湖南省长沙市2025届高三上学期新高考适应性考试数学试题

这是一份湖南省长沙市2025届高三上学期新高考适应性考试数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知i是虚数单位，则复数i7的值是( )
A. 1B. −1C. iD. −i
2.若空间中三条不同直线a，b，c满足a⊥b，且b/​/c，则直线a与直线c必定( )
A. 平行B. 相交C. 垂直D. 异面
3.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点(−14,12)，则csα=( )
A. −14B. 12C. − 55D. 2 55
4.已知函数f(x)的图象如下图所示，则其导函数f′(x)的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
5.若f(x)=sinx+ 3csx在区间[−θ,θ]上是增函数，则tanθ的最大值是( )
A. 33B. 32C. 1D. 3
6.在△ABC中，AB=2，AC=3，∠BAC=60∘.若AD⊥BC于D，则AD=( )
A. 17AB+67ACB. 67AB+17ACC. 16AB+56ACD. 56AB+16AC
7.已知抛物线x2=2py(p>0)上两点A，B满足|AB|=12，若线段AB的中点M的纵坐标的最小值为4，则p=( )
A. 2B. 4C. 5D. 6
8.已知函数f(x)=4x,x⩾a,−2lg2x,00．
(1)若y=f(x)在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为e2，求a的值;
(2)若x=x0是f(x)的极小值点，证明：f(x0)b>0)的左顶点为A，焦距为2 3，且离心率为 32．
(1)求椭圆C的方程;
(2)直线l与椭圆C交于M，N两点，点P为△AMN的外心．
(ⅰ)若△AMN为等边三角形，求点P的坐标;
(ⅱ)若点P在直线x=−13上，求点A到直线l的距离的取值范围．
19.(本小题17分)
已知无穷数列{an}满足an=qn(q≠0).对于集合T⊆N∗，定义ST:若T=⌀，则ST=0;若T={t1,t2,⋯,tk}，则ST=at1+at2+⋯+atk．
(1)若q=2，ST=26，求集合T;
(2)若q=2，集合A，B⊆N∗，且SA+SB=210，求A∩B中元素个数的可能值;
(3)若0SAn>0，证明：k=1nSAkSA10，则0a(4a−4lna)>0，
可知，存在x1，x2∈R，满足1a4