2024-2025学年山东省菏泽市高二上册开学考试数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年山东省菏泽市高二上册开学考试数学检测试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知i是虚数单位，则复数，在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间的零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间内的零件应抽取（ ）
A. 30个B. 40个C. 60个D. 70个
3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件互斥
B.
C.
D. 事件与事件不相互独立
4. 已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：
①若，，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（ ）
A. B. C. D.
5. 若非零向量、满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6. 灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ）
A. 45米B. 50米C. 55米D. 60米
7. 已知圆锥的高为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A B. C. D. 3
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，在三棱锥中，能推出的条件是（ ）
A. ，B. ，
C 平面平面，D. 平面
10. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）
A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人
B. 图中的值为0.020
C. 估计全校学生成绩的中位数约为86.7
D. 估计全校学生成绩的80%分位数为95
11. 在中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形.
C. 等式恒成立.
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________.
13. 如图，在中，点在边上，，等边三角形，且面积为，则______．
14. 在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知中，，是边上一点，，，.
（1）求的长；
（2）求的面积.
16. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形.
（1）证明：平面PAE⊥平面PBF；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若，求四棱锥的体积.
17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求角C；
（2）求△ABC的外接圆的半径R，并求△ABC的周长的取值范围.
18. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.9，第一组和第五组的频率相同．
（1）求，的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）；
（3）若先用分层随机抽样方法从面试成绩在段的候选者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自同一分数段的概率．
19. 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
（3）求三棱锥的体积
2024-2025学年山东省菏泽市高二上学期开学考试数学检测试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.
1. 已知i是虚数单位，则复数，在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【正确答案】D
【分析】由复数的乘除法运算和的性质可得答案.
【详解】复数，在复平面内对应的点，
所以在复平面内对应的点位于第四象限.
故选：D.
2. 某车间从生产的一批零件中随机抽取了1000个进行一项质量指标的检测，整理检测结果得到此项质量指标的频率分布直方图如图所示.若用分层抽样的方法从质量指标在区间的零件中抽取170个进行再次检测，则质量指标在区间内的零件应抽取（ ）
A. 30个B. 40个C. 60个D. 70个
【正确答案】C
【分析】由分层抽样按比例计算．
【详解】设质量指标在区间内的零件应抽取个，则
，解得，
故选：C．
3. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（ ）
A. 事件与事件互斥
B.
C.
D. 事件与事件不相互独立
【正确答案】C
【分析】由互斥事件的定义判断A；应用列举法计算，判断BC；利用独立事件的定义判断D.
【详解】显然事件A与事件B可以同时发生，事件与事件不互斥，A错误；
抛掷一枚骰子两次的样本点数共36种：，
，，
，，
，
事件B的样本点为
，共18种，
事件C的样本点为，共12种，
事件的样本点为，共6种，
因此，B错误；，C正确；
而，于是，则事件B与事件C相互独立，D错误.
故选：C
4. 已知两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：
①若，，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假．
【详解】①若，，，如图，则与不一定垂直，故①为假命题；
②若，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故②为真命题；
③若，则，故③为真命题；
④若，如图，则与可能相交，故④为假命题．
故选B．
本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．
5. 若非零向量、满足，且，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】根据数量积的定义和运算法则即可计算.
【详解】，
，
∴，
.
故选：B.
6. 灵运塔，位于九江市都昌县东湖南山滨水区，踞南山之巅，南望鄱湖，当代新建仿古塔．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量灵运塔的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，灵运塔垂直于水平面，他们选择了与灵运塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米，在A，B两点观察塔顶C点，仰角分别为和，，则灵运塔的高度CD是（ ）
A. 45米B. 50米C. 55米D. 60米
【正确答案】B
【分析】设，进而可得，由余弦定理得：，可求．
【详解】设米，在中，，则，
在中，，则，
因为，所以由余弦定理得：，整理得：，解得(米).
故选：B
7. 已知圆锥的高为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】直接利用扇形弧长公式和面积公式计算即可.
【详解】由题意知，
设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，
则，底面圆周长为，
又扇形的弧长为，
所以，解得，得，
所以底面圆的面积为，扇形面积为，
所以圆锥的表面积为.
故选：A
8. 如图所示，在直三棱柱中，，，，P是上的一动点，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 3
【正确答案】B
【分析】连接，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，设点的新位置为，连接，判断出当三点共线时，则即为的最小值.分别求出,,利用余弦定理即可求解.
【详解】连接，得，以所在直线为轴，将所在平面旋转到平面，

设点的新位置为，连接，则有.
当三点共线时，则即为的最小值.
在三角形ABC中，，，由余弦定理得：,所以，即
在三角形中，，，由勾股定理可得：,且.
同理可求：
因为，所以为等边三角形，所以，
所以在三角形中，,,
由余弦定理得.
故选B.
（1）立体几何中的翻折（展开）问题截图的关键是：翻折（展开）过程中的不变量；
（2）立体几何中距离的最值一般处理方式：
①几何法：通过位置关系，找到取最值的位置（条件），直接求最值；
②代数法：建立适当的坐标系，利用代数法求最值.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，在三棱锥中，能推出的条件是（ ）
A. ，B. ，
C. 平面平面，D. 平面
【正确答案】BCD
【分析】利用线面垂直的判定与性质及面面垂直的性质，即可得出结论．
【详解】解：对于A， ，，不能证明，不能推出；
对于B，，，，则平面，，能推出；
对于C，平面平面，平面平面，，平面，，能推出；
对于D，平面，，能推出；
故选：BCD．
10. 某科技学校组织全体学生参加了主题为“创意之匠心，技能动天下”的文创大赛，随机抽取了400名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是（ ）
A. 在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有160人
B. 图中的值为0.020
C. 估计全校学生成绩的中位数约为86.7
D. 估计全校学生成绩的80%分位数为95
【正确答案】ACD
【分析】对于A，由频率分布直方图求出的频率，再乘以400可得结果，对于B，由各组的频率和为1可求得结果，对于C，先判断中位数所在的区间，再列方程求解，对于D，根据百分位数的定义求解.
【详解】由题意，成绩在区间内的学生人数为，故A正确；
由，得，故B错误；
由于前3组的频率和，前4组的频率和，所以中位数在第4组，设中位数为，则，得，故C正确；
低于90分的频率为，设样本数据的80%分位数为，
则，解得，故D正确.
故选：ACD.
11. 在中，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形.
C. 等式恒成立.
D. 若，则
【正确答案】ACD
【分析】由正弦定理可得即结合同角三角函数基本关系可判断A；由余弦定理可判断为锐角，而角和角无法确定即可判断B；由正弦定理以及两角和的正弦公式可判断C；求出角，，，由正弦定理可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：在中，若，则，由正弦定理可得，
所以，即，所以，可得，
故选项A正确；
对于B：由余弦定理可得只能判断角为锐角，而角和角无法确定是什么角，所以得不出为锐角三角形，故选项B不正确；
对于C：由正弦定理可得，右边等于左边显然成立，故选项C正确；
对于D：因为，，所以，，
由正弦定理可得，故选项D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围为___________.
【正确答案】且．
【分析】由数量积大于0，再除去共线的值即可参数范围．
【详解】由题意，，
又，时，两向量相等，夹角为0，
所以的范围是且．
故且．
13. 如图，在中，点在边上，，是等边三角形，且面积为，则______．
【正确答案】##
【分析】求出，，再利用余弦定理求解.
【详解】解：因为是等边三角形，且面积为，所以，解得，所以．因为，所以，
由题得，
在中，由余弦定理得，
即，解得．
故答案：
14. 在四棱柱中，底面，底面是正方形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_____．
【正确答案】
【分析】结合题意，建立坐标系，运用向量的数量积公式，计算夹角余弦值，即可．
【详解】
结合题意，绘制图形，建立坐标系，得到点的坐标分别为：
故
，所以
本道题考查了向量数量积公式，考查了异面直线所成角余弦值计算方法，难度中等．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知中，，是边上一点，，，.
（1）求的长；
（2）求的面积.
【正确答案】（1）；（2）.
【分析】（1）在中，由正弦定理求出的长；
（2）在中，求出，由余弦定理求出，再由三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）由已知，
则中，；
（2）中，，，，
由余弦定理得：，解得，
所以的面积为.
本题主要考查了正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式的应用，属于中档题.
16. 如图1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，，AE⊥CD，BF⊥CD.将△ADE与△BCF分别沿AE，BF折起，使得点D、C重合(记为点P)，形成图2，且△PEF是等腰直角三角形.
（1）证明：平面PAE⊥平面PBF；
（2）求二面角的正弦值；
（3）若，求四棱锥的体积.
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）；
（3）.
【分析】（1）应用线面垂直判定证面，再由面面垂直的判定证结论；
（2）连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点，根据二面角的定义找到其对应的平面角，根据题设求该角正弦值即可；
（3）根据已知求得PH，结合PH⊥平面ABFE，棱锥的体积公式求体积.
【小问1详解】
由题设，易知，又为等腰直角三角形，故，
由且都在面内，故面，面，
所以平面PAE⊥平面PBF；
【小问2详解】
如图，连接PG，PH，GH，且G，H分别为AB，EF的中点，
由（1）知，故PG⊥AB，又GH∥AE，AE⊥AB，
∴GH⊥AB，故∠PGH为二面角的平面角，
由（1）知，AE⊥平面PEF，又平面ABFE，故平面ABFE⊥平面PFE，
又平面ABFE∩平面PFE，PH⊥EF，平面PFE，所以PH⊥平面ABFE，
设，则，，，，
故二面角的正弦值为；
【小问3详解】
由（2）得PH⊥平面ABFE，又AB，所以，则，
故四棱锥的体积为1.
17. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.
（1）求角C；
（2）求△ABC的外接圆的半径R，并求△ABC的周长的取值范围.
【正确答案】（1）
（2），
【分析】（1）由正弦定理结合和角公式得出角C；
（2）由正弦定理得出，由正弦定理的边化角公式得出，结合三角函数的性质得出△ABC的周长的取值范围.
【小问1详解】
由题，因为
所以由正弦定理可得
即
在△ABC中，，且，B，
又，所以，则
【小问2详解】
由正弦定理得，所以
由（1）知，，
所以
因为，所以
则
即△ABC的周长的取值范围为
18. 第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并按照，，，，分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第二、三、四组的频率之和为0.9，第一组和第五组的频率相同．
（1）求，的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的中位数（精确到0.1）；
（3）若先用分层随机抽样的方法从面试成绩在段的候选者中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人来自同一分数段的概率．
【正确答案】（1），
（2）69.4 （3）
【分析】（1）由频率分布直方图列方程组即能求出的值；
（2）由于第一、二组的频率之和为0.3而第三组的频率为0.45，所以中位数在第三组，根据比例即可求解中位数；
（3）根据分层抽样，在段和段的候选者分别有1人和5人，列举出这6人中选出2人的总的基本事件数，和选出的两人来自同一分数段的基本事件数，利用古典概型的概率公式求解即可．
【小问1详解】
因为第二、三、四组的频率之和为0.9，
所以，解得．
再由第一组、第五组的频率之和为，
即，得．
【小问2详解】
根据频率分布直方图可知，第一、二组的频率之和为0.3，第三组的频率为0.45，
所以中位数在第三组，且为．
【小问3详解】
由（Ⅰ）可得面试成绩在段和段的候选者分别有5人和25人，若用分层随机抽样的方法从中抽取6人，则需在段中抽取1人，设为，在段中抽取5人，分别设为，，，，．
该试验的样本空间为，共有15个样本点．
设“从这6人中随机抽取2人，这2人来自同一分数段”为事件，则，有10个样本点，
故．
19. 已知直三棱柱满足，，点，分别为，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面
（3）求三棱锥的体积.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【分析】（1）连接，，只需证明即可，由中位线定理结合线面平行的判定定理即可得证.
（2）只需证明，即可，由等腰直角三角形性质，线面垂直的性质以及判定定理即可得证.
（3）利用转换法，只需求点到平面的距离和三角形的面积，由（2）的结论、点为的中点以及解直角三角形知识即可求解.
【小问1详解】
如图，
连接，，
四边形为矩形，为的中点，
与交于点，且为的中点，
又点为的中点，，
又平面，且平面，
平面.
【小问2详解】
直三棱柱满足，，
又点为的中点，且面，面，
所以，，
又面，
平面.
【小问3详解】
由图可知，
，，，
又三棱柱为直三棱柱，且，
.
，，点为的中点，
所以.
由（2）可知平面.
所以点到平面的距离为，
又点为的中点，
所以点到平面的距离为，