
∴∠CAD＝75°−35°＝40°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAC＝2∠CAD＝80°，
∴∠B＝180°−∠BAC−∠C＝180°−80°−35°＝65°，
故此题答案为B．
7．【答案】B
【分析】根据题意可得MN是直线AB的中点，所以可得AD=BD，BC=BD+CD，而△ADC为AC+CD+AD=14，即AC+CD+BD=14，因此可得AC+BC=14，已知BC即可求出AC.
【详解】根据题意可得MN是直线AB的中点
的周长为



已知
，
故此题答案为B
8．【答案】C
【分析】过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，则，，即可利用证明，有和．结合点坐标得，，，可求得和即可．
【详解】解：如图，过点A作轴于点E，过点C作轴于点F，
∴，．
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，．
∵点的坐标为，点的坐标是1,4，
∴，，，
∴，，
∴点的坐标为．
故此题答案为C．
9．【答案】D
【分析】根据等边三角形的性质可得,，利用“边角边”证明，再结合全等三角形的性质与三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质以及直角三角形角所对的直角边是斜边的一半的性质逐一分析判断即可．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，故①正确．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴，故③正确．
∵，
∴，故④正确．
若，，则为等腰直角三角形，．但题目中没有此条件，故②错误．
故此题答案为D．
10．【答案】C
【分析】解分式方程和不等式得出关于x的值及x的范围，根据分式方程的解不是增根且为负数和不等式组无解得出a的范围，继而可得整数a的所有取值，然后相加．
【详解】解：解关于x的分式方程，得x＝−2a+1，
∵x≠±1，
∴a≠0，a≠1，
∵关于x的分式方程的解为负数，
∴−2a+1＜0，
∴，
解不等式，得：x＜a，
解不等式，得：x≥4，
∵关于x的不等式组无解，
∴a≤4，
∴则所有满足条件的整数a的值是：2、3、4，和为9，
故此题答案为C．
11．【答案】1
【分析】根据0指数幂的意义解答即可．
【详解】解：因为，所以．
12．【答案】
【分析】根据“关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可
【详解】解：∵点A关于x轴的对称点B的坐标为(1，﹣2)，
∴点A的坐标为
13．【答案】9
【分析】根据∠CAD＝30°，得到AD=2CD，从而得到AD+BD=3CD,求得CD即可．
【详解】∵∠C＝90°，D是BC的中点，∠CAD＝30°，BC＝6，
∴AD=2CD，BD=CD=BC=3，
∴AD+BD=3CD=9
14．【答案】2
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据题意求出CD，根据角平分线的性质求出DE，得到答案．
【详解】解：过点D作DE⊥AB于E，
∵BC＝6，BD＝2CD，
∴CD＝2，
∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB，
∴DE＝CD＝2，即点D到线段AB的距离为2
15．【答案】
【分析】由图可知，阴影部分的面积=两个正方形的面积之和-两个三角形的面积，据此列式计算即可．
【详解】解：由图可得阴影部分的面积=
=．
16．【答案】2＜CD＜7
【分析】已知等式变形后，利用完全平方公式配方，再利用非负数的性质求出a与b的值，即可求出CD的取值范围．
【详解】解：已知等式整理得：（a2−10a＋25）＋（b2−18b＋81）＝0，
即（a−5）2＋（b−9）2＝0，
∵（a−5）2≥0，（b−9）2≥0，
∴a−5＝0，b−9＝0，
解得：a＝5，b＝9，
∴BC＝5，AC＝9，
延长CD到E，使DE＝CD，连接AE，
∵CD为AB边上的中线，
∴BD＝AD，
在△BCD和△AED中，
，
∴△BCD≌△AED（SAS），
∴AE＝BC＝a，
在△ACE中，AC−AE＜CE＜AC＋AE，
∴AC−BC＜2CD＜AC＋AE，即b−a＜2CD＜a＋b，
∴＜CD＜，
则2＜CD＜7．
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据乘方，零指数幂，负整数指数幂化简，在计算，即可求解；
（2）把除法转化为乘法，并把分子、分母分解因式约分，然后通分按同分母分式的减法计算．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．【答案】(1)
(2)无解
【分析】（1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
（2）先去分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后检验即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：方程两边同乘以得：
检验：时，
∴是原方程的增根，原分式方程无解．
19．【答案】(1)见解析，A′(-2，4)，B′(3，-2)，C′(-3，1)；(2)
【分析】（1）根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，然后列式计算即可得解．
【详解】解：（1）如图，
A′（-2，4），B′（3，-2），C′（-3，1）；
（2）S△ABC=6×6-×5×6-×6×3-×1×3，
=36-15-9-，
=．
20．【答案】（1）详见解析；（2）DA=BC，理由详见解析.
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的角平分线）作出BD；
（2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ABC=∠C=72°，再利用角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD=36°，然后根据等腰三角形的判定得到DA=DB，DB=DC，所以BD=AD．
【详解】解：（1）如图所示，BD为所作；
（2）DA=BC．
理由如下：
∵AB=AC，
∴，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠ABD=∠A，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴DA=BC．
21．【答案】，x=2时，原式
【分析】先将括号里的异分母分式相加减通分为同分母分式相加减，再算分式的乘除，再通分计算异分母分式加减即可；根据分式有意义的条件，选取适当的整数代入计算即可．
【详解】解：
满足的整数有：、、0、1、2，
但、、0、1时，原分式式无意义，
∴
∴当时，原式．
22．【答案】见详解．
【分析】根据PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，得出CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，得出∠MPN+∠MCN=180°，再证Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），得出∠MCD=∠NCE即可．
【详解】解：∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM=CN，∠PMC=90°，∠PNC=90°，
∴∠MPN+∠MCN=360°-∠PMC-∠PNC=360°-90°-90°=180°，
在Rt△MCD和Rt△NCE中，
，
∴Rt△MCD≌Rt△NCE（HL），
∴∠MCD=∠NCE，
∴∠APB+∠DCE=∠APB+∠DCN+∠NCE=∠APB+∠DCN+∠MCD=∠APB+∠MCN=180°．
23．【答案】(1)甲种品牌篮球的单价为元，乙种品牌篮球的单价为元
(2)最多可购买个乙种品牌的篮球
【分析】（1）设甲种品牌篮球的单价是x元，乙种品牌的单价是元，根据“用元购买甲品牌篮球的数量是用元购买乙品牌篮球数量的倍”，列出关于x的分式方程，解之经检验后即可．
（2）设本次购买m个乙种品牌篮球，则购买个甲种品牌篮球，根据“甲品牌篮球按原单价的折出售，乙品牌篮球按原单价的折出售，某校计划在国庆节期间在该店购买甲、乙两种品牌篮球共50个，总费用不超过元”，列出关于m的一元一次不等式，解之取最大的正整数即可．
【详解】（1）设甲种品牌篮球的单价是元，乙种品牌的单价是元，
根据题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合实际意义，
，
答：甲种品牌篮球的单价为元，乙种品牌篮球的单价为元，
（2）设本次购买个乙种品牌篮球，则购买个甲种品牌篮球，
根据题意得：
，
解得：，
因为为正整数，所以的最大值为，
答：最多可购买个乙种品牌的篮球．
24．【答案】(1)3，23；
(2)19；
(3)12．
【分析】（1）根据题意可得x=3或x=23；
（2）由题意可得a+b=5，ab=3，再由完全平方公式可得a2+b2=（a+b）2-2ab=19；
（3）方程变形为x-1+=k-1，则方程的解为x-1=t或x-1=t2+1，则有t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，整理得k=t+t2+2，t3+t=4，再将所求代数式化为k2-4k+2t3=t（t3+t）+4t3-4=4（t3+t）-4=12．
【详解】（1）解：∵x+=a+b的解为x1=a，x2=b，
∴x2+2x=x+2x=3+23的解为x=3或x=23，
故答案为：3，23；
（2）解：∵x+=5，
∴a+b=5，ab=3，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab=25-6=19；
（3）解：=k-x可化为x-1+=k-1，
∵方程=k-x的解为x1=t+1，x2=t2+2，
则有x-1=t或x-1=t2+1，
∴t（t2+1）=4，t+t2+1=k-1，
∴k=t+t2+2，t3+t=4，
k2-4k+2t3
=k（k-4）+2t3
=（t+t2+2）（t+t2-2）+2t3
=t4+4t3+t2-4
=t（t3+t）+4t3-4
=4t+4t3-4
=4（t3+t）-4
=4×4-4
=12．
25．【答案】(1)
(2)①②且
【分析】（1）直接根据绝对值的非负性求出即可；
（2）①先根据平行线的性质求出，再根据全等三角形的判定和性质求出，最后根据点P在y轴正半轴上作答即可；②过点M作轴于N，先根据全等三角形的判定和性质等量代换得到，求出，再根据等腰三角形的性质计算角的加减即可．
【详解】（1）∵，且b满足，
∴，
解得：，
∴
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴，
∴在和中
∴，
∴，
∵且点P在y轴正半轴上，
∴
②如图3，过点M作轴于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴M点在过B点且与y轴正半轴成夹角的直线上运动，
如图4，设直线与x轴交于点D，当时，最小，
，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴是等腰直角三角形，且，
又∵，
∴﹑均是等腰直角三角形，
∴，，
∴且．