湖北省襄阳市2021-2022学年高一下学期期末教学质量统一测试 数学试题

这是一份湖北省襄阳市2021-2022学年高一下学期期末教学质量统一测试 数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答等内容，欢迎下载使用。
高一数学
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试时间120分钟．
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复数（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接由复数的运算求解即可.
【详解】.
故选：C.
2. 某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个，为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先算抽样比，然后由大型城市数乘以抽样比可得.
【详解】，
应抽取的大型城市个数为个．
故选：D．
3. 已知是平面内两个不共线向量，，，A，B，C三点共线，则m＝（ ）
A. －B. C. －6D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量共线定理，列方程求即可.
【详解】因为A，B，C三点共线，
所以，共线，又是平面内两个不共线向量，
所以可设，因为，，
所以，
所以，
所以，
故选：C.
4. 已知为锐角，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用同角三角函数平方关系可求得，由，利用两角和差正弦公式可求得结果.
【详解】锐角，即，，
，
.
故选：D.
5. 某校为了了解高一年级200名女学生的体能情况，随机抽查了其中的30名女生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，请根据图示估计，该校高一年级女生仰卧起坐次数的中位数一定位于（ ）
A. [15，20 ]B. [20，25]C. [25，30]D. [30，35]
【答案】C
【解析】
【分析】先计算区间的人数，再由频数分布直方图估计中位数所在区间即可.
【详解】由题意知：区间的人数有人，又，故中位数位于.
故选：C.
6. 已知三个平面，，，其中 ，，，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A. b，c是异面直线B. C. D. a与c没有公共点
【答案】B
【解析】
【分析】因为 两两相交，因此可以看作是三棱锥的三个面，作图分析即可.
【详解】
依题意作上图，
对于A， ，错误；
对于B， ， ，又∵ ，即 ，
正确；
对于C， ，故错误；
对于D， ，P点就是a，c的公共点，错误；
故选：B.
7. 将函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，若满足，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先化简，再平移，由函数的图象关于直线对称有，进而得到的最小值.
【详解】解法一：
，
则，
因为满足，
所以函数的图象关于直线对称，
所以，，所以，，
因为，所以的最小值为．故选:A．
解法二
，
则，
因为满足，
所以函数的图象关于直线对称．
因为，所以，
即，
所以，，所以，，
因为，所以的最小值为．
故选：A．
8. 中，，，，PQ为内切圆的一条直径，M为边上的动点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】易知是直角三角形，利用等面积法可得内切圆半径，设内切圆圆心为，根据为直径，可知，，整理，进而根据的运动情况来求解.
【详解】由题可知，，所以是直角三角形，，
设内切圆半径为，则，解得，
设内切圆圆心为，因为是内切圆的一条直径，
所以，，
则，，
所以，
因为M为边上的动点，所以；当与重合时，，
所以的取值范围是，
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知复数（其中是虚数单位），则下列命题中正确的为（ ）
A. B. 的虚部是
C. 是纯虚数D. 在复平面上对应点在第四象限
【答案】ACD
【解析】
【分析】由复数的模、复数的定义、复数的几何意义判断各选项．
【详解】
则，A正确；的虚部是，B错误；是纯虚数，C正确；对应点的坐标是，在第四象限，D正确．
故选：ACD．
10. 一组样本数据的平均数为，标准差为s．另一组样本数据，的平均数为，标准差为s．两组数据合成一组新数据，新数据的平均数为，标准差为，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由平均数与标准差的定义求解判断．
【详解】由题意，
，
同理
两式相加得，
，
所以，．
故选：BC．
11. 如图，在正方体，中，是棱的中点，是线段（不含端点）上的一个动点，那么在点的运动过程中，下列说法中正确的有（ ）
A. 存在某一位置，使得直线和直线相交
B. 存在某一位置，使得平面
C. 点与点到平面的距离总相等
D. 三棱锥的体积不变
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题意，逐一分析选项，结合线面平行的判定定理等知识，综合分析，即可得答案.
【详解】对于A，假设存在，则四点共面，而点不在平面内，故A错误．
对于B，因为，所以平面，所以当是直线与平面的交点时就满足要求，故B正确．
对于C，因为的中点在平面内，所以点与点到平面的距离总相等，故C正确．
对于D，连接，交于O，则O为中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，所以点到平面的距离为定值，
从而三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积为定值，故D正确．
故选：BCD
12. 定义：已知两个非零向量与的夹角为．我们把数量叫做向量与的叉乘的模，记作，即．则下列命题中正确的有（ ）
A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则
B. 在正△ABC中，若，则
C. 若，则的最小值为2
D. 若，，且为单位向量，则的值可能为
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据两个向量叉乘模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断.
【详解】解：对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以，所以，故A正确；
对于B，设正的边边上的中点为，则，
因为，所以，
所以，所以B错误；
对于C，因为，所以，
所以，因为，所以，所以，
所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C正确；
对于D，若，，且为单位向量，则当时，可以等于，
此时，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 向量在向量方向上的投影向量的模为___．
【答案】##2.2
【解析】
【分析】根据平面向量的坐标表示可得及，利用投影向量的公式即可求解.
【详解】解：因为，，
则，，
则向量在向量方向上的投影向量的模为.
故答案为：.
14. 若虚数单位是关于x的方程的一个根，则___．
【答案】1
【解析】
【分析】由题意可知，关于x的方程的两个虚根分别为，，利用韦达定理求出的值，即可求得结果.
【详解】解：由题可知，关于x的方程的两个虚根分别为，，
由韦达定理可得,故，
所以.
故答案为：1.
15. 已知三棱台的上下底面均为正三角形，，，侧棱长，若，则此棱台的高为___．
【答案】
【解析】
【分析】由已知判定棱台为正棱台，还原成棱锥，棱锥的高为棱台的高的两倍，由正棱台性质得到BC⊥PA1，线面垂直的判定定理，可以证明侧棱AA1⊥平面PB1C1,得到A1P⊥PD1.然后利用直角三角形中的射影定理计算PO的长，即为OO1的长.
【详解】解：由已知可得该三棱台为正三棱台，
还原成棱锥如图所示，由于下底边是上底边的两倍，
∴大棱锥的高为棱台的高的两倍，
取BC的中点D,B1C1的中点D1,
连接PDD1,AD,A1D1,O,O1是上下底面的中心，连接POO1.
由正棱台性质可得BC⊥DD1，BC⊥PO,∴BC⊥平面PD1A1,∴BC⊥PA1，
又∵，故AA1⊥平面PB1C1,∴A1P⊥PD1.
，，

,
,
故答案：.
16. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且，则△ABC的面积的最大值为___．
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦定理边化角可得，再利用正弦定理角化边可得，即可得，利用三角形面积公式结合三角恒等变换可得面积，结合正弦函数的最值即可求解.
【详解】解：由正弦定理得，所以，
因为,所以，
所以，又正弦定理得，
所以，则，
的面积
，
因为，所以，
当时，的面积取得最大值.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17. 已知，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式和同角关系式求出，然后利用倍角公式可得结果；
（2）先把目标式化简，然后转化为含有的式子，代入可求结果.
【小问1详解】
（1），，
∴，∴，.
【小问2详解】
（2）
.
18. 已知，．
（1）若与垂直，求k的值；
（2）若为与的夹角，求的值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用向量线性运算的坐标表示，结合垂直的坐标表示求解作答.
（2）利用向量夹角坐标表示计算作答.
【小问1详解】
因为，，则，，
依题意，，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，，则，，
因此，而，
所以.
19. 设复数，，其中.
（1）若复数为实数，求的值；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用复数的乘法运算法则计算可得，再列出等量关系，求解即可；
（2）先计算，结合和余弦函数的性质，分析即得解
【小问1详解】
由题意，
若复数为实数，则
故，
解得：
【小问2详解】
由题意，，
由于，故
故
故
故的取值范围是
20. 《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表：
（1）估计产品的某项质量指标值的70百分位数；
（2）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
【答案】（1）69 （2）；
【解析】
【分析】（1）根据样本百分位数的定义结合频率分布表即可求解；
（2）根据频率分布表中的数据计算即可.
【小问1详解】
解：设产品的某项质量指标值的70百分位数为，
则，解得．
所以估计产品的某项质量指标值的70百分位数为69；
【小问2详解】
解：由题，可知，
.
故平均数，方差.
21. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
（1）求角B的大小；
（2）若，D为AC边上的一点，，且 ，求△ABC的面积．
请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题．
①BD是∠ABC的平分线；②D为线段AC的中点．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答记分．）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式即可求解；
（2）选择①，由平分得，分别用三角形面积公式求解可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积；选择②，利用平面向量的线性运算可得，求解向量的模可得，利用余弦定理可得，联立即可求解的值，即可求得△ABC的面积.
【小问1详解】
解：由正弦定理知，，
∵，
代入上式得，
∵，
∴，，
∵，∴.
【小问2详解】
若选①：
由平分得，，
∴，
即．
在中，由余弦定理得，
又，∴，
联立得，
解得，（舍去），
∴．
若选②：
因为，，
，得，
在中，由余弦定理得，
即，
联立，可得，
∴．
22. 如图，在四棱锥E－ABCD中，，M是EA的中点．
（1）证明：AE⊥平面；
（2）若平面EAB平面，且，三棱锥的体积为，求AB的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1)先证明，，再由线面垂直判定定理证明AE⊥平面；(2)利用线面平行判定定理和性质定理证明，由此可得，再结合体积公式求.
【小问1详解】
∵，，∴，
又∵，∴为等边三角形，
又∵，是的中点，
∴，，，
又∵，，平面，
∴平面；
【小问2详解】
因为平面平面，所以平面，
又，平面
所以平面，又平面，平面平面，
所以
∵平面，∴，
又∵，，，平面，
∴平面，又∵平面，
∴，∵，∴，
又∵，，，平面，
∴平面，
∵，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离，
∴，
又∵，
解得．
质量指标值
产品（单位：件）
60
100
160
300
200
100
80