2025高考数学考二轮专题突破练20直线与圆-专项训练【含答案】

这是一份2025高考数学考二轮专题突破练20直线与圆-专项训练【含答案】，共8页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.(2024·广东广州实验中学一模)已知点A(2,3),B(4,1),直线x-2y+4=0与y轴相交于点C,则△ABC中AB边上的高CE所在直线的方程是( )
A.x+y-2=0B.x+y+2=0
C.x-y+2=0D.x-y-2=0
2.(2024·新高考Ⅱ,5)已知曲线C:x2+y2=16(y>0),从C上任意一点P向x轴作垂线PP',P'为垂足,则线段PP'的中点M的轨迹方程为( )
A.x216+y24=1(y>0)
B.x216+y28=1(y>0)
C.y216+x24=1(y>0)
D.y216+x28=1(y>0)
3.(2024·九省联考)已知Q为直线l:x+2y+1=0上的动点,点P满足QP=(1,-3),记点P的轨迹为E,则( )
A.E是一个半径为5的圆
B.E是一条与l相交的直线
C.E上的点到l的距离均为5
D.E是两条平行直线
4.已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为( )
A.7+11B.17
C.37+11D.15
5.已知直线l:mx+y+3m-1=0与圆O:x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=( )
A.2B.433C.23D.4
6.已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为( )
A.42B.22C.8D.82
7.由点P(-3,0)射出的两条光线与☉O1:(x+1)2+y2=1分别相切于点A,B,称两射线PA,PB上切点右侧部分的射线和优弧AB右侧所夹的平面区域为☉O1的“背面”.若☉O2:(x-1)2+(y-t)2=1处于☉O1的“背面”,则实数t的取值范围为( )
A.-23≤t≤23
B.-433+1≤t≤433-1
C.-1≤t≤1
D.-233≤t≤233
二、多项选择题
8.已知直线l:kx-y-k=0与圆M:x2+y2-4x-2y+1=0,则下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点(1,0)
B.圆M的圆心坐标为(2,1)
C.存在实数k,使得直线l与圆M相切
D.若k=1,直线l被圆M截得的弦长为2
9.已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则( )
A.圆O1和圆O2有两条公切线
B.直线AB的方程为x-y+1=0
C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|
D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+2
三、填空题
10.若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m= .
11.(2022·新高考Ⅰ,14)写出与圆x2+y2=1 和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程: .
12.(2024·天津,12)(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合,A为两曲线的交点,则原点O到直线AF的距离为 .
四、解答题
13.如图,在平面直角坐标系Oxy中,已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且|BC|=|OA|,求直线l的方程;
(3)设点T(t,0),在圆M上存在两点P,Q,使得TA+TP=TQ,求实数t的取值范围.
专题突破练20 直线与圆 答案
一、单项选择题
1.C 解析 ∵直线x-2y+4=0与y轴相交于点C,令x=0,得y=2,∴C(0,2).
由题知CE⊥AB,∴kCE×kAB=-1,∵直线AB的斜率kAB=3-12-4=-1,∴kCE=1,
易知点C在直线CE上,根据点斜式得y-2=x,即x-y+2=0.故选C.
2.A 解析 设P(x0,y0)(y0>0),则P'(x0,0),设M(x,y),则x=x0,y=y02,
又x02+y02=16,所以x2+4y2=16,即x216+y24=1(y>0),故选A.
3.C 解析 设P(x,y),由QP=(1,-3),得Q(x-1,y+3),因为Q在直线l:x+2y+1=0上,所以x-1+2(y+3)+1=0,化简得x+2y+6=0,即P的轨迹E为直线,且与直线l平行,所以轨迹E上的点到直线l的距离d=|6-1|12+22=5,故A,B,D错误,C正确.故选C.
4.C 解析 依题意,圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C1(1,2),半径r1=3.
圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C2(2,8),半径r2=8,
故|MN|max=|C1C2|+r1+r2=37+11.
5.B 解析 直线过定点(-3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB是等边三角形,圆心O到直线AB的距离为3,所以|3m-1|1+m2=3,m=-33,
直线斜率为k=-m=33,倾斜角为θ=π6,
所以|CD|=|AB|csθ=2csπ6=433.
6.A 解析 将圆C的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C(2,1),半径r=2.
将直线l的方程整理为y=k(x-1)+2,则直线l恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C内.
最长弦MN为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ为过(1,2),且与最长弦MN垂直的弦,
∵kMN=2-11-2=-1,∴kPQ=1.
直线PQ方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.
圆心C到直线PQ的距离为d=|2-1+1|2=2,|PQ|=2r2-d2=24-2=22.
四边形PMQN的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×22=42.
7.D 解析 设过点P的切线方程为y=k(x+3),如图所示,
∴|-k+3k|1+k2=1,∴k=±33,∴直线AP的方程为y=33(x+3),即x-3y+3=0,
直线PB的方程为y=-33(x+3),即x+3y+3=0.
∵☉O2:(x-1)2+(y-t)2=1处于☉O1的“背面”,
∴与PB相切时t取最小值,由|1+3t+3|1+3=1,解得t=-233或t=-23,
结合图形可得t的最小值为-233,
同理与PA相切时可得t的最大值为t=233,
∴-233≤t≤233.
二、多项选择题
8.AB 解析 直线l:kx-y-k=0变形为y=k(x-1),故恒过定点(1,0),A正确;圆M:x2+y2-4x-2y+1=0变形为(x-2)2+(y-1)2=4,圆心坐标为(2,1),B正确;令圆心(2,1)到直线l:kx-y-k=0的距离|2k-1-k|1+k2=2,整理得3k2+2k+3=0,由Δ=4-36=-320)的距离为|1-1+m|2=m2.
由勾股定理可得(m2)2+(m2)2=3,又m>0,解得m=2.
11.x=-1(或y=-34x+54,或y=724x-2524)
解析 在平面直角坐标系中,画出圆x2+y2=1和圆(x-3)2+(y-4)2=16.设点O(0,0),O1(3,4),
由图得两圆外切,则☉O与☉O1有两条外公切线和一条内公切线,易得其中一条外公切线l的方程为x=-1.由图可知,内公切线l1与另一条外公切线l2的斜率均存在.
∵l1与直线OO1垂直,直线OO1的斜率kOO1=43,∴直线l1的斜率kl1=-34,直线OO1的方程为y=43x.可设直线l1的方程为y=-34x+b(b>0).
又圆心O到直线l1的距离d1=|b|-342+1=1,解得b=54(负值舍去).
故内公切线l1的方程为y=-34x+54.
由y=43x,x=-1,得直线l与直线OO1的交点为A-1,-43.
则可设直线l2的方程为y+43=k(x+1).
又圆心O到直线l2的距离d2=k-43k2+1=1,解得k=724,故直线l2的方程为y=724x-2524.
由上可知,与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的直线的方程为x=-1,或y=-34x+54,或y=724x-2524.
12.45 解析 由题意可知,圆(x-1)2+y2=25的圆心为F(1,0),则p2=1,p=2,所以抛物线的方程为y2=4x.
由(x-1)2+y2=25,y2=4x,可得x2+2x-24=0,解得x=4或x=-6(不符合题意,舍去),则点A的坐标为(4,4)或(4,-4).
当点A的坐标为(4,4)时,直线AF的方程为4x-3y-4=0,原点O到直线AF的距离为|-4|42+(-3)2=45;
当点A的坐标为(4,-4)时,直线AF的方程为4x+3y-4=0,原点O到直线AF的距离为|-4|42+32=45.
综上可知,原点O到直线AF的距离为45.
四、解答题
13.解 (1)圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,圆心为M(6,7),半径为r=5.由题意,设圆N的方程为(x-6)2+(y-b)2=b2(b>0),且(6-6)2+(b-7)2=b+5.
解得b=1.故圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.
(2)因为kOA=2,所以可设l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0.
又|BC|=|OA|=22+42=25,由题意,圆M的圆心到直线l的距离为d=52-|BC|22=25-5=25,所以|2×6-7+m|22+(-1)2=25,解得m=5或m=-15.
故直线l的方程为y=2x+5或y=2x-15.
(3)由TA+TP=TQ,可知TA=PQ,
因为P,Q为圆M上的两点,
所以|PQ|≤2r=10.
所以|TA|=|PQ|≤10,即(t-2)2+42≤10,解得2-221≤t≤2+221.故实数t的取值范围为[2-221,2+2】