第三章：圆锥曲线的方程（单元测试卷）（人教版A版2019 选择性必修第一册）

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第三章：圆锥曲线的方程 （试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（河北省沧州市八县2024-2025学年高二上学期10月期中联考数学试题）已知椭圆C:y2a2+x2b2=1a>b>0的两个焦点分别为F1，F2，点A22,2是C上一点，且AF1+AF2=42，则C的方程为（    ）A．y232+7x24=1 B．y28+x2=1 C．y232+63x2256=1 D．y28+15x264=1【答案】B【分析】根据椭圆的定义可求得a，代入点A的坐标，可求得b，可求椭圆方程.【详解】因为点A是椭圆C上一点，且AF1+AF2=42，所以2a=42，解得a=22，所以椭圆方程为y28+x2b2=122>b>0，又点A22,2是椭圆C上一点，所以228+(22)2b2=1，解得b=1，所以椭圆C的方程为y28+x2=1.故选：B.2．（23-24高二上·江苏扬州·期中）抛物线x2=4y的焦点到准线的距离是（    ）A．4 B．14 C．1 D．2【答案】D【分析】根据条件，直接求出焦点坐标及准线方程，即可求解.【详解】因为抛物线x2=4y的焦点为F(0,1)，准线为y=−1，所以抛物线x2=4y的焦点到准线的距离是2，故选：D.3．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知焦点在x轴上的椭圆x2m+y23=1的焦距为6，则实数m等于（    ）A．34 B．214 C．12 D．12−63【答案】C【分析】根据椭圆的标准方程建立方程，解之即可求解.【详解】由题意知，m>3,a=m,b=3,c=3，又a2=b2+c2，所以m=3+9=12，即实数m的值为12.故选：C4．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2=1a>1的焦距为4，则C的渐近线方程为（    ）A．y=±3x B．y=±xC．y=±2x D．y=±33x【答案】D【分析】根据双曲线的性质，即可解题.【详解】由题意可知a2+1=4，所以a2=3，所以双曲线C:x23−y2=1的渐近线方程为y=±33x.故选：D.5．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）若方程x2m−y2m−2=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ）A．05+12，所以e=ca=1a∈0,25+1，即e∈0,5−12，所以AB选项正确，CD选项错误.故选：AB10．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知P为椭圆C:x2+y24=1上一点，F1,F2分别为椭圆C的上焦点和下焦点，若P,F1,F2构成直角三角形，则P点坐标可能是（   ）.A．(12,3) B．(13,423)C．(223,23) D．(33,263)【答案】AD【分析】根据给定条件，按直角顶点为P点和焦点分类求出P点坐标.【详解】椭圆C:x2+y24=1的焦点F1(0,3),F2(0,−3)，设P(x,y)，由△PF1F2为直角三角形，则直角可能为∠F1PF2,∠PF1F2,∠PF2F1, 若∠PF1F2为直角，则P(x,3)，由x2+34=1，得P(±12,3)；若∠PF2F1为直角，则P(x,−3)，由x2+34=1，得P(±12,−3)；若∠F1PF2为直角，则P(x,y)在圆x2+y2=3上，由x2+y24=1x2+y2=3，解得P(±33,±263)，所以P点坐标可能是AD.故选：AD11．（24-25高二上·全国·单元测试）加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)时，蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2．已知长方形G的四边均与椭圆M:x24+y23=1相切，则下列说法正确的是（    ）A．椭圆M的离心率为12B．若G为正方形，则G的边长为25C．椭圆M的蒙日圆方程为x2+y2=7D．长方形G的面积的最大值为14【答案】ACD【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形G的对角线长和基本不等式可求得B错误D正确.【详解】对于A，由椭圆M的方程知a=2,b=3，则c=a2−b2=1，∴椭圆M的离心率e=ca=12，A正确；对于C，由A知，椭圆M对应的蒙日圆方程为x2+y2=7，C正确；对于B，由C可知，正方形G是圆x2+y2=7的内接正方形，∴正方形G对角线长为圆的直径27，∴正方形G的边长为(27)22=14，B错误；对于D，设长方形G的长和宽分别为m,n,∵长方形G的对角线长为椭圆M对应蒙日圆的直径27,∴m2+n2=28，∴长方形G的面积S=mn≤m2+n22=14（当且仅当m=n=14时取等号），即长方形G的面积的最大值为14，D正确．故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（24-25高二上·江西新余·阶段练习）椭圆x29+y22=1的焦点为F1,F2，点P在该椭圆上，若PF1=4，则∠F1PF2的大小为 ．【答案】120∘【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求|PF2|，在焦点三角形中应用余弦定理求∠F1PF2的余弦值，进而确定其大小.【详解】∵a2=9，b2=2，∴c=a2−b2=9−2=7，∴F1F2=27，又|PF1|=4，|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PF2|=2，由余弦定理，得cos∠F1PF2=22+42−(27)22×2×4=−12，∴∠F1PF2=120∘.故答案为： 120∘13．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知A,B为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的左右顶点，设点P为椭圆上异于A,B的任意一点，直线PA,PB的斜率分别为k1,k2，若椭圆离心率为32，则k1⋅k2为 ．【答案】−14/-0.25【分析】由题意可得A−a,0,Ba,0，设Px0,y0，由题意可得a,b的关系式，结合椭圆系数的关系和离心率的定义可得.【详解】解：由题意可得A−a,0,Ba,0，设Px0,y0，x0≠±a,则由P在椭圆上可得y02=a2−x02a2⋅b2，∴直线AP与BP的斜率之积为y0x0−a⋅y0x0+a=y02x02−a2=−b2a2，∵椭圆离心率为32，可得ca=32，即1−b2a2=32，故b2a2=14．即k1⋅k2=−14．故答案为：−14．14．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）已知P为椭圆C:x29+y24=1上的点，A1,0，则线段PA长度的最小值为 .【答案】455/455【分析】记线段PA的长度为d，表达d的函数，利用P(x0,y0)；−3≤x0≤3，结合二次函数的性质即可求d的最小值．【详解】设A(1,0)，记线段PA的长度为d，P是椭圆E上任意一点，设P(x0,y0),−3≤x0≤3,所以：d=(x0−1)2+y02=(x0−1)2+41−x029=59x02−2x0+5．由于−3≤x0≤3，故x0=95时，d有最小值，且d的最小值455，故答案为：455四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）（24-25高二上·吉林长春·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为53,Fc,0为双曲线的右焦点，且点F到直线x=a2c的距离为165.(1)求双曲线C的方程；(2)若点A12,0，点P为双曲线C左支上一点，求PA+PF的最小值.【答案】(1)x29−y216=1(2)23【分析】（1）利用点到直线的距离公式列和离心率列方程求a,b,c，即可得到双曲线的方程；（2）根据双曲线的定义将PA+PF的最小值转化为PA+PF0+2a的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可.【详解】（1）由题意知ca=53c−a2c=165，解得a=3c=5，则b=c2−a2=4，所以双曲线C的方程为x29−y216=1.（2）记双曲线C的左焦点为F0，则F0−5,0，可得PA+PF=PA+PF0+2a=PA+PF0+6，当P,F0,A三点共线时，PA+PF0最小，且最小值为AF0=17.故PA+PF的最小值为17+6=23.16．（15分）（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的顶点为A−32,0,B32,0，且过点P36,4.(1)求双曲线C的标准方程；(2)过双曲线C的左顶点A作直线与C的一条渐近线垂直，垂足为H,O为坐标原点，求△OHA的面积.【答案】(1)x218−y28=1(2)5413【分析】（1）由题意易求得a,b的值，即得双曲线标准方程；（2）利用点到直线的距离公式求得HA，利用直角三角形求得OH，将其代入三角形面积公式计算即得.【详解】（1）因为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的顶点为A−32,0,B32,0，且过点P36,4，所以a=32，且54a2−16b2=1，解得a=32,b=22.故双曲线C的标准方程为x218−y28=1.（2）如图，由双曲线方程x218−y28=1，可得其渐近线方程为2x±3y=0，任选一条渐近线，因A−32,0,可得HA=−624+9=62613，又OH⊥HA,OA=32，所以OH=(32)2−(62613)2=92613，故S△OHA=12×OH×HA=12×92613×62613=5413.17．（15分）（24-25高二上·广西梧州·阶段练习）已知动点P在抛物线C:y2=2pxp>0上，Q−2,3，点P到C的准线的距离为d，且d+PQ的最小值为5.(1)求C的方程；(2)若过点1,0的直线l与C交于A,B两点，且直线QA的斜率与直线QB的斜率之积为−12，求l的斜率.【答案】(1)y2=8x(2)4或411【分析】（1）利用抛物线的定义转化一个距离，则可用两点间距离线段最短得解；（2）利用方程组思想结合韦达定理，转化到坐标法来研究，即可得解.【详解】（1）设抛物线C的焦点为Fp2,0，由抛物线的定义可得PF=d，则d+PQ=PF+PQ≥FQ，当Q,P,F三点共线且点P在线段QF上时，PF+PQ取得最小值5， 则FQ=p2+22+32=5，整理得p2+22=16，解得p=4或p=−12，因为p>0，所以p=4，故C的方程为y2=8x.（2）设过点1,0的直线l:x=my+1,Ax1,y1,Bx2,y2.联立y2=8xx=my+1，消元得y2−8my−8=0，则y1+y2=8my1y2=−8，由kQA⋅kQB=y1−3x1+2⋅y2−3x2+2=y1−3y2−3my1+3my2+3=−12，得m2+2y1y2+3m−6y1+y2+27=−8m2+2+8m3m−6+27=0,代入韦达定理得：m2+2−8+3m−68m+27=−8m2+2+8m3m−6+27=0,化简得16m2−48m+11=0⇒4m−14m−11=0，得m=14或114.故l的斜率为4或411.18．（17分）（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知双曲线E:x2−y23=1，点A0,4，坐标原点O.(1)直线l经过点A，与E的两条渐近线分别交于点M､N.若△OMN面积为833，求直线l的方程；(2)如图，直线y=kx+m交双曲线E的右支于不同两点B,C.若AB=AC，求实数m的取值范围.【答案】(1)y=±3x+4(2)m3或k1，所以k2>4.且D在BC上，则y0=kx0+m，可得m=y0−kx0=3−k2