初中北京课改版7.3 归纳学案

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1.集合定义：把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合.
集合三要素：确定性.互异性.无序性.
2.集合的相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等.
3.元素和集合的关系：属于（）和不属于（）.
4.常见数集：自然数集：，正整数集：或，整数集：，有理数集：,实数集.
5.集合的表示方法：
（1）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫列举法.
（2）描述法：设是一个集合，我们把集合中所有具有共同特征的元素所组成的集合表示为，这种表示集合的方法称为描述法.
§1.2集合间的基本关系
1.子集：对于两个集合，，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，则称集合是集合的子集，记作.
2.真子集：如果集合，但存在元素，且，则称集合是集合的真子集.记作：集合(或).
3.空集：把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：空集合是任何集合的子集.
4.子集个数：如果集合A中含有n个元素，则集合A有个子集，个真子集.
§1.3集合的基本运算
1.并集：由所有属于集合或集合的元素组成的集合，称为集合集合是集合与的并集.记作：.即.
2.交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合是集合与的交集.记作：.即.
3.补集：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，
记作:,即.
§1.4充分条件与必要条件
1.命题：可以判断真假的陈述句叫命题；
2.充分条件.必要条件与充要条件
如果“若，则”为真命题，是指由通过推理可以得出，我们就说由可以推出，记作，并且说是的充分条件，是的必要条件；
如果“若，则”为假命题，那么由条件不能提出结论，记作，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件；
如果“若，则”和它的逆命题“若，则”均是真命题，即既有，又有，就记作
此时则是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件．
如果，那么与互为充要条件.
§1.5全称量词与存在量词
1.全称量词与存在量词
（1）全称量词与全称量词命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.
含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.记为.
（2）存在量词与存在量词命题
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.记为.
2.全称量词命题与存在量词命题的否定
（1）全称量词命题：，它的否定：
（2）存在量词命题：，它的否定：第2章 一元二次函数、方程和不等式
§2.1等式性质与不等式性质
1.作差法比较大小
；；.
2.不等式的基本性质
（1）（对称性）
（2）（传递性）
（3）（可加性）
（4）（可乘性）；
（5）（同向可加性）
（6）（正数同向可乘性）
（7）（正数乘方法则）
§2.2基本不等式
重要不等式：,（当且仅当时取号）.
变形公式：
基本不等式： ,（当且仅当时取到等号）.
变形公式： ；
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要满足条件:“一正.二定.三相等”.
§2.3二次函数与一元二次方程.不等式



的图象
的根


没有实数根
的解集


R
的解集


第3章 函数的概念与性质
§3.1函数的概念及其表示
1. 设.是非空的实数集，使对于集合中的任意一个数，如果按照某种确定的对应关系，在集合中都有惟一确定的数和它对应，那么就称为集合到集合的一个函数，记作：.
2. 函数的构成要素为：定义域.对应关系.值域.
3. 区间：闭区间、开区间、半开半闭区间.
4. 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
5. 分段函数
§3.2.函数的基本性质
§3.2.1单调性与最大（小）值
1.函数单调性的定义：
设函数的定义域为 ，区间，如果当时，都有：
或上单调递增；
特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数；
或上单调递减.
特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数；
2. 最大值、最小值：
设函数的定义域为 ，
如果存在实数满足：（1），都有;（2）使得，
我们就称是函数的最大值.
如果存在实数满足：（1），都有;（2）使得，
我们就称是函数的最小值.
§3.2.2奇偶性
1.定义：设函数的定义域为, 如果，都有，
且（或），那么就称函数为偶函数.
偶函数图象关于轴对称.
且若（或），那么就称函数为奇函数.
奇函数图象关于原点对称.
2.奇函数的性质：
若奇函数的定义域为, 如果，则有.
3.奇偶性与单调性：
奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同；偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.
§3.3幂函数
1.幂函数的解析式： ，是自变量，是常数.
2.几种幂函数的图象：
3.幂函数的性质：
定点：.
单调性：
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；第4章 指数函数与对数函数
§4.1指数
§4.1.1 n次方根与分数指数幂
1.如果，那么叫做 的次方根.其中.
2. 当为奇数时，；
当为偶数时，.
3.规定：
⑴；
⑵ .
(3)0的正分数指数幂等于0.0的负分数指数幂无意义.
4. 运算性质：
⑴；
⑵；
⑶.
§4.1.2 无理指数幂及其运算性质
运算性质：
⑴；
⑵；
⑶.
§4.2指数函数
1.定义：函数叫做指数函数，定义域为.
2.性质：
§4.3.对数
1.定义：如果；
那么数叫做以为底的对数，记作：，叫对数的底数，叫真数.
2.指数与对数间的关系：当时，
3.对数恒等式：，.
4.两个特殊对数：
（1）以10为底的对叫做常用对数，并把记为；
（2）以无理数 为底数的对数称为自然对数，并把记为；
5.基本性质：⑴；⑵；⑶负数和0没有对数.
图
象
性
质
（1）定义域：R
（2）值域：（0，+∞）
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）增函数
（4）减函数
（5）;
（5）;
6.积、商、幂的对数运算法则：当时：
⑴；
⑵；
⑶.
5.换底公式：.
6.推论：⑴ ⑵.
§4.4.对数函数
1.定义：函数叫做对数函数，定义域是.
2.性质：
§4.5.函数的应用
4.5.1函数的零点与方程的解
1.方程有实数解 函数的图象与轴有公共点 函数有零点.
图
象
性
质
（1）定义域：（0，+∞）
（2）值域：R
（3）过定点（1，0），即x=1时，y=0
（4）在 （0，+∞）上是增函数
（4）在（0，+∞）上是减函数
（5）；
（5）；
2. 函数零点存在性定理：
如果函数在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解.
3.用二分法求方程的近似解
对于在区间上图象连续不断且的函数，通过不断地把它零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.第5章 三角函数
§任意角
正角、负角、零角、象限角的概念.
正角：一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
零角：一条射线没有任何旋转，就称它形成了一个零角。
旋转与运算：
（1）角的加法：角的终边旋转角后所得的终边对应的角是.
（2）角的减法：。
3. 与角终边相同的角的集合： .
§弧度制
1. 1弧度角：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2. 弧度公式： （为圆的半径，弧长为 的弧所对的圆心角为）。
弧长公式：.
角度与弧度换算： ；。
扇形面积公式：.（为圆的半径，扇形弧长为，圆心角为）
§三角函数的概念
三角函数定义1：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则：
把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作.即；
把点的横坐标叫做的余弦函数，记作.即；
把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切函数，记作.即。
正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为：
正弦函数：
余弦函数：正切函数：
2. 三角函数定义2：设点（不与原点重合）为角终边上任意一点，点P与原点的距离为：，则： ，，.
3.、、在四个象限的符号: 一全正，二正弦，三正切，四余弦.
§同角三角函数的基本关系式
1. 平方关系：. 2. 商数关系：.
§5.3.诱导公式
1. 诱导公式一： 2. 诱导公式二：
（其中：）
3.诱导公式三： 4.诱导公式四：

5.诱导公式五： 6.诱导公式六：
,
§5.4.正弦、余弦函数的图象与性质
正弦.余弦函数图象：
2.会用五点法作图.
在上的五个关键点为： 在上的五个关键点为：
3.周期函数定义：函数定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个，都有，且，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
最小正周期：如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那这个最小正数叫的最小正周期.
4.正余弦函数的周期：
正弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是；
余弦函数是周期函数，（且）都是它的周期，最小正周期是；
5.正切函数的图象：
5.正弦.余弦.正切函数的图像及其性质：
图象
定义域
值域
[-1,1]
[-1,1]
§5.5.1两角和与差的正弦.余弦.正切公式
1.两角和与差的正弦：
:
:
2.两角和与差的余弦：
:
:
3.两角和与差的正切：
:.
:.
4.倍角公式
（1） 变形： .
（2）.最值
无
周期性
奇偶性
奇
偶
奇
单调性
在上单调递增
在上单调递减
在上单调递增
在上单调递减
在每一个区间上单调递增
对称性
对称轴方程：
对称中心，
对称轴方程：
对称中心，
无对称轴
对称中心，
变形：降幂公式：
（3）.
5.辅助角公式

（其中, ).
（其中, ).第6章 平面向量及其应用
§6.1.平面向量的概念
1.平面向量的概念：
向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.
向量的模：向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作.
零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作.
单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共线向量）.记作：.
规定：零向量与任意向量平行.
相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
§6.2.平面向量的运算
§向量的加法运算
1.向量加法的法则：向量加法的三角形法则和平行四边形法则.


2.≤（当且仅当与方向方向相同时等号成立）.
3.向量加法的运算律：
交换律： 结合律：
§向量的减法运算
相反向量：
与长度相等，方向相反的向量叫做的相反向量.记作.
向量减法的定义：
加上的相反向量，叫做与的差.3. 向量减法的法则：三角形法则.

§向量的数乘运算
数乘的定义：实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘.记作：，它的长度和方向规定如下：
⑴；
⑵当时, 的方向与的方向相同；当时, 的方向与的方向相反.
2.运算律：
；；
3.线性运算：向量的加.减.数乘运算统称为向量的线性运算.
4.平面向量共线定理：
向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
§向量的数量积
向量的夹角：
已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作,则叫做向量与的夹角.
2. 与垂直：
如果与的夹角是 ，则与垂直，记作.
3.数量积：
已知两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.
4.投影向量：
向量在上的投影向量：在平面内任取一点O，作,过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
设与同方向的单位向量为，与的夹角为，则.
5.数量积的性质：
（1）
（2）
（3） 或
（4）
6.数量积的运算律：
（1）
（2）
（3）
结论： ，.
§6.3平面向量基本定理及坐标表示
§6.3.1平面向量基本定理
平面向量基本定理：
如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使.叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
§6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示
正交分解：
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
2.向量的坐标表示：
在平面直角坐标系中,设与轴.轴方向相同的两个单位向量分别为 ,取作为基底.对于平面内的任意一个向量,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数,使得 ，这样平面内的任一向量都可由唯一确定,我们把有序数对叫做向量的坐标,记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做 在 轴上的坐标，叫做向量的坐标表示.
§6.3.3平面向量加.减运算的坐标表示
1.设，则：
⑴，
⑵，
即：两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）
2.已知 ，则 .
§6.3.4平面向量数乘运算的坐标表示
1.设，则.
2.设,则向量共线的充要条件是 .
§6.3.5平面向量数量积的坐标表示
1. 设，则：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）设，则：.
6.4 平面向量的应用
1.余弦定理： 推论： 2.正弦定理：
.
（其中为外接圆的半径）
第7章 复数
§7.1复数的概念
1.复数：形式如的数叫复数，其中叫虚数单位，.
叫复数的实部，叫复数的虚部.
2.复数的分类
复数
3．复数的几何意义
复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中轴叫做实轴，轴叫做虚轴.

4.复数的模
向量的模叫复数的模或绝对值，即.
5.共轭复数
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数用表示，.
§7.2复数的四则运算
1．复数的加、减运算及其几何意义
（1）复数加减法：；
（2）复数加法的几何意义：
复数的加法可以按照向量的加法来进行：
分别对应复数，即，
则对应复数.
2.复数的乘、除运算（1）复数的乘法：；
（2）复数的除法.
3.常见的运算规律
第8章 立体几何初步
§8.1基本立体图形
空间几何体的结构：
⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球.
⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.
直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱.
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱.
正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱.
平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体.
（3）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成 的多面体叫棱锥.
正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥.
（4）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台.
（5）圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆柱.
轴：旋转轴叫圆柱的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫圆柱的底面.
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫圆柱的侧面.
母线：平行于轴的边都叫圆柱侧面的母线.
（6）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫圆锥.
（7）圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫圆台，
（8）球： 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的旋转体叫球体，简称球.半圆的圆心叫球的球心.连结球心和球面上任意一点的线段叫球的半径.连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.
§8.2立体图形的直观图
斜二测画法：
(1) 建立平面直角坐标系: 在已知平面图形中取互相垂直的轴和轴,两轴相交于点. (2) 画出斜坐标系: 在画直观图的纸上(平面上)画出对应的轴和轴, 两轴相交于点，且使，它们确定的平面表示水平面.
(3) 画对应图形: 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴，长度保持不变. 在已知图形平行于轴的线段, 在直观图中画成平行于轴, 且长度为原来一半.
§8.3简单几何体的表面积与体积
（1）圆柱侧面积；（是底面圆半径，是母线长）
（2）圆锥侧面积：（是底面圆半径，是母线长）
（3）体积公式：
； ；
（4）球的表面积和体积：
.
§8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
§8.4.1平面
1.三个事实：
基本事实1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.
（即不共线的三点确定一个平面）
基本事实2：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.
2.三个推论：
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面.
§8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
1.空间中直线和直线的位置关系
异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线.
2.空间中直线和平面的位置关系
3.空间中平面和平面的位置关系
§8.5空间直线、平面的平行
§8.5.1直线与直线平行
1.基本事实4：平行与同一条直线的两条直线平行.
2.定理：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
§8.5.2直线与平面平行
1.线面平行判定定理（线线平行线面平行）：
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.
2.线面平行性质定理（线面平行线线平行）：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行.
§8.5.3平面与平面平行
1.面面平行判定定理1（线面平行面面平行）：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
2.面面平行判定定理2（线线平行面面平行）：
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条直线平行，那么这两个平面平行.
3.面面平行性质定理（面面平行线线平行）：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
4.面面平行的定义推论（面面平行线面平行）：
如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.
§8.6空间直线、平面的垂直
§8.6.1直线与直线垂直1.异面直线所成的角定义：
已知两异面直线，经过空间任一点O分别作直线，我们把直线所成的角叫做异面直线所成的角.空间两条直线所成角的取值范围是.
2.两条异面直线互相垂直的定义：
如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直.
§8.6.2直线与平面垂直
1.直线与平面垂直的定义：
如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线与平面互相垂直.
2. 线面垂直定义的推论（线面垂直线线垂直）：
如果一条直线垂直于一个平面，那么该直线垂直于平面内的任意一条直线.
3.点到平面的距离的定义：
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段.垂线段的长度叫这个点到平面的距离.
4.线面垂直判定定理（线线垂直线面垂直）：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
5.线面垂直性质定理：
（1）垂直于同一个平面的两条直线平行.
（2）如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于该平面.
6.直线和平面所成的角的定义：
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
直线和平面所成的角范围是.
7.直线到平面的距离的定义：
一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到平面的距离.
8.两个平行平面间的距离的定义：
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，把它叫做两个平行平面间的距离.
§8.6.3平面与平面垂直
二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.
记作：例如二面角或二面角或二面角.
二面角的平面角：
在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.
二面角的范围是.
3．两个平面互相垂直的定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
4. 面面垂直判定定理（线面垂直面面垂直）：
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
5. 面面垂直性质定理（面面垂直线面垂直）：
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.第9章 统计
§9.1随机抽样
1.抽样调查
根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.
样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本.
样本容量（样本量）：样本中包含的个体数称为样本容量.
2.简单随机抽样
设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n(l≤n