天津市部分区2021-2022学年高一下学期期末考试 数学试题

这是一份天津市部分区2021-2022学年高一下学期期末考试 数学试题，共14页。试卷主要包含了 已知向量，则， 若复数， 假设，且A与相互独立，则， 在中，角的对边分别为等内容，欢迎下载使用。
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知向量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由向量坐标的加运算直接计算即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：A.
2. 若复数（为虚数单位），则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先由已知求出复数，再求其模即可
【详解】因为，
所以，
故选：B
3. 棱长为1的正方体的顶点都在一个球的球面上，则该球的体积为（ ）
（注：球的体积，其中为球的半径）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正方体外接球直径与其体对角线长之间的关系，求出球半径即可计算作答.
【详解】因正方体的体对角线长等于该正方体外接球直径，则球半径，
所以球的体积为.
故选：A
4. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论中正确的是（ ）
A. 相等的角在直观图中仍然相等
B. 相等的线段在直观图中仍然相等
C. 正方形在直观图中仍然是正方形
D. 平行的线段在直观图中仍然平行
【答案】D
【解析】
【分析】根据斜二测画法的规则对四个选项逐一分析即可.
【详解】选项A：通过举反例，等腰三角形的直观图不是等腰三角形，A错误.
选项B：由于斜二测画法的法则是平行于x轴的线平行性与长度都不变；平行于y轴的线平行性不变，但长度变为原长度的一般，故B错误.
选项C：正方形的两临边相等，但在直观图中不相等，C错误.
选项D：由斜二测画法可知，平行的线段在直观图中仍然平行，D正确.
故选：D.
5. 假设，且A与相互独立，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据独立事件的并事件的概率公式：，代入运算求解．
【详解】
故选：C．
6. 在中，角的对边分别为.若，则的值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理直接求解即可.
【详解】在中，已知，，，
由余弦定理得：
所以.
故选：A.
7. 四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数.根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）
A. 平均数为3，中位数为2
B. 中位数为3，众数为2
C. 平均数为2，方差为2.5
D. 中位数为3，方差为2.8
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意举出反例，即可得出正确选项．
【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；
对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；
对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，
∴平均数为2，方差为2.5时，一定没有出现点数6，故C正确；
对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，
平均数为：
方差为，可以出现点数6，故D错误．
故选：C．
8. 甲､乙两人独立地破译一份密码，已知甲､乙能破译的概率分别是，则密码被破译的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分一人破译和两人破译，再利用独立事件的概率求解.
【详解】解：因为甲､乙两人独立地破译一份密码，且甲､乙能破译的概率分别是，
所以密码被破译的概率为，
故选：D
9. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则∥
D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】由线面平行，面面平行，线面垂直的判定和性质逐个分析判断即可
【详解】对于A，当时，可能平行，也可能相交，所以A错误，
对于B，当时，可能平行，可能异面，所以B错误，
对于C，当时，∥或，所以C错误，
对于D，当时，由面面平行的性质可得，所以D正确，
故选：D
10. 若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由平面向量，，两两的夹角相等可得夹角为或，对夹角的取值分类讨论即可求出的值．
【详解】解：由平面向量，，两两的夹角相等，得夹角为或，
当夹角为时，
，
当夹角为时，
．
故选：．
二､填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.
11. 一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品.若从中任取2支，那么两支都是一等品概率为___________.
【答案】##
【解析】
【分析】根据古典概型的概率公式计算可得.
【详解】盒子中装有6支圆珠笔，从中任取2支，包含个，其中两支都是一等品的包含个，所以两支都是一等品的概率为为.
故答案为：
12. 已知，若，则实数的值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用坐标运算中向量共线的条件即可求解.
【详解】因为，且，，所以，所以.
故答案为：.
13. 从某校高一年级学生中随机抽取了20名学生，将他们的数学检测成绩分成六段（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）：，得到如图所示的频率分布直方图，则得分在内的人数为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a的值，再根据总人数和的频率，即可得答案.
【详解】因为频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，
所以，解得，
所以分数在内的人数为.
故答案为：6.
14. 在正方体中，直线与底面所成角的余弦值为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据线面角的定义找到直线与底面所成的角，在中计算出余弦值为所求．
【详解】在正方体中，平面，直线与底面所成角为，设正方体棱长为，则，在中，，
故答案为：
15 给出下列四个命题，
①非零向量满足，则与的夹角是；
②若，则为等腰三角形；
③若单位向量的夹角为，则当取最小值时，；
④若为锐角，则实数的取值范围是.
则其中所有正确的序号为___________.
【答案】①②③
【解析】
【分析】利用向量加法法则计算判断①；利用向量数量积运算律计算判断②；利用向量模及数量积运算计算判断③；利用向量夹角为锐角求出m范围判断④作答.
【详解】对于①，如图，，，点D是线段PQ的中点，，
因，则是正三角形，，即夹角为，所以与的夹角是，①正确；
对于②，在中，由得，即，为等腰三角形，②正确；
对于③，，，
当且仅当时，取得最小值，③正确；
对于④，，因为锐角，则且与不共线，
由得，解得，当与共线时，，解得，
所以实数的取值范围是且，④不正确.
故答案为：①②③
【点睛】结论点睛：两个向量夹角为锐角的充要条件是这两个向量的数量积大于0，并且它们不共线；两个向量夹角为钝角的充要条件是这两个向量的数量积小于0，并且它们不共线.
三､解答题：本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
16. 已知复数，
（1）若是纯虚数，求实数的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）若是纯虚数，则实部为，虚部不为，列方程组求解即可；
（2）若在复平面内对应的点位于第四象限，则实部大于，虚部小于，列不等式组求解即可．
【详解】（1）若复数纯虚数，则，
解得，
所以
（2）复数在复平面内对应的点位于第四象限
则
即
所以，实数的取值范围是
17. 某校举行演讲比赛，10位评委对一名选手的评分数据如下：
（1）根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第75百分位数；
（2）该选手的最终得分为去掉一个最低分和一个最高分，求剩下8个评分数据的平均数和方差.
（注：一组数据的平均数为，它的方差为）
【答案】（1）
（2）平均数为，方差为
【解析】
【分析】（1）将以上数据进行排序根据得该选手评分的样本数据为第八个数据可得答案；
（2）去掉一个最低分和一个最高分，计算出剩下个评分数据的平均数，计算其方差可得答案.
【小问1详解】
将数据进行排序得到，
因为样本数据的第百分位数，
所以，，
该选手评分的样本数据为第八个数据，
所以，该选手评分的样本数据的第百分位数为.
【小问2详解】
去掉一个最低分和一个最高分，
剩下个评分数据的平均数为：
，
所以其方差为：
.
18. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）化简原式，直接利用余弦定理求的值即可；
（2）利用正弦定理求得，结合角的范围可得，再由二倍角的正余弦公式以及两角和的正弦公式可得结果．
【详解】（1）在中，由，整理得，
又由余弦定理，可得；
（2）由（1）可得，又由正弦定理，
及已知，可得；
可得，由已知，可得，故有，
为锐角，故由，可得，从而有,
．
【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”．
19. 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.
（1）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；
（2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率
【答案】（1），（2）
【解析】
【详解】（1）从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个，
从袋中随机取出的球的编号之和不大于4的事件共有1和2,1和3两个．
因此所求事件的概率为.
（2）先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为n，
其中一切可能的结果（m，n）有：（1,1）（1,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1）（3， 2），（3,3）（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．
所有满足条件n≥m＋2的事件为（1,3）（1,4）（2,4），共3个，
所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝
故满足条件n＜m＋2的事件的概率为1－P1＝1－＝.
20. 如图，在四棱锥中，底面是矩形.已知
（1）证明平面；
（2）求异面直线与所成的角的正切值；
（3）求二面角的正切值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意可证得，，再由线面垂直的判定定理即可证明.
（2）由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.由题意可证明是直角三角形，再求出的值代入即可得出答案.
（3）过点作于，连结.可证得是二面角的平面角.
求出，代入即可求出答案.
【小问1详解】
证明：在中，由题设
于是.
在矩形中，.又，
所以平面.
【小问2详解】
由题设，，所以（或其补角）是异面直线与所成的角.
在中，由余弦定理得
由（1）知平面平面，
所以，因而，于是是直角三角形，故
所以异面直线与所成的角的正切值为
【小问3详解】
过点作于，连结
由（1）可知平面，又，所以平面，可得
，从而是二面角的平面角.
由题设可得，
所以.
于是，
所以二面角的正切值为.