2023-2024学年广东省广州市海珠区七年级（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年广东省广州市海珠区七年级（上）期末数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3 分）若气温为零上 10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（）
A．零上 3℃B．零下 3℃C．零上 7℃D．零下 7℃ 2．（3 分）将“784000”用科学记数法表示为（）
A．7.84×105B．7.84×106C．7.84×107D．78.4×106
3．（3 分）如图的平面图形绕直线 l 旋转一周，可以得到的立体图形是（）
A． B． C． D．
4．（3 分）下列计算正确的是（）
A．2ab﹣2ba＝0B．a2b﹣ab2＝0C．a3+a2＝a5D．2a+3b＝5ab 5．（3 分）下列方程变形正确的是（）
A．若 x+5＝1，则 x＝1+5B．若 2x＝8，则 x＝8﹣2
C．若 6x＝3，则 x＝ D．若 x＝5，则 x＝5÷（）
6．（3 分）若关于 x 的方程 2x+a＝9﹣a（x﹣1）的解是 x＝3，则 a 的值为（）
A．1B．2C．﹣3D．5
7．（3 分）如图一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，“保”字对面的字是（）
A．碳B．低C．绿D．色
8．（3 分）在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣1 的点与表示 3 的点重合，表示数 7 的点与点 A 重合，则点 A 表示的数是（）
A．5B．﹣3C．﹣7D．﹣5
9．（3 分）有一个魔术，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出五张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出三张，放入中间一堆；
第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆．
这时，魔术师准确说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（）
A．8B．9C．10D．11
10．（3 分）的所有可能的值有（）个．
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）﹣2023 的相反数是．
12．（3 分）已知∠α＝32°，则∠α的余角是°．
13．（3 分）“某数与 6 的和的一半等于 12“，设某数为 x，则依题意可列方程 ．
14．（3 分）若单项式﹣2ax2yn+1 与﹣3axmy4 的差是 ax2y4，则 2m+3n＝ ．
15．（3 分）已知线段 AC 和线段 BC 在同一直线上，如果 AC＝6cm，BC＝4cm，则线段 AC 和线段 BC 的中点之间的距离为cm．
16．（3 分）如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第 n 个图形中有个小圆圈．
三、解答题（本题共 9 小题，共 72 分。解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（4 分）计算：（﹣3）2×2﹣|﹣36|÷4．
18．（8 分）解一元一次方程：
（1）4x﹣1＝2x+5；（2）+＝4．
19．（6 分）已知多项式．
化简 A；
若 a2+2b2＝5，求多项式 A 的值．
20．（6 分）如图，已知四点 A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
画直线 AB；
画射线 AC；
连接 BC 并延长 BC 到 E，使得 CE＝AB+BC；
在线段 BD 上取点 P，使 PA+PC 的值最小，你的依据是．
21．（6 分）如图，线段 AB＝20，BC＝15，点 M 是 AC 的中点．
求线段 AM 的长度；
在 CB 上取一点 N，使得 CN：NB＝2：3．求 MN 的长．
22．（8 分）某超市为了吸引顾客，推出两种不同的优惠销售方式，方式一：累计购买商品总价超过 200 元，超出的部分按原价 8 折优惠；方式二：累计购买商品总价超过 100 元，超出部分按原价 8.5 折优惠．
甲顾客准备购买 300 元的商品，你认为他应该选择哪种优惠方式？请说明理由．
设乙顾客计划累计购物 x 元（x＞200），他选择何种优惠方式更省钱？
23．（10 分）定义：关于 x 的方程 ax﹣b＝0 与方程 bx﹣a＝0（a，b 均为不等于 0 的常数）称互为“反对方程”，例如：方程 2x﹣1＝0 与方程 x﹣2＝0 互为“反对方程”．
若关于 x 的方程 2x﹣3＝0 与方程 3x﹣c＝0 互为“反对方程”，则 c＝ ．
若关于 x 的方程 2x﹣3＝d 与其“反对方程”的解都是整数，求整数 d 的值．
已知关于 x 的一元一次方程x+5＝7x+m 的解为 x＝﹣，那么关于 y 的一元一次方程（m﹣5）
（y+2）+7＝的解为 ．（请直接写出答案）
24．（12 分）请阅读下列材料，并解答相应的问题：
“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图 1），是世界上最早的矩阵，又称幻方．用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如表 1）．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等．
表 1
表 2
表 3
设表 2 三阶幻方中间的数字是 x，用 x 的代数式表示幻方中 9 个数的和为；每一行三个数的和为；
表 3 是一个三阶幻方，那么标有 x 的方格中所填的数是多少？请写出解题过程．
由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图 2 所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，x＝k+1，y＝k﹣1，求 a﹣b﹣c+d 的值．
4
9
2
3
5
7
8
1
6
x+3
x﹣4
x﹣2
x
x﹣1
x﹣3
x
8
10
2
25．（12 分）如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使∠BOC＝110°，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处（∠OMN＝30°），一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方．
将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC， 求∠BON 的度数．
将图 1 中三角板绕点 O 以每秒 5°的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线 OP 从 OC 开始绕点 O
以每秒 2°的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线 OP 也停止运动．设旋转时间为 t 秒．
①在运动过程中，当∠POM＝40°时，求 t 的值．
②当 40＜t＜54 时，在旋转的过程中∠CON 与∠AOM 始终满足关系 m∠CON+∠AOM＝n°（m，n 为常数），求 m+n 的值．
2023-2024 学年广东省广州市海珠区七年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）若气温为零上 10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为（）
零上 3℃B．零下 3℃C．零上 7℃D．零下 7℃
【解答】解：若气温为零上 10℃记作+10℃，则﹣3℃表示气温为零下 3℃． 故选：B．
2．（3 分）将“784000”用科学记数法表示为（）
A．7.84×105B．7.84×106C．7.84×107D．78.4×106
【解答】解：784000＝7.84×105． 故选：A．
3．（3 分）如图的平面图形绕直线 l 旋转一周，可以得到的立体图形是（）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，一个长方形绕轴 l 旋转一周得到的立体图形是圆柱． 故选：B．
4．（3 分）下列计算正确的是（）
A．2ab﹣2ba＝0B．a2b﹣ab2＝0C．a3+a2＝a5D．2a+3b＝5ab
【解答】解：A、2ab﹣2ba＝0，故原题计算正确；
B、a2b 和 ab2 不是同类项，不能合并，故原题计算错误； C、a3 和 a2 不是同类项，不能合并，故原题计算错误； D、2a 和 3b 不是同类项，不能合并，故原题计算错误； 故选：A．
5．（3 分）下列方程变形正确的是（）
A．若 x+5＝1，则 x＝1+5B．若 2x＝8，则 x＝8﹣2
C．若 6x＝3，则 x＝ D．若 x＝5，则 x＝5÷（）
【解答】解：A．由 x+5＝1，得 x＝1﹣5，那么 A 错误，故 A 不符合题意．
由 2x＝8，得 x＝＝4，那么 B 错误，故 B 不符合题意．
由 6x＝3，得 x＝＝ ，那么 C 错误，故 C 不符合题意．
由 x＝5，的 x＝5÷，那么 D 正确，故 D 符合题意． 故选：D．
6．（3 分）若关于 x 的方程 2x+a＝9﹣a（x﹣1）的解是 x＝3，则 a 的值为（）
A．1B．2C．﹣3D．5
【解答】解：将 x＝3 代入方程 2x+a＝9﹣a（x﹣1），得：6+a＝9﹣2a，解得：a＝1，
故选：A．
7．（3 分）如图一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，“保”字对面的字是（）
A．碳B．低C．绿D．色
【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，
∴在此正方体上与“保”字相对的面上的汉字是“碳”．故选：A．
8．（3 分）在纸上画了一条数轴后，折叠纸面，使数轴上表示﹣1 的点与表示 3 的点重合，表示数 7 的点与点 A 重合，则点 A 表示的数是（）
A．5B．﹣3C．﹣7D．﹣5
【解答】解：∵折叠纸后，数轴上表示﹣1 的点与表示 3 的点重合，
∴折痕在数轴上表示 1 的点的位置， 又∵7 到 1 的距离为 6，7 在 1 的右侧，
∴点 A 在表示 1 的点的左侧，且到 1 的距离为 6，
∴A 表示的数为 1﹣6＝﹣5． 故本题选：D．
9．（3 分）有一个魔术，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作：第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五张，且各堆牌的张数相同； 第二步：从左边一堆拿出五张，放入中间一堆；
第三步：从右边一堆拿出三张，放入中间一堆；
第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆．
这时，魔术师准确说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（）
A．8B．9C．10D．11
【解答】解：设第一步时候，每堆牌的数量都是 x（x≥5）；第二步时候：左边 x﹣5，中间 x+5，右边 x；
第三步时候：左边 x﹣5，中间 x+8，右边 x﹣3；
第四步开始时候，右边有（x﹣3）张牌，则从中间拿走（x﹣3）张，
∴中间所剩牌数为（x+8）﹣（x﹣3）＝x+8﹣x+3＝11，
∴他说出的张数是 11， 故选：D．
10．（3 分）的所有可能的值有（）个．
A．2B．3C．4D．5
【解答】解：（1）a、b、c 均为正数时，
＝ + + ＝1+1+1＝3；
a、b、c 均为负数时，
＝ + + ＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
a、b、c 有两个正数，一个负数时，例如：a＞0，b＞0，c＜0，
＝ + + ＝1+1﹣1＝1；
a、b、c 有一个正数，两个负数时，例如：a＞0，b＜0，c＜0，
＝ + + ＝1﹣1﹣1＝﹣1；
∴ 的所有可能的值有 4 个：3，﹣3，1，﹣1． 故选：C．
二、填空题（本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
11．（3 分）﹣2023 的相反数是 2023．
【解答】解：﹣2023 的相反数是﹣（﹣2023）＝2023． 故答案为：2023．
12．（3 分）已知∠α＝32°，则∠α的余角是 58°．
【解答】解：∠α的余角是：90°﹣32°＝58°． 故答案为：58．
13．（3 分）“某数与 6 的和的一半等于 12“，设某数为 x，则依题意可列方程 （x+6）＝12．
【解答】解：由题意可得， 这个方程为： （x+6）＝12，
故答案为： （x+6）＝12．
14．（3 分）若单项式﹣2ax2yn+1 与﹣3axmy4 的差是 ax2y4，则 2m+3n＝ 13．
【解答】解：∵单项式﹣2ax2yn+1 与﹣3axmy4 的差是 ax2y4，
∴m＝2，n+1＝4
解得：m＝2，n＝3，
把 m＝2，n＝3 代入 2m+3n＝13， 故答案为：13
15．（3 分）已知线段 AC 和线段 BC 在同一直线上，如果 AC＝6cm，BC＝4cm，则线段 AC 和线段 BC 的中点之间的距离为 1 或 5cm．
【解答】解：如图 1，∵点 M、N 分别是 AC、BC 的中点，
∴AM＝CM＝ AC＝3cm，BN＝CN＝ BC＝2cm，
∴MN＝MC+CN＝5cm；
如图 2，∵点 M、N 分别是 AC、BC 的中点，
∴AM＝CM＝ AC＝3cm，BN＝CN＝ BC＝2cm，
∴MN＝MC﹣CN＝1cm；
综上所述，MN＝1cm 或 MN＝5cm． 故答案为：1 或 5．
16．（3 分）如图所示的图形都由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，若按此规律排列下去，则第 n 个图形中有 （n2+n+4） 个小圆圈．
【解答】解：观察图形的变化可知：
第 1 个图形中有小圆圈的个数：1×2+4＝6 个； 第 2 个图形中有小圆圈的个数：2×3+4＝10 个； 第 3 个图形中有小圆圈的个数：3×4+4＝16 个；
…
则第 n 个图形中有小圆圈的个数为：n（n+1）+4＝n2+n+4． 故答案为：n2+n+4．
三、解答题（本题共 9 小题，共 72 分。解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（4 分）计算：（﹣3）2×2﹣|﹣36|÷4．
【解答】解：（﹣3）2×2﹣|﹣36|÷4
＝9×2﹣36÷4
＝18﹣9
＝9．
18．（8 分）解一元一次方程：
（1）4x﹣1＝2x+5；
（2） + ＝4．
【解答】解：（1）移项得，4x﹣2x＝5+1，合并同类项得，2x＝6，
系数化为 1 得，x＝3；
（2）去分母得，3（x﹣3）+2（x﹣1）＝24， 去括号得，3x﹣9+2x﹣2＝24，
移项得，3x+2x＝24+9+2， 合并同类项得，5x＝35， 系数化为 1 得，x＝7．
19．（6 分）已知多项式．
化简 A；
若 a2+2b2＝5，求多项式 A 的值．
【解答】解：（1）A＝6a2﹣6ab+3b2﹣2a2+6ab+5b2＝4a2+8b2．
（2）由题意得：a2+2b2＝5①． 由题（1）得 A＝4a2+8b2．
∴①×4 4a2+8b2＝20．
∴A＝20．
答：A＝20．
20．（6 分）如图，已知四点 A、B、C、D，请用尺规作图完成．（保留画图痕迹）
画直线 AB；
画射线 AC；
连接 BC 并延长 BC 到 E，使得 CE＝AB+BC；
在线段 BD 上取点 P，使 PA+PC 的值最小，你的依据是 两点之间，线段最短 ．
【解答】解：（1）如图，直线 AB；
如图，射线 AC；
如图，连接 BC 并延长 BC 到 E，使得 CE＝AB+BC；
如图，在线段 BD 上取点 P，使 PA+PC 的值最小，依据是：两点之间，线段最短．
21．（6 分）如图，线段 AB＝20，BC＝15，点 M 是 AC 的中点．
求线段 AM 的长度；
在 CB 上取一点 N，使得 CN：NB＝2：3．求 MN 的长．
【解答】解：（1）线段 AB＝20，BC＝15，
∴AC＝AB﹣BC＝20﹣15＝5． 又∵点 M 是 AC 的中点．
∴AM＝ AC＝ ×5＝ ，即线段 AM 的长度是．
（2）∵BC＝15，CN：NB＝2：3，
∴CN＝ BC＝ ×15＝6．
又∵点 M 是 AC 的中点，AC＝5，
∴MC＝ AC＝ ，
∴MN＝MC+NC＝ ，即 MN 的长度是．
22．（8 分）某超市为了吸引顾客，推出两种不同的优惠销售方式，方式一：累计购买商品总价超过 200 元，超出的部分按原价 8 折优惠；方式二：累计购买商品总价超过 100 元，超出部分按原价 8.5 折优惠．
甲顾客准备购买 300 元的商品，你认为他应该选择哪种优惠方式？请说明理由．
设乙顾客计划累计购物 x 元（x＞200），他选择何种优惠方式更省钱？
【解答】解：（1）他应该选择优惠方式二．理由：甲顾客购买 300 元的商品，按方式一需付费： 200+（300﹣200）×0.8＝200+80＝280（元），
甲顾客购买 300 元的商品，按方式二需付费：
100+（300﹣100）×0.85＝100+170＝270（元），
∵270＜280，
∴他应该选择优惠方式二．
（2）乙顾客计划累计购物 x 元，按方式一需付费： 200+（x﹣200）×0.8＝200+0.8x﹣160＝（0.8x+40）元， 乙顾客计划累计购物 x 元，按方式二需付费： 100+（x﹣100）×0.85＝100+0.85x﹣85＝（0.85x+15）元，
①当 0.8x+40＝0.85x+15 时，即 x＝500 时，两种方式同样合算；
②当 0.8x+40＞0.85x+15 时，即 200＜x＜500 时，选择方式二合算；
③当 0.8x+40＜0.85x+15 时，即 x＞500 时，选择方式一合算．
综上，乙顾客累计购物 500 元时，两种方式同样合算，累计购物小于 500 元时，选择方式二合算；累计
购物超过 500 元时，选择方式一合算．
23．（10 分）定义：关于 x 的方程 ax﹣b＝0 与方程 bx﹣a＝0（a，b 均为不等于 0 的常数）称互为“反对方程”，例如：方程 2x﹣1＝0 与方程 x﹣2＝0 互为“反对方程”．
若关于 x 的方程 2x﹣3＝0 与方程 3x﹣c＝0 互为“反对方程”，则 c＝ 2．
若关于 x 的方程 2x﹣3＝d 与其“反对方程”的解都是整数，求整数 d 的值．
已知关于 x 的一元一次方程x+5＝7x+m 的解为 x＝﹣，那么关于 y 的一元一次方程（m﹣5）
（y+2）+7＝的解为 y＝﹣4．（请直接写出答案）
【解答】解：（1）∵关于 x 的方程 2x﹣3＝0 的“反对方程”为 3x﹣2＝0，
∴3x﹣2＝3x﹣c，
∴c＝2，
故答案为：2．
（2）关于 x 的方程 2x﹣3＝d 的解为 x＝，
将 2x﹣3＝d 整理，得 2x﹣（d+3）＝0，其“反对方程”为（d+3）x﹣2＝0，解为 x＝，
∵ 和 都是整数，
∴d+3＝±2，解得 d＝﹣1 或﹣5．
（3）整理x+5＝7x+m，得（﹣7）x+（5﹣m）＝0，将 x＝﹣ 代入，
得（ ﹣7）+2（m﹣5）＝0①；
整理（m﹣5）（y+2）+7＝，得（﹣7）﹣（m﹣5）（y+2）＝0②；比对①和②，得﹣（y+2）＝2，解得 y＝﹣4，
故答案为：y＝﹣4．
24．（12 分）请阅读下列材料，并解答相应的问题：
“九宫图”源于我国古代夏禹时期的“洛书”（如图 1），是世界上最早的矩阵，又称幻方．用今天的数学符号表示，洛书就是一个三阶幻方（如表 1）．“幻方”需要满足的条件是每一行、每一列和每条对角线上各个数之和都相等．
表 1
表 2
表 3
设表 2 三阶幻方中间的数字是 x，用 x 的代数式表示幻方中 9 个数的和为 9x ；每一行三个数的和为 3x ；
表 3 是一个三阶幻方，那么标有 x 的方格中所填的数是多少？请写出解题过程．
由三阶幻方可以衍生出许多有特定规律的新幻方，在如图 2 所示的“幻方”中，每个小三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，x＝k+1，y＝k﹣1，求 a﹣b﹣c+d 的值．
4
9
2
3
5
7
8
1
6
x+3
x﹣4
x﹣2
x
x﹣1
x﹣3
x
8
10
2
【解答】解：（1）由题意可得，幻方中 9 个数的和为 3（x+3+x+x﹣3）＝9x，每一行三个数的和为 x+3+x+x﹣3＝3x．
故答案为：9x，3x；
（2）如图，设第三行第一列的数为 y，中间数为 a，
由题意得 x+2+y＝x+8+10， 解得 y＝16，
又∵10+a+16＝3a，
∴a＝13，
∴x+8+10＝3×13，
∴x＝21；
（3）∵（a+m+x）+（d+x+n）＝（b+m+y）+（c+n+y），x＝k+1，y＝k﹣1，
∴a﹣b﹣c+d＝2y﹣2x＝2（k﹣1）﹣2（k+1）＝﹣4．
25．（12 分）如图 1，点 O 为直线 AB 上一点，过点 O 作射线 OC，使∠BOC＝110°，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处（∠OMN＝30°），一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方．
x
8
10
2
a
y
将图 1 中的三角板绕点 O 逆时针旋转至图 2，使一边 OM 在∠BOC 的内部，且恰好平分∠BOC， 求∠BON 的度数．
将图 1 中三角板绕点 O 以每秒 5°的速度沿逆时针方向旋转一周，同时射线 OP 从 OC 开始绕点 O
以每秒 2°的速度沿顺时针方向旋转，当三角板停止运动时，射线 OP 也停止运动．设旋转时间为 t 秒．
①在运动过程中，当∠POM＝40°时，求 t 的值．
②当 40＜t＜54 时，在旋转的过程中∠CON 与∠AOM 始终满足关系 m∠CON+∠AOM＝n°（m，n 为常数），求 m+n 的值．
【解答】解：（1）如图 2 中，∵OM 平分∠BOC
∴∠BOM＝∠COM＝ ∠BOC＝55°，
∴∠BON＝90°﹣55°＝35°；
（2）①分四种情况：5t+2t+40＝110① 解得 t＝10；
或 5t+2t﹣110＝40，
解得 t＝；
或 5t﹣110+2t+40＝360，
解得 t＝；
或 5t﹣110+2t﹣40＝360，
解得 t＝．
综上所述，满足条件的 T 的值为 10 或或 或 ；
②设旋转时间为 t 秒，当 t＝40 时，ON 与 OC 重合，当 t＝54 时，ON 与 OA 重合， 当 40＜t＜54 时，如图：
由已知可得：∠CON＝5°t﹣200°，∠AOM＝5°t﹣180°，
∵m∠CON+∠AOM＝n°，
∴m（5°t﹣200°）+5°t﹣180°＝n°，
∴（5°m+5°）t﹣200°m﹣180°＝n°，
∵在旋转的过程中∠CON 与∠AOM 始终满足关系 m∠CON+∠AOM＝n°，
∴5°m+5°＝0， 解得 m＝﹣1，
∴﹣200°m﹣180°＝n°， 解得 n＝20，
∴m+n＝﹣1+20＝19．
∴m+n 的值是 19．