第二章：直线和圆的方程（单元测试卷）（人教版A版2019 选择性必修第一册）

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第二章：直线与圆 （试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________ 班级_________ 考号_______________________一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）方程x2−4x2+4=0表示的图形是（    ）A．两条直线 B．四条直线 C．两个点 D．四个点【答案】A【分析】求出x=±2即可得到图形.【详解】因为x2+4≥4，则x2−4x2+4=0，解得 x2−4=0，解得x=±2，其表示的两条图形为两条直线.故选：A.2．（23-24高二上·广东广州·期中）直线x+3y−2=0的倾斜角为（    ）A．π3 B．5π6 C．−3 D．−33【答案】B【分析】求出给定直线的斜率，进而求出倾斜角.【详解】直线x+3y−2=0的斜率k=−33，则该直线的倾斜角为5π6.故选：B.3．（23-24高二下·全国·随堂练习）点1,1到直线3x+4y−2=0的距离是（    ）A．1 B．2 C．5 D．3【答案】A【分析】直接利用点到直线的距离公式可得答案.【详解】由题意可得：点1,1到直线3x+4y−2=0的距离d=3+4−232+42=55=1.故选：A.4．（23-24高二下·全国·课后作业）过点A2,5和点B2,−4的直线与直线y=3的位置关系是（ ）A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直【答案】D【分析】根据坐标可知直线AB斜率不存在，得出直线AB的方程，进而得出两直线的位置关系.【详解】由题意点A(2,5)和点B2,−4，所以直线AB斜率不存在，且直线AB的方程为x=2，所以直线AB与直线y=3垂直.故选：D.5．（23-24高二上·新疆·期末）直线y=2x−1与y=ax+1平行，则a=（    ）A．−1 B．0 C．1 D．2【答案】D【分析】由两直线平行得斜率相等且截距不等，即可得解.【详解】∵直线y=2x−1与y=ax+1平行，且y=2x−1的斜率为2，∴它们在y轴上的截距不相等，且直线y=ax+1的斜率a也为2，即a=2.故选：D.6．（23-24高二上·天津·期中）以点C−1,−5为圆心，并与x轴相切的圆的方程是（    ）A．(x+1)2+(y+5)2=9 B．(x+1)2+(y+5)2=16C．(x−1)2+(y−5)2=9 D．(x+1)2+(y+5)2=25【答案】D【分析】由题意确定圆的半径，即可求解.【详解】解：由题意，圆心坐标为点C−1,−5，半径为5，则圆的方程为(x+1)2+(y+5)2=25．故选：D．7．（23-24高二下·广东茂名·阶段练习）已知圆C:x−32+y−42=9，直线l:m+3x−m+2y+m=0.则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ）A．27 B．10 C．22 D．6【答案】A【分析】先求出直线l所过的定点P2,3，数形结合得到当CP⊥l时，直线l被圆C截得的弦长最小，再由垂径定理得到最小值.【详解】直线l:m+3x−m+2y+m=mx−y+1+3x−2y=0，令x−y+1=03x−2y=0，解得x=2y=3，所以直线l恒过定点P2,3，圆C:x−32+y−42=9的圆心为C3,4，半径为r=3，且PC2=2−32+3−42=20，dc D．a0，直线l2的横截距d1c>0，于是00,b>0，所以OA+OB=a+b=a+b4a+1b=5+4ba+ab≥5+24ba⋅ab=5+2×2=9，当且仅当4ba=ab4a+1b=1即a=6b=3时等号成立，所以当a=6，b=3时，OA+OB的值最小，此时直线l的方程为x6+y3=1，即x+2y−6=0．17．（15分）（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆C:x2+y2+ax−by=0a>0关于直线y=−2x对称，且过点P0,8．(1)求证：圆C与直线x+2y−16=0相切；(2)若直线l过点1,0与圆C交于A、B两点，且AB=4，求此时直线l的方程．【答案】(1)证明见解析(2)y=0或24x−7y−24=0．【分析】（1）根据圆心在直线y=−2x以及点0,8在圆上，即可求解b=8，a=4，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解，（2）利用圆的弦长公式可得d=4，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程.【详解】（1）圆C:x2+y2+ax−by=0化为标准方程，即x+a22+y−b22=a2+b24，则因为圆C关于直线y=−2x对称，所以b2=−2−a2，所以b=2a，因为圆C过点0,8，所以82−b×8=0，所以b=8，得a=4，所以圆C方程为C:x2+y2+4x−8y=0，圆心坐标为−2,4，半径为25，故点C到直线x+2y−16=0的距离为−2+8−165=25，所以C与直线x+2y−16=0相切，（2）设直线l方程为y=kx−1，即kx−y−k=0，设圆心C到直线l的距离为d=252−22=4，所以−2k−4−kk2+1=4，得7k2+24k=0，所以k=0,k=247，所以直线l的方程为y=0或y=247x−1．即y=0或24x−7y−24=0．18．（17分）（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆C过点A2,6，圆心在直线y=x+1上，截y轴弦长为25．(1)求圆C的方程；(2)若圆C半径小于10，点D在该圆上运动，点B3,2，记M为过B、D两点的弦的中点，求M的轨迹方程；(3)在（2）的条件下，若直线BD与直线l:y=x−2交于点N，证明：BM⋅BN恒为定值．【答案】(1)x−22+y−32=9或x−122+y−132=149(2)x−522+y−522=12(3)证明见解析【分析】（1）设圆心为Ca,a+1，设圆C的半径为r，根据圆的几何性质可得出关于a、r的方程组，解出这两个量的值，即可得出圆C的方程；（2）利用圆的几何性质得CM⊥EM，利用数量积的坐标运算求得动点的轨迹方程；（3）设直线CB与直线l交于点F，通过斜率关系得CE⊥l，利用几何关系得△CBM∽△NBF，从而BM⋅BN=BC⋅BF，利用点到直线的距离公式及两点距离公式求解即可.【详解】（1）解：设圆心为Ca,a+1，设圆C的半径为r，圆心到y轴的距离为a，且圆C y轴弦长为25，则r2=a2+5，①且有r=AC=a−22+a−52②，联立①②可得a=2r=3或a=12r=149，所以，圆C的方程为x−22+y−32=9或x−122+y−132=149.（2）解：因为C半径小于10，则圆C的方程为x−22+y−32=9，由圆的几何性质得CM⊥ED即CM⊥EM，所以CM⋅EM=0，设Mx,y，则CM=x−2,y−3，EM=x−3,y−2所以x−2x−3+y−3y−2=0，即M的轨迹方程是x−522+y−522=12.（3）解：设直线CB与直线l交于点F，由C2,3、B3,2可知直线CB的斜率是kCB=3−22−3=−1，  因为直线l的斜率为1，则BC⊥l，则∠BMC=∠BFN=90∘，∠CBM=∠NBF，所以，△CBM∽△NBF，因此，BM⋅BN=BC⋅BF，又E到l的距离BF=3−2−212+12=12，BC=2−32+3−22=2，所以，BM⋅BN=2⋅12=1，故BM⋅BN恒为定值1.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．19．（17分）（23-24高二上·北京·阶段练习）已知线段AB的端点B的坐标是6，4，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是x−42+y−22=1．(1)求曲线C的方程；(2)已知斜率为k的直线l与曲线C相交于异于原点O的两点E，F，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且k1k2=2．证明：直线l恒过定点．【答案】(1)x−22+y2=4(2)证明见解析【分析】（1）利用中点坐标公式以及求轨迹方程的方法求解；（2）利用韦达定理结合题意求解.【详解】（1）（1）设Ax,y，Mx0,y0，由中点坐标公式得x0=x+62,y0=y+42.因为点M的轨迹方程是x−42+y−22=1，所以x+62−42+y+42−22=1，整理得曲线C的方程为x−22+y2=4．（2）设直线l的方程为y=kx+m，Ex1,y1，Fx2,y2，x1x2≠0，由y=kx+mx−22+y2=4，得1+k2x2+2km−2x+m2=0，所以x1+x2=−2km−21+k2，x1x2=m21+k2，所以k1k2=y1y2x1x2=kx1+mkx2+mx1x2=k2x1x2+kmx1+x2+m2x1x2=k2+2km2−km1+k2+m2m21+k2=1+4km=2，所以m=4k，且Δ>0即4km−22−41+k2m2>0，即m2+4km−4