2024-2025学年江苏省无锡市高二上册10月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年江苏省无锡市高二上册10月月考数学检测试题（附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据复数的运算化简得，再根据虚部的定义即可求解．
【详解】，则所求虚部为.
故选：A．
2. 如图，若直线，，的斜率分别为，，，则（ ）
B.
C. D.
【正确答案】A
【分析】根据直线的倾斜角的大小，即可判断斜率大小.
【详解】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；倾斜角为钝角时，斜率为负，
所以.
故选：A
3. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用空间直角坐标系关于坐标轴的对称点，是满足有这个轴的坐标不变号，其它轴的坐标变号，从而即可求解.
【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为.
故选：C.
4. 设复数z在复平面内对应的点为，则的模为（ ）
A. 1B. 2C. D. 0
【正确答案】A
【分析】根据复数对应点得出复数，再应用乘法除法计算即可得出复数，最后计算求模.
【详解】因为复数z在复平面内对应的点为,所以,
所以.
故选：A.
5. 已知复数满足，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】设复数，由共轭复数的性质和复数的意义求出复数，再由复数的乘除计算即可得到结果；
【详解】设复数，
所以，
又因为复数满足，
所以，
整理可得，解得，
所以，
所以，
故选：A.
6. 若和都为基底，则不可以为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】假设不能构成一组基底，可知，依次验证各个选项，确定是否有取值即可.
【详解】若不是一组基底，则可设，
对于A，若，则，方程组无解，为基底，A错误；
对于B，若，则，方程组无解，为基底，B错误；
对于C，若，则，解得：，
不是一组基底，C正确；
对于D，若，则，方程组无解，为基底，D错误.
故选：C.
7. 已知直线的方向向量为，点在直线上，若点到直线的距离为，则（ ）
A. 0B. 2C. 0或2D. 1或2
【正确答案】C
【分析】根据题意，由空间中点到直线的距离公式代入计算，即可求解.
【详解】由题意得，
所以点到直线的距离为，
解得或.
故选：C
8. 在棱长为1的正四面体ABCD中，M是BC的中点，且，，则直线AM与CN夹角的余弦值的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】选取为基底，将进行分解，可表示出：，，，进一步结合向量夹角公式即可求解.
【详解】如图所示，延长，使得，由题意点在线段上（不包含端点），
选取为基底，由题意，
而，
从而，
，
，
所以，
设，因为，所以，而，
因为
，
设，则，，
当且仅当，即，即时，的最小值为，
所以当且仅当时，.
故选：C.
关键点点睛：关键是表示出：，，，进一步得出，由此即可通过换元法得解.
二、多选题
9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ）
A. 向量与向量的夹角为
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 向量与向量，共面
【正确答案】ABD
【分析】利用向量数量积坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量相乘为0可得向量垂直B正确；根据投影向量的定义可计算出投影向量为所以C错误，得出向量共面判断D.
【详解】因为，所以，
可得，则向量与向量的夹角为，故A正确；
因为，
所以，即B正确；
根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为
，所以C错误；
由向量，，，可知，
向量与向量，共面， 所以D正确.
故选：ABD
10. 已知复数，，下列说法正确的有（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. D. 若，则
【正确答案】AC
【分析】设，，根据共轭复数及复数相等充要条件判断A、C，利用特殊值判断B、D.
【详解】设，，则，，
对于A：因，所以，即，所以，故A正确；
对于B：令，，则，
但是，所以，故B错误；
对于C：因为，，
所以，故C正确；
对于D：令，，满足，但是，故D错误.
故选：AC
11. 如图，正方体的棱长为1，E为棱的中点，P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点，则（ ）

A. 三棱锥的体积为定值B. 直线平面
C. 当时，D. 直线与平面所成角的正弦值为
【正确答案】AD
【分析】对于A，将三棱锥转换成后易得其体积为定值；对于B，建系后，证明与平面的法向量不垂直即可排除B项；对于C，设出，利用证得，再计算，结果不为0，排除C项；对于D，利用空间向量的夹角公式计算即得.
【详解】
对于A，如图1，因,故A正确；

对于B，如图2建立空间直角坐标系，则,
于是，，
设平面的法向量为，则，故可取，
由知 与不垂直，
故直线与平面不平行，即B错误；
对于C，由上图建系，则, ,
因P为底面正方形ABCD内（含边界）的动点,不妨设，则，，
由题意，，即，于是，
此时，故与不垂直，即C错误；
对于D，由图知平面的法向量可取为，因，
设直线与平面所成角为，
则，故D正确.
故选：AD.
三、填空题
12. 已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C分别对应复数3＋3i，－2＋i，－5i，则第四个顶点D的坐标为________．
【正确答案】
【详解】对应复数为(－5i)－(－2＋i)＝2－6i，对应复数为zD－(3＋3i)，在平行四边形ABCD中，＝，则zD－(3＋3i)＝2－6i，即zD＝5－3i，则点D的坐标为(5，－3).
【考查意图】考查复数的运算法则、几何意义、向量的平行四边形法则．
13. 如图，四边形，都是边长为1的正方形，,则，两点间的距离是______．
【正确答案】
【分析】由空间向量的线性运算可得出，利用空间向量数量积的运算性质可求得，即为所求．
【详解】因为四边形、都是边长为的正方形，则，，
又，则，
因为，由图易知，，
所以
，
即，两点间的距离是．
故．
14. 某中学组织学生到一工厂开展劳动实习，加工制作帐篷．将一块边长为的正方形材料先按如图①所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形（其中），然后，将剩余部分沿虚线折叠并拼成一个四棱锥型的帐篷（如图②）．该四棱锥底面是正方形，从顶点P向底面作垂线，垂足恰好是底面的中心，则直线与平面所成角的正弦值为___________．
【正确答案】
【分析】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求解即可.
【详解】设与的交点为点O，以O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
由题意可知，，
故．
设平面的法向量为，又，
则有即
令，可得平面的一个法向量为．
设与平面的法向量的夹角为，
则，
则直线与平面所成角的正弦值为．
故
四、解答题
15. 已知复数，．
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）若在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由实部为且虚部不为列式求解；
（2）由实部小于0与虚部大于得到不等式组，求出的取值范围．
【小问1详解】
是纯虚数，
故，解得.
【小问2详解】
因为在复平面内对应的点在第二象限，
所以，解得，
故的取值范围为2,3．
16. 已知坐标平面内两点.
（1）当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围；
（2）若直线的方向向量为，求的值.
【正确答案】（1）答案见解析．
（2）
【分析】（1）由斜率为正或为负求解；
（2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论．
【小问1详解】
直线的倾斜角为锐角时，，解得，
直线的倾斜角为钝角时，，解得或，
所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或；
【小问2详解】
由已知，又直线的方向向量为，
所以，解得．
17. 已知正三棱锥P-ABC的所有棱长均为，点E，F分别为PA，BC的中点，点N在EF上，且EN=3NF，设．
（1）用向量表示向量；
（2）求PN与EB夹角的余弦值．
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据空间向量的线性运算即可结合空间向量基本定理求解，
（2）利用基底法表示向量，利用向量的夹角求解线线角即可.
【小问1详解】
由EN=3NF可得, 由F为BC的中点可得
,
所以
【小问2详解】
，
两两夹角为，模长均为，所以，
所以
，
，
，
设求PN与EB夹角为，则
18. 已知复数（a，），存在实数t，使成立.
（1）求证：为定值；
（2）若，求a的取值范围．
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）对化简整理可得，结合复数的相等分析运算；（2）根据复数模长的定义和公式，结合运算求解.
【小问1详解】
∵，则，
由复数相等，消去t得，
故为定值.
【小问2详解】
∵，且
∴，
又∵，即，则，整理得，
∴原不等式组即为，解得，
故a的取值范围为.
19. 如图，平面，，点分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求到平面的距离.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【分析】（1）连接，证得，利用用线面判定定理，即可得到平面.
（2）以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.求得平面和平面法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
（3）设，则，从而，由（2）知平面的法向量为，利用向量的夹角公式，得到关于的方程，即可求解．
【小问1详解】
连接，因为，所以，又因为，所以为平行四边形.
由点和分别为和的中点，可得且，
因为为CD的中点，所以且，
可得且，即四边形为平行四边形，
所以，又平面，平面，所以平面.
【小问2详解】
因为平面，，可以建立以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向的空间直角坐标系.
依题意可得，.
，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，
设为平面的法向量，
则，即，不妨设，可得，.
，于是.
所以，二面角的正弦值为.
【小问3详解】
设，即，则
从而
由（2）知平面的法向量为，
由题意，，即，
整理得，解得或，
因为所以，所以.
则N到平面的距离为.