2024-2025学年内蒙古赤峰市林西县高二上册10月月考数学质量检测试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年内蒙古赤峰市林西县高二上册10月月考数学质量检测试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标为（ ）
A. B. C. D.
2. 某班会课上，班主任拟从甲、乙，丙、丁、戊五名同学选3人以新冠疫情为主题分享体会，则甲没被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 平行六面体中，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
4. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A. 恰有1名女生和恰有2名女生B. 至少有1名男生和至少有1名女生
C. 至少有1名女生和全是女生D. 至少有1名女生和至多有1名男生
5. 据某地区气象局发布的气象数据，未来某十天内该地区每天最高温度（单位：℃）分别为：31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，则这组数据的第40百分位数为（ ）
A 27B. 26.5C. 25.5D. 25
6. 在棱长为的正方体中，求棱的中点到平面的距离（ ）
A. B.
C. D.
7. 据统计，我国牛、羊肉集贸市场价格在2019年波动幅度较大，2020年开始逐渐趋于稳定.如下图分别为2019年1月至2020年3月，我国牛肉、羊肉集贸市场月平均价格大致走势图，下列说法不正确的是（ ）
A. 2019年1月至2020年3月，牛肉与羊肉月平均价格的涨跌情况基本一致
B. 2019年3月开始至当年末，牛肉与羊肉月平均价格都一直持续上涨
C. 2019年7月至10月牛肉月平均价格的平均增量高于2020年1至2月的增量
D. 同期相比，羊肉的月平均价格一定高于牛肉的月平均价格
8. 在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，，则下列说法中错误的有（ ）
A. A与B独立B. A与C独立C. B与C独立D.
10. 为了解学生名著的年阅读量（单位：本），某班调查了12名男生，其年阅读量的平均数为4，方差为9；调查了8名女生，其年阅读量的平均数为7，方差为15，若将这20名学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（ ）
A. 平均数为5.5B. 平均数为5.2
C. 方差为13.56D. 方差为14.56
11. 在棱长为的正方体中中，点在线段上运动，则下列命题正确的是（ ）

A. 异面直线和所成的角为定值
B. 直线和平面平行
C. 三棱锥的体积为定值
D. 直线和平面所成的角为定值
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知一组样本数据的样本平均数为3，方差为2，由生成一组新的样本数据，则新数据的平均数为______；样本方差为______.
13. 已知空间向量、满足，，，则向量、的夹角为______.
14. 甲､乙､丙三名运动员的投篮命中率分别为和，现甲､乙､丙三名运动员各投篮一次，则至少有两人命中的概率为___________.
四、解答题
15. 如图，在直三棱柱中，，，，，是中点.

（1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标；
（2）求的长
（3）求证.
16. 有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
（1）将红色卡片和蓝色卡片分别放在两个袋中，然后从两个袋中各取一张卡片，求两张卡片数字之积为偶数的概率
（2）将五张卡片放在一个袋子中，从中任取两张，求两张卡片颜色不同概率
17. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，中国跳水运动小将全红婵备受大家关注.某调研机构为了了解杭州市民对亚运会跳水项目的认知程度，举办了一次“亚运会跳水项目”知识竞赛，随机抽取了1000名参赛者，发现他们的成绩都在40～100分之间，将他们的成绩分成40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100六组，并制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a值以及这1000人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从80,90，90,100中抽取6人，并从这6人中随机抽取2人进行采访，求接受采访的2人中有人成绩在90,100的概率.
18. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，，，顶点P在底面ABCD的正投影为AD的中点O.
（1）求证：平面PAC⊥平面POB
（2）若平面PAB与平面PCD的交线为l，，求l与平面PAC所成角的大小.
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
2024-2025学年内蒙古赤峰市林西县高二上学期10月月考数学质量
检测试卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据中点坐标公式求解即可.
【详解】点，
由中点坐标公式得中得为：，即.
故选A.
2. 某班会课上，班主任拟从甲、乙，丙、丁、戊五名同学选3人以新冠疫情为主题分享体会，则甲没被选中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】计算出选择的所有可能结果，然后计算没有甲的可能结果，最后根据古典概型计算即可.
【详解】从5人中选3人出来总共有10种不同的选法，每种选法的可能性相同，
其中甲不被选中的可能结果有：乙丙丁、乙丙戊、乙丁戊、丙丁戊，
所以概率为．
故选：B
3. 平行六面体中，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【正确答案】D
【分析】根据空间向量的运算，表示出，和已知比较可求得的值，进而求得答案.
【详解】在平行六面体中，
有，故由题意可知：，
即，所以，
故选：D.
4. 某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名学生去参加唱歌比赛，在下列各组事件中，是互斥事件的是（ ）
A. 恰有1名女生和恰有2名女生B. 至少有1名男生和至少有1名女生
C. 至少有1名女生和全是女生D. 至少有1名女生和至多有1名男生
【正确答案】A
【分析】根据互斥事件的定义判断即可.
【详解】依题意可能出现名男生、名男生名女生、名女生；
对于A：恰有1名女生即选出的两名学生中有一名男生一名女生和恰有2名女生，他们不可能同时发生，故是互斥事件，故A正确；
对于B：当选出的两名学生中有一名男生一名女生，则至少有1名男生和至少有1名女生都发生了，故不是互斥事件，故B错误；
对于C：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，
所以当全是女生时，至少有1名女生和全是女生都发生了，故不是互斥事件，故C错误；
对于D：至少有1名女生包含有一名男生一名女生与全是女生，
至多有1名男生包含有一名男生一名女生与全是女生，
故至少有1名女生和至多有1名男生是相等事件，故D错误.
故选：A
5. 据某地区气象局发布的气象数据，未来某十天内该地区每天最高温度（单位：℃）分别为：31，29，24，27，26，25，24，26，26，23，则这组数据的第40百分位数为（ ）
A. 27B. 26.5C. 25.5D. 25
【正确答案】C
【分析】先将所给数据按 小到大排序，再根据百分位数的定义求第40百分位数.
【详解】先将这些数据按照从小到大进行排序，分别为23，24，24，25，26，26，26，27，29，31，
又，所以该组数据的第40百分位数为排序后的数列的第4个数和第5个数的平均数，即，
故选：C．
6. 在棱长为的正方体中，求棱的中点到平面的距离（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法进行求解即可.
【详解】以为坐标原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，则，
设平面的一个法向量，则，
即，令，解得，故，
所以棱的中点到平面的距离，
故选：B.
7. 据统计，我国牛、羊肉集贸市场价格在2019年波动幅度较大，2020年开始逐渐趋于稳定.如下图分别为2019年1月至2020年3月，我国牛肉、羊肉集贸市场月平均价格大致走势图，下列说法不正确的是（ ）
A. 2019年1月至2020年3月，牛肉与羊肉月平均价格涨跌情况基本一致
B. 2019年3月开始至当年末，牛肉与羊肉的月平均价格都一直持续上涨
C. 2019年7月至10月牛肉月平均价格的平均增量高于2020年1至2月的增量
D. 同期相比，羊肉的月平均价格一定高于牛肉的月平均价格
【正确答案】D
【分析】根据图像数据分析即可求解.
【详解】根据图像的大致走势即可判断牛肉与羊肉月平均价格的涨跌情况基本一致，故选项A正确；
根据图像中的数据比较可知2019年3月开始至当年末，牛肉与羊肉的月平均价格，数据越来越大，都一直持续上涨，故选项B正确；
2019年7月至10月牛肉月平均价格的平均增量为，2020年1至2月牛肉增量为，故选项C正确；
2019年8月牛肉月平均价格为，2019年8月羊肉月平均价格为，所以同期相比，羊肉的月平均价格也可能会低于牛肉的月平均价格，故选项D错误.
故选：D.
8. 在两条异面直线，上分别取点，和点，，使，且.已知，，，，则两条异面直线，所成的角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】设两条异面直线，所成的角为，将等式两边同时平方计算可得答案．
【详解】如图，设两条异面直线，所成的角为，
，，，，，，
，
则
，
得或（舍去）
故选：B
二、多选题（每小题6分，共18分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子所得的样本空间为，令事件，，，则下列说法中错误的有（ ）
A. A与B独立B. A与C独立C. B与C独立D.
【正确答案】AC
【分析】根据事件相互独立的定义和事件之间的关系的定义判断即可.
【详解】由题意得，则，，，，．故只有A与C独立．B正确.
事件，，满足，D正确.
故选：AC
10. 为了解学生名著的年阅读量（单位：本），某班调查了12名男生，其年阅读量的平均数为4，方差为9；调查了8名女生，其年阅读量的平均数为7，方差为15，若将这20名学生合在一起组成一个容量为20的样本，则该样本数据的（ ）
A. 平均数为5.5B. 平均数为5.2
C. 方差为13.56D. 方差为14.56
【正确答案】BC
【分析】根据已知条件，结合平均数和方差公式即可求解．
【详解】由题意该样本的平均数，故A错误，B正确；
方差，故C正确，D错误.
故选：BC.
11. 在棱长为的正方体中中，点在线段上运动，则下列命题正确的是（ ）

A. 异面直线和所成的角为定值
B. 直线和平面平行
C. 三棱锥的体积为定值
D. 直线和平面所成的角为定值
【正确答案】ABC
【分析】由线面垂直的判定可证得平面，由线面垂直性质可知A正确；根据，结合线面平行的判定可得B正确；结合平行关系，可由体积桥得到，由此可得C正确；根据线面角的定义可确定所求角，根据正切值不为定值可知D错误.
【详解】对于A，四边形为正方形，；
平面，平面，，
又平面，，平面，
平面，，异面直线和所成角为定值，A正确；
对于B，，平面，平面，
平面，又平面，平面即为平面，
平面，B正确；
对于C，由B知：平面，，
平面平面，平面，平面，
，，
即三棱锥的体积为定值，C正确；
对于D，设，

由A知：平面，即为直线和平面所成的角，
，
不是定值，不是定值，即直线和平面所成的角不是定值，D错误.
故选：ABC.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知一组样本数据的样本平均数为3，方差为2，由生成一组新的样本数据，则新数据的平均数为______；样本方差为______.
【正确答案】 ① 7； ②. 8.
【分析】由期望、方差性质直接计算即可.
【详解】因为数据样本平均数为3，方差为2，
所以数据的样本平均数为，方差为.
故7；8
13. 已知空间向量、满足，，，则向量、的夹角为______.
【正确答案】
【分析】利用空间向量的垂直关系求出的值，再利用空间向量数量积求出，结合向量夹角的取值范围可求得结果.
【详解】因为空间向量、满足，，，
则，可得，
所以，，
因为，故，
所以，向量、的夹角为.
故答案为.
14. 甲､乙､丙三名运动员的投篮命中率分别为和，现甲､乙､丙三名运动员各投篮一次，则至少有两人命中的概率为___________.
【正确答案】##
【分析】根据题意分为恰好两人命中和三人都命中，由相互独立事件的概率公式分别求出其概率，即可得到答案.
【详解】记“至少有两人命中”为事件，
则
故
四、解答题
15. 如图，在直三棱柱中，，，，，是中点.

（1）试建立适当的空间直角坐标系，并写出点，的坐标；
（2）求的长
（3）求证.
【正确答案】（1）坐标系见解析，，
（2）
（3）证明见解析
【分析】（1）以为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，即可得到所求点的坐标.
（2）根据空间向量坐标运算即可..
（3）根据，即可证明结论.
【小问1详解】
以坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.

所以，
【小问2详解】
，，，
.
【小问3详解】
，.
，，，所以.
16. 有五张卡片,其中红色卡片三张,标号分别为1,2,3;蓝色卡片两张,标号分别为1,2.
（1）将红色卡片和蓝色卡片分别放在两个袋中，然后从两个袋中各取一张卡片，求两张卡片数字之积为偶数的概率
（2）将五张卡片放在一个袋子中，从中任取两张，求两张卡片颜色不同的概率
【正确答案】（1） （2）
【分析】
古典概型的概率等于满足事件A的基本事件的个数与基本事件总数之比，解决此类题目，一般用列举法.
【详解】（1）将红色卡片和蓝色卡片分别放在两个袋中，然后从两个袋中各取一张卡片的所有可能情况有如下6种：红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2.
其中两张卡片数字之积为偶数有4种：红1蓝2，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝2.
故所求的概率为.
（2）将五张卡片放在一个袋子中，从中任取两张的所有情况有如下10种：红1红2，红1红3，红1蓝1，红1蓝2，红2红3，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2，蓝1蓝2.
其中两张卡片颜色不同的情况有6种：红1蓝1，红1蓝2，红2蓝1，红2蓝2，红3蓝1，红3蓝2.故所求的概率为.
本题主要考查古典概型的问题，属于基础题.
17. 2023年9月23日至10月8日，第19届亚运会在杭州成功举办，中国跳水运动小将全红婵备受大家关注.某调研机构为了了解杭州市民对亚运会跳水项目的认知程度，举办了一次“亚运会跳水项目”知识竞赛，随机抽取了1000名参赛者，发现他们的成绩都在40～100分之间，将他们的成绩分成40,50，50,60，60,70，，80,90，90,100六组，并制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值以及这1000人竞赛成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）用比例分配的分层随机抽样方法，从80,90，90,100中抽取6人，并从这6人中随机抽取2人进行采访，求接受采访的2人中有人成绩在90,100的概率.
【正确答案】（1），平均数为分
（2）
【分析】（1）根据频率之和为求得，根据平均数的求法求得平均数.
（2）根据分层抽样、古典概型等知识求得正确答案.
【小问1详解】
依题意，，解得，
平均数为.
【小问2详解】
的频率为，的频率为，
所以从中抽取人，记为，
在中抽取人，记为，
从中任选人，基本事件有：，
，共种，
其中接受采访的2人中有人成绩在的有，
共种，所以接受采访的2人中有人成绩在的概率为.
18. 如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为矩形，，，顶点P在底面ABCD的正投影为AD的中点O.
（1）求证：平面PAC⊥平面POB
（2）若平面PAB与平面PCD的交线为l，，求l与平面PAC所成角的大小.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
【分析】（1）证明，再由线面垂直的性质定理得，从而得线面垂直，然后可得面面垂直；
（2）由线面平行的判定定理与性质定理证明，因此求得直线与平面所成角即可，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求线面角．
【小问1详解】
证明：在Rt△ABC中，，在Rt△AOB中，，
则，于是，
所以
因为PO⊥平面ABCD，平面，则；
又，平面，所以AC⊥平面POB，
而AC平面PAC，所以PAC⊥平面POB
【小问2详解】
因为，AB平面PCD，CD平面PCD，
所以AB//平面PCD，.
又平面PAB平面，AB平面PCD，所以.
则l与平面PAC所成角的正弦值等于AB与平面PAC所成角的正弦值..
以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，，），B（2，0，0），C（2，2，0），
所以，，.
设平面PAC的一个法向量为，则，即，即，
令，得.
设l与平面PAC所成角为，则，.
又因为，所以l与平面PAC所成角为.
19. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
【正确答案】（1）证明见详解；
（2）
【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证；
（2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解.
【小问1详解】
因为为的中点，所以，
四边形为平行四边形，所以，又因为平面，
平面，所以平面；
【小问2详解】
如图所示，作交于，连接，
因为四边形为等腰梯形，，所以，
结合（1）为平行四边形，可得，又，
所以为等边三角形，为中点，所以，
又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，
四边形为平行四边形，，
所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，
因为，所以，所以互相垂直，
以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，设平面的法向量为m=x1,y1,z1，
平面的法向量为n=x2,y2,z2，
则，即，令，得，即m=3,3,1，
则，即，令，得，
即，，则，
故二面角的正弦值为.