数学第七章 相交线与平行线7.1 相交线7.1.2 两条直线垂直精品当堂达标检测题

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知识点01 垂直的概念
垂直的概念：
两条直线相交形成的四个角中，有一个角是 直角 时，就说这两条直线 互相垂直 ，其中一条直线叫做另一条直线的 垂线 ，它们的交点叫做 垂足 。若直线a与直线b垂直，表示为 。
由90°得到垂直是判定，由垂直得到90°是性质。
由邻补角与对顶角的性质可知，若相交线形成的角中有一个角是直角，则四个角均是 直角 。
【即学即练1】
1．如图，三条直线相交于点O．CO⊥AB，∠1＝54°，则∠2等于（ ）
A．34°B．36°C．54°D．56°
【分析】根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．
【解答】解：如图所示：
∵CO⊥AB，∠1＝54°，
∴∠3＝90°﹣∠1＝90°﹣54°＝36°，
∴∠2＝∠3＝36°．
故选：B．
【即学即练2】
2．如图，已知直线AB和CD相交于O点，EO⊥CO，OF平分∠AOE，∠COF＝28°，则∠BOD的大小为（ ）
A．27°B．34°C．45°D．62°
【分析】先根据∠COE是直角，∠COF＝28°，求出∠EOF的度数，再根据OF平分∠AOE求出∠AOF的度数，进而求出∠AOC的度数，根据对顶角相等即可得出结论．
【解答】解：∵∠COE是直角，∠COF＝28°，
∴∠EOF＝90°﹣28°＝62°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠AOF＝∠EOF＝62°，
∴∠AOC＝62°﹣28°＝34°，
∴∠BOD＝∠AOC＝34°．
故选：B．
知识点02 垂线的画法及其性质
经过一点作已知直线的垂线的画法：
用三角尺画垂线的步骤：
①三直角三角板的一半与已知直线 重合 。
②沿已知直线平移直角三角形边，使另一边经过 已知点 。
③沿与已知直线不重合的边画 直线 ，这条直线即为已知直线的垂线。
用量角器画垂线：
①将量角器的0°刻度线与已知直线 重合 。
②移动量角器使90°刻度线经过 已知点 ，并在90°刻度线上标记另一点。
③用量角器的底边作过已知点与标记点的直线。
垂线的性质：
在同一平面内，过一点 有且只有1 条直线与已知直线垂直。
【即学即练1】
4．过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的画法是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线的作法判断即可．
【解答】解：A选项，没有垂直，故该选项不符合题意；
B选项，没有过点P，故该选项不符合题意；
C选项，过点P作AB的垂线，垂线是直线，故该选项符合题意；
D选项，PO为垂线段，不是直线，故该选项不符合题意；
故选：C．
【即学即练2】
3．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则直线OA和直线OB重合的理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．已知直线的垂线只有一条
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案．
【解答】解：在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：D．
知识点03 垂线段及其性质
垂线段的概念：
过 直线外 一点作已知直线的 垂线 ，点到 垂足 之间的部分叫做垂线段。
垂线段的性质：
直线外一点连接直线上所有点的连线中， 垂线段 最短。
【即学即练1】
5．小峰同学家在点P处，他在行走速度相同的情况下，想尽快到达公路边，他选择沿线段PC去公路边，这一选择用到的数学知识是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
【分析】由垂线段最短，即可得到答案．
【解答】解：小峰选择沿线段PC去公路边，这一选择用到的数学知识是垂线段最短．
故选：B．
知识点04 点到直线的距离
点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的垂线段的 长度 是直线外一点到该直线的距离。
【即学即练1】
6．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点A到CD的距离是（ ）
A．线段AC的长度B．线段BC的长度
C．线段CD的长度D．线段AD的长度
【分析】根据点到直线的距离的定义即可得．
【解答】解：∵CD⊥AB，即AD⊥CD，
∴点A到CD的距离是线段AD的长度，
故选：D．
【即学即练2】
7．如图，A，B，C，D四点在直线l上，点M在直线l外，MC⊥l，若MA＝5cm，MB＝4cm，MC＝2cm，MD＝3cm，则点M到直线l的距离是（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【分析】根据垂线的性质：直线外一点到这条直线的垂线段最短，结合条件进行解答即可．
【解答】解：如图所示：
∵直线外一点到这条直线的垂线段最短，MC⊥l，
∴点M到直线l的距离是垂线段MC的长度，为2cm，
故选：A．
题型01 与垂直有关的计算
【典例1】如图所示，直线AB⊥CD于点O，直线EF经过点O，若∠1＝26°，则∠2的度数是（ ）
A．26°B．64°C．54°D．74°
【分析】已知∠1，且∠DOF与∠1是对顶角，可求∠DOF，再利用∠DOF与∠2互余求∠2即可．
【解答】解：∵∠1＝26°，∠DOF与∠1是对顶角，
∴∠DOF＝∠1＝26°，
又∵∠DOF与∠2互余，
∴∠2＝90°﹣∠DOF
＝90°﹣26°＝64°．
故选：B．
【变式1】如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1＝137°，则∠3的度数为（ ）
A．37°B．43°C．47°D．53°
【分析】根据邻补角的定义可得∠2＝180°﹣∠1，由垂直的定义可得，∠COD＝90°，再由∠3＝∠COD﹣∠2，计算即可得出答案．
【解答】解：∵∠1＝137°，
∴∠2＝180°﹣∠1＝180°﹣137°＝43°，
∵CO⊥DO，
∴∠COD＝90°，
∴∠3＝∠COD﹣∠2＝90°﹣43°＝47°．
故选：C．
【变式2】如图，O是直线AB上一点，∠BOC＝40°，OD平分∠AOC，OE⊥OC，则∠DOE的度数为 20° ．
【分析】先根据∠BOC＝40°，求出∠AOC的度数，再根据角平分线的定义，求出∠DOC的度数，即可得到∠DOE．
【解答】解：∵∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°﹣40°＝140°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠DOC＝∠AOC＝70°，
∵OE⊥OC，
∴∠DOE＝90°﹣70°＝20°．
故答案为：20°．
【变式3】如图，直线AB、CD相交于点O，OF⊥CD，垂足为O，且OF平分∠AOE．若∠BOD＝25°，求∠EOF的度数．
【分析】根据对顶角相等求出∠AOC的度数，根据垂直求出∠FOA的度数，根据角平分线定义即可求出答案．
【解答】解：∵∠BOD＝25°，
∴∠AOC＝∠BOD＝25°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF＝90°，
∴∠AOC+∠AOF＝90°，
∴∠AOF＝90°﹣25°＝65°，
∵OF平分∠AOE，
∴∠EOF＝∠AOF＝65°．
【变式4】如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O．
（1）若∠AOC＝36°，则∠BOE＝ 54° ；
（2）若∠BOD：∠BOC＝1：5，则∠BOD＝ 30° ，∠AOE＝ 120° ．
【分析】（1）根据垂直定义可得∠COE＝90°，然后再利用平角定义进行计算即可解答；
（2）根据已知和平角定义可得∠BOD＝30°，再利用对顶角相等可得∠AOC＝30°，然后再利用（1）的结论∠COE＝90°，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵EO⊥CD，
∴∠COE＝90°．
∵∠AOC＝36°，
∴∠BOE＝180°﹣∠COE﹣∠AOC＝54°．
故答案为：54°；
（2）∵∠BOD：∠BOC＝1：5，∠BOD+∠BOC＝180°，
∴．
∴∠AOC＝∠BOD＝30°，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOE＝∠AOC+∠COE＝30°+90°＝120°．
故答案为：30°；120°．
题型02 垂线段及其性质的应用
【典例1】如图是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，体育杜老师在测量小明同学的体育成绩时，选取测量线段CD的长度，其依据是（ ）
A．垂线段最短
B．两点之间线段最短
C．两点确定一条直线
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据垂线段最短解答即可．
【解答】解：由图可知，线段CD的长度是小明的跳远成绩．
故选：A．
【变式1】如图，要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是（ ）
A．两点之间线段最短B．点到直线的距离
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短进行解答．
【解答】解：要把河中的水引到水池A中，应在河岸B处（AB⊥CD）开始挖渠才能使水渠的长度最短，这样做依据的几何学原理是：垂线段最短，
故选：D．
【变式2】如图，想在河堤两岸搭建一座桥，图中搭建方式中，最短的是PB，理由 垂线段最短 ．
【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短．据此作答．
【解答】解：根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∵PB⊥AD，
∴PB最短．
故答案为：垂线段最短．
题型03 点到直线的距离的认识
【典例1】如图，若已知AD⊥BC，则下列说法正确的是（ ）
A．点B到AC的垂线段是线段AB
B．点C到AB的垂线段是线段AC
C．线段AD是点D到BC的垂线段
D．线段BD是点B到AD的垂线段
【分析】根据AB与AC不垂直可对选项A进行判断；根据AC与AB不垂直可对选项B进行判断；根据线段AD是点A到BC的垂线段可对选项C进行判断；根据AD⊥BC可对选项D进行判断，综上所述可得出答案．
【解答】解：∵AB与AC不垂直，
∴点B到AC的垂线段不是线段AB，
故选项A不正确，不符合题意；
∵AC与AB不垂直，
∴点C到AB的垂线段不是线段AC，
故选项B不正确，不符合题意；
∵线段AD是点A到BC的垂线段，
∴选项C不正确，不符合题意；
∵AD⊥BC，
∴线段BD是点B到AD的垂线段，
故选项D正确，符合题意．
故选：D．
【变式1】如图，已知AB⊥AC，AD⊥BC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线的距离的线段有（ ）
A．5条B．4条C．3条D．2条
【分析】点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断．
【解答】解：∵AB⊥AC，AD⊥BC，
∴线段AB长是点B到直线AC的距离，线段AC长是点C到直线AB的距离，线段AD长是点A到直线BC的距离，线段BD长是点B到直线AD的距离，线段CD长是点C到直线AD的距离，
∴图中能表示点到直线的距离的线段有5条．
故选：A．
【变式2】直线l上有A、B、C三点，直线l外有一点P，若PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，那么P点到直线l的距离是（ ）
A．等于2cmB．小于2cm
C．不大于2cmD．大于2cm且小于3cm
【分析】根据点到直线的距离的定义和垂线段最短的性质解答．
【解答】解：∵PA＝2cm，PB＝4cm，PC＝3cm，
∴P点到直线l的距离不大于2cm．
故选：C．
【变式3】如图，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则点C到直线AB的距离等于（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据等积法求出点C到直线AB的距离即可．
【解答】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，
∴，
∴，
即点C到直线AB的距离为，故C正确．
故选：C．
1．如图，已知直线AB与直线CD相交于点O，下列条件中不能说明AB⊥CD的是（ ）
A．∠AOC＝90°B．∠AOC＝∠BOC
C．∠AOC＝∠BODD．∠AOC+∠BOD＝180°
【分析】根据垂直定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直进行判定即可．
【解答】解：A、∠AOD＝90°可以判定两直线垂直，故此选项不符合题意；
B、∠AOC和∠BOC是邻补角，邻补角的和是180°，所以可以得到∠COB＝90°，能判定垂直，故此选项不符合题意；
C、∠AOC＝∠BOD是对顶角，对顶角相等，不能判定垂直，故此选项符合题意；
D、∠AOC和∠BOD是对顶角，对顶角相等，和又是180°，所以可得到∠AOC＝90°，故此选项不符合题意．
故选：C．
2．如图，要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是（ ）
A．经过两点有且只有一条直线
B．两点之间的所有连线中线段最短
C．垂线段最短
D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
【分析】根据垂线段最短即可得出答案．
【解答】解：∵PN⊥QM，
∴要在河堤两岸搭建一座桥，搭建方式中最短的是线段PN，理由是垂线段最短．
故选：C．
3．如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（ ）
A．两点确定一条直线
B．垂线段最短
C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．已知直线的垂线只有一条
【分析】直接利用垂线的性质：在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进而判断得出答案．
【解答】解：在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是：同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
故选：C．
4．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠DOB＝43°，∠COE的度数是（ ）
A．43°B．137°C．57°D．47°
【分析】根据垂直定义可得：∠BOE＝90°，然后利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵OE⊥AB，
∴∠BOE＝90°，
∵∠DOB＝43°，
∴∠COE＝180°﹣∠BOE﹣∠DOB＝47°，
故选：D．
5．如图CD⊥AB，∠C＝90°，线段AC、BC、CD中最短的是（ ）
A．ACB．BCC．CDD．不能确定
【分析】根据垂线段最短即可得出结论．
【解答】解：根据垂线段最短可得：CD＜AC，CD＜BC，
∴线段AC、BC、CD中最短的是CD，
故选：C．
6．如图，点P是直线a外的一点，点A，B，C在直线a上，且PB⊥a，垂足是B，PA⊥PC．下列关于距离的语句：
①线段PB的长是点P到直线a的距离；
②PA，PB，PC三条线段中，PB最短；
③线段AC的长是点A到直线PC的距离；
④线段PC是点C到直线PA的距离．
其中正确的个数为（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据点到直线距离的定义及垂线段最短，对题目中给出语句逐一进行判断即可得出答案．
【解答】解：∵PB⊥a，
∴线段PB的长是点P到直线a的距离，
故①正确；
根据垂线段最短得：PA，PB，PC三条线段中，PB最短，
故②正确；
∵AC与PC不垂直，
∴线段AC的长不是点A到直线PC的距离，
故③不正确；
∵PA⊥PC，
∴线段PC的长是点C到直线PA的距离，
故④不正确．
综上所述：正确的是①②，共2个．
故选：B．
7．如图，点P处安装了一个路灯，能照射范围的水平距离为线段AB，测得PA＝10m，PB＝8m，则点P到直线AB的距离可能为（ ）
A．10mB．9mC．8mD．7m
【分析】直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可得到答案．
【解答】解：∵垂线段最短，
∴点P到直线AB的距离小于8cm，
∴点P到直线AB的距离可能为7cm，
故选：D．
8．若P为直线l外一定点，A为直线l上一点，且PA＝3，d为点P到直线l的距离，则d的取值范围为（ ）
A．0＜d＜3B．0≤d＜3C．0＜d≤3D．0≤d≤3
【分析】根据垂线段最短即可求出答案．
【解答】解：由垂线段最短可知：0＜d≤3，
当d＝3时
此时PA⊥l
故选：C．
9．如图，点O在直线AB上，OC⊥AB，OE⊥OF，若∠AOE＝45.2°，则∠COF＝（ ）
A．45°12′B．45°20′C．44°48′D．44°80′
【分析】证明∠AOE＝∠COF即可解决问题．
【解答】解：∵OC⊥AB，OE⊥OF，
∴∠AOE+∠COE＝90°，∠COF+∠COE＝90°，
∴∠COF＝∠AOE＝45.2°＝45°12′，
故选：A．
10．如图，点A在直线l1上，点B，C在直线l2上，AB⊥l2，AC⊥l1，AB＝4，BC＝3，则下列说法正确的是（ ）
A．点C到AB的距离等于4
B．点B到AC的距离等于3
C．点A到直线l2的距离等于4
D．点C到直线l2的距离等于4
【分析】根据点到直线的距离的定义逐项判断即可．
【解答】解：∵AB⊥l2于点B，AC⊥l1于点A，AB＝4，BC＝3，
∴点C到直线AB的距离等于3，选项A不符合题意；
点B到AC的距离不等于3，选项B不符合题意；
点A到直线l2的距离等于4，选项C符合题意；
点C到直线l2的距离等于0，选项D不符合题意；
故选：C．
11．如图，直线m，n相交于点A，点P是直线m上一点，则点P到直线n的距离是线段 PC 的长度．
【分析】根据点到直线距离的定义解答即可．
【解答】解：点P到n的距离是点P到n的垂线，
∴线段PC的长度是点P到n的距离，
故答案为：PC．
12．如图是地球截面图，其中AB，CD分别表示赤道和南回归线，冬至正午时，太阳光直射南回归线（太阳光线MD的延长线经过地心O），此时，太阳光线与地面水平线EF垂直，已知∠MDN＝23°26′，则∠EDN的度数是 66°34′ ．
【分析】根据太阳光线与地面水平线EF垂直可得∠MDE＝90°，再由∠EDN＝90°﹣∠MDE，代入计算即可．
【解答】解：∵太阳光线与地面水平线EF垂直，
∴∠MDE＝90°，
∵∠MDN＝23°26′，
∴∠EDN＝90°﹣∠MDE＝90°﹣23°26′＝66°34，
即∠EDN的度数是66°34′．
故答案为：66°34′．
13．在直线AB上任取一点O，过点O作射线OC、OD，使OC⊥OD，当∠AOC＝20°时，∠BOD的度数是 70°或110 ．
【分析】根据题意，分OC、OD在AB同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据OC⊥OD，∠AOC＝20°，计算∠BOD的度数即可．
【解答】解：在直线AB同侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC＝20°，
∴∠BOD＝180°﹣90°﹣20°＝70°；
在直线AB异侧时，如图：
∵OC⊥OD，∠AOC＝20°，
∴∠BOD＝180°﹣（90°﹣20°）＝110°，
故答案为：70°或110°．
14．如图，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，BC＝10．点P为边BC上一动点，连接AP，则AP的最小值是 ．
【分析】依据垂线段最短，即可得到当AP⊥BC时，AP最短．根据面积法求得垂线段AP的长即可．
【解答】解：如图所示，当AP⊥BC时，AP最短，
∵，
∴，
∴AP的最小值是．
故答案为：．
15．如果∠1的两条边所在直线与∠2的两条边互相垂直，且∠1是∠2的2倍少30度，则∠1的度数为 110或30 °．
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠1是∠2的2倍少30度，利用方程组即可解决问题．
【解答】解：如图1，
根据题意得，，
解得∠1＝∠2＝30°；
如图2，
根据题意得，，
解得，
∴∠1的度数为30°或110°，
故答案为：110或30．
16．如图，C是河岸AB外一点．
（1）过点C修一条与河岸AB平行的绿化带（绿化带用直线l表示），请画图表示；
（2）现用水管从河岸AB将水引到C处，问：从河岸AB上的何处开口，才使所用的水管最短？画图表示，并说明设计的理由．
【分析】（1）根据平行线的定义画出直线l即可；
（2）根据垂线段最短解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，过点C画一条平行于AB的直线l，则l为绿化带．
（2）如图，过点C作CD⊥AB于点D，从河岸AB上的点D处开口，才能使所用的水管最短．
设计的理由是垂线段最短．
17．如图，已知直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，点O为垂足，OF平分∠AOC．
（1）若∠AOF＝64°，求∠COE的度数；
（2）若∠AOF：∠COE＝3：2，求∠EOF的度数．
【分析】（1）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可；
（2）根据角平分线的定义，垂直的定义以及图形中角的比例关系进行计算即可．
【解答】解：（1）∵OF平分∠AOC，∠AOF＝64°，
∴∠AOC＝2∠AOF＝128°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°，
∴∠COE＝128°﹣90°＝38°；
（2）由于∠AOF：∠COE＝3：2，可设∠AOF＝3x，∠COE＝2x，
∵OF平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠AOF＝6x，
∴∠EOF＝∠AOC﹣∠AOF﹣∠COE＝6x﹣3x﹣2x＝x，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°＝∠AOF+∠EOF＝3x+x＝4x，
∴x＝22.5°＝∠EOF，
即∠EOF的度数为22.5°．
18．如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O．
（1）若∠1＝∠2，求证：ON⊥CD；
（2）若∠BOC＝4∠1，求∠AOC，∠MOD的度数．
【分析】（1）根据垂直定义可得，∠AOC+∠1＝90°，结合已知∠1＝∠2可得∠CON＝90°，再根据∠CON与∠NOD互补，即可解答；
（2）根据∠AOM＝90°，可得∠AOC＝90°﹣∠1，再根据∠AOD+∠AOC＝180°，∠AOD＝4∠1，从而求出∠1的度数，即可求出∠AOC和∠MOD的度数．
【解答】（1）证明：∵OM⊥AB，
∴∠AOM＝90°，
∴∠AOC+∠1＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠AOC+∠2＝90°，即∠NOC＝90°，
∴∠NOD＝180°﹣∠NOC＝90°．
∴∠NOD的度数为90°；
∴ON⊥CD
（2）解：∵OM⊥AB，
∴∠BOM＝90°，
∵∠BOC＝4∠1，
∴∠BOM+∠1＝4∠1，即90°+∠1＝4∠1，
解得∠1＝30°，
∴∠AOC的度数为60°，∠MOD的度数为150°．
19．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝4cm，AC＝3cm，AB＝5cm．
（1）点B到AC的距离是 4 cm；点A到BC的距离是 3 cm；
（2）画出表示点C到AB的垂线段CD，并求出CD的长；
（3）AC ＞ CD（填“＞”“＜”或“＝”），理由是 垂线段最短 ．
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；
（2）根据几何语言画出对应几何图形，并用面积法求出CD的长即可；
（3）利用垂线段最短求解．
【解答】解：（1）由题意得：点B到AC的距离是4cm；点A到BC的距是3cm．
故答案为4，3；
（2）如图，CD为所作；
∵，
∴BC⋅AC＝AB⋅CD，
∴4×3＝5CD，
∴；
（3）AC＞CD．
理由是垂线段最短；
故答案为：＞，垂线段最短．
20．定义：从∠α（90°＜α＜180°）的顶点出发，在角的内部作一条射线，若该射线将∠α分得的两个角中有一个角与∠α互为补角，则称该射线为∠α的“好线”．
如图，点O在直线AB上，OC、OD在直线AB上方，且OC⊥OD，射线OE是∠AOD的“好线”．
（1）若∠BOD＝26°，且OE在∠COD内部，则∠COE＝ 64 °；
（2）若OE恰好平分∠AOC，请求出∠BOD的度数；
（3）若OF是∠AOE的平分线，OG是∠BOC的平分线，请画出图形，探究∠EOF与∠DOG的数量关系，并说明理由．
【分析】（1）画出相应的图形，由角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行解答即可；
（2）根据平角的定义以及角平分线的定义进行计算即可；
（3）分（1）中的两种情况进行解答，分别用∠BOD表示∠EOF，∠DOG，进而答案即可．
【解答】解：（1）如图1，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠DOE+∠AOD＝180°时，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠DOE＝∠BOD＝26°，
∵OC⊥OD，
∴∠COD＝90°，
∴∠COE＝90°﹣26°＝64°，
故答案为：64；
（2）若OE恰好平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠COE＝∠BOD，
∴∠BOD＝×（180°﹣90°）＝30°；
（3）∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°，理由如下：
如图2﹣1，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠AOE+∠AOD＝180°时，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠AOE＝∠BOD，
∵OF是∠AOE的平分线，
∴∠EOF＝∠AOE＝∠BOD，
∴OG是∠BOC的平分线，
∴∠BOG＝∠BOC＝×（90°+∠BOD）＝45°+∠BOD，
∴∠DOG＝∠BOG﹣∠BOD＝45°﹣∠BOD，
∴∠EOF+∠DOG＝45°，
如图2﹣2，由于射线OE是∠AOD的“好线”，
当∠AOE+∠AOD＝180°时，
∵∠AOD+∠BOD＝180°，
∴∠DOE＝∠BOD，
∴∠DOG＝∠BOC﹣∠BOD
＝（90°+∠BOD）﹣∠BOD
＝45°﹣∠BOD，
∠EOF＝∠AOE＝×（180°﹣2∠BOD）
＝90°﹣∠BOD，
∴∠EOF＝2∠DOG，
综上所述∠EOF＝2∠DOG或∠EOF+∠DOG＝45°．
课程标准
学习目标
①垂直的概念
②垂线的画法与性质
③垂线段及其性质
④点到直线的距离
掌握垂线的定义及其表示，并能够熟练运用垂直进行计算。
掌握垂线的画法并能够利用三角板或量角器画垂线。
掌握垂线段的性质、点到直线的距离并且能够运用性质进行相关的计算。