2024-2025学年山东省济宁市梁山县高二上册期中数学模拟检测试题（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省济宁市梁山县高二上册期中数学模拟检测试题（含答案），共14页。试卷主要包含了单选题.，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.
1. 设直线.若，则（ ）
A. 0或1B. 0或-1C. 1D. -1
2. 已知向量，，若，则（ ）
A. B. C. D. 7
3. 已知事件A，B满足，则 （ ）
A．若B⊆A，则B．若A与B互斥，则
C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立
4. 已知圆与圆为同心圆，且圆的半径为圆半径的2倍，则（ ）
A．B．
C．D．
5. 在三棱锥中，为的重心，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
6. 甲乙两人进行羽毛球比赛，在前三局比赛中，甲胜2局，乙胜1局，规定先胜3局者取得最终胜利，已知甲在每局比赛中获胜概率为，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则甲取得最终胜利的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 两个圆和的公切线有（ ）条
A. 1B. 2C. 3D. 4
8. 已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.）
9. 若，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 事件A与B不互斥
C. 事件A与B相互独立D. 事件与B不一定相互独立
10. 在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则下列选项正确的是（ ）
A．
B．直线与所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为
D．存在实数使得
11. 已知圆与直线，下列选项正确的是（ ）
A. 直线与圆不一定相交
B. 当时，圆上至少有两个不同的点到直线的距离为1
C. 当时，圆关于直线对称的圆的方程是
D. 当时，若直线与轴，轴分别交于，两点，为圆上任意一点，当最小时，
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）
12. 已知圆C：，圆M与圆C关于x轴对称，直线l：与圆M交于A，B两点，则 .
13. 已知A袋内有大小相同的1个红球和3个白球，B袋内有大小相同的1个红球和2个白球.现从A、B两个袋内各任取1个球，则恰好有1个红球的概率为___________.
14. 如图所示，在正方体中，、分别为，的中点，为上一动点，记为异面直线与所成的角，则的值为_________.

四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 一名学生骑自行车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是.求：
（1）这名学生只在第一个交通岗遇到红灯的概率；
（2）这名学生首次停车出现在第4个路口的概率；
（3）这名学生至少遇到1次红灯的概率.
16. 圆心在曲线（）上的圆与轴相切，且被直线截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）求过点且与该圆相切的直线方程．
17. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜1局．
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率；
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率．
18. 如图，已知四棱锥中，平面，四边形中，，，，，点在平面内的投影恰好是的重心.
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
19. 已知点，圆.直线与圆相交于A、B两点，.
(1)若直线过点，求直线的方程；
(2)①若线段AB的中点为，求点的轨迹方程；
②过点作直线与曲线交于两点M、N，设的斜率分别为，求证：为定值.
数学答案
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）.
1-4A A B A 5-8C D A C
1.因为，则，解得或.故选：A.
2.由，设，
则，解得：，，，所以，故选：A.
【详解】选项A：若B⊆A，则
选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确.
选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误.
选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误.
故选：B.
由题可知圆的圆心为，半径为2，
又圆与圆为同心圆，半径为4，
所以，解得.故选：A.
5. ∵，
∴．
∵，
∴．
∵四点共面，∴，即．
∵，当且仅当时，等号成立，
∴的最小值为1．故选：C
6. 【详解】甲取得最后的胜利包含两种情况:一是第4局甲胜，此时甲胜的概率为；
二是第4局甲负，第5局甲胜，此时甲胜的概率为，所以甲取得最终胜利的概率为.故选；D.
7. 圆可化为，圆的圆心为，半径，
圆可化为，圆的圆心为，半径，
，又，，，圆与内切，即公切线有1条.故选：A.
圆心到直线l的距离，
若点在圆C上，则，所以，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点在圆C内，则，所以，则直线l与圆C相离，故B正确；
若点在圆C外，则，所以，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点在直线l上，则即，
所以，直线l与圆C相切，故D正确.故选：C.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）.
9. 【正确答案】BC【详解】∵，∴，故A错误；
又，所以事件与不互斥，故B正确；
，则事件与相互独立，故C正确；
因为事件与相互独立，所以事件与一定相互独立，故D错误.故选：BC.
10. 【正确答案】BD【详解】由题可建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
对于A，，故与不垂直，故A错误；
对于B，，
所以直线与所成角的余弦值为，故B正确；
对于C，由上，所以，
所以即，又，
所以，
因为，又由正方体性质可知平面即平面，
所以，故C错误；
对于D，若存在实数使得，
则，
所以，所以，故D正确.故选：BD.
11. 【正确答案】AD 【详解】对于A，直线过定点，又因为，
所以点在圆外，所以直线与圆不一定相交，故A正确；
对于B，要使圆上有至少两个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离要小于，
所以有，解得，故B错误；
对于C，当时，直线，设圆关于直线对称的圆的方程是，
根据题意有，解得，，
所以对称圆的方程为，故C错误；
对于D，当时，直线，则点，，且圆心，半径，
当与圆相切时最小，此时，故D正确；
故选：AD.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
12. 【正确答案】【详解】因为圆C：，所以圆心，半径为，
圆M与圆C关于x轴对称，所以关于x轴对称的圆心，
所以圆M：，直线l：与圆M交于A，B两点，
圆心到直线的距离为：，
所以.故
13.【正确答案】
【详解】由题意可得：要从A、B两个袋内各任取1个球，恰好有1个红球有以下两种情况：
当从A袋内取1个白球，B袋内取1个红球时，则;
当从A袋内取1个红球，B袋内取1个白球时，则.
所以从A、B两个袋内各任取1个球，则恰好有1个红球的概率为.故答案为.
14. 【正确答案】1
【详解】如图，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体边长为1，则,,
所以,因为，
所以,即，所以.故1.

四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. 【正确答案】 ； ； .
【小问1详解】
由题该学生碰见绿灯的概率为，该学生第一次遇到红灯，后四次遇到绿灯.设“这名学生只在第一个交通岗遇到红灯”为事件，则.
【小问2详解】由题该学生前三次均遇到绿灯，第四次红灯，第五次对概率无影响.
设“这名学生首次停车出现在第4个路口”为事件.则.
【小问3详解】设“这名学生至少遇到1次红灯”为事件.其对立事件为该学生五次都遇到了绿灯.则.
16. 【正确答案】（1）（2）或
【详解】（1）设圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离，而，即，解得（舍去），故所求圆的方程为
（2）当切线的斜率不存在时，因为过点，其方程为，圆心到直线的距离为，满足题意．当切线斜率存在时，设切线为，即，
圆心，半径，
，
解得．当切线的斜率存在时，其方程为，即．
故切线方程为或．
17. 【正确答案】(1)0.52(2)0.648
【详解】（1）用表示事件“第局甲胜”，表示事件“第局乙胜”（），
设“再赛2局结束这次比赛”为事件，则，
由于各局比赛结果相互独立，且事件与事件互斥.
所以
．
故再赛2局结束这次比赛的概率为.
（2）记“甲获得这次比赛胜利”为事件，
因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，
从而，
由于各局比赛结果相互独立，且事件，，两两互斥，
所以.
故甲获得这次比赛胜利的概率为.
18. 【正确答案】（1）证明见解析； （2）
【小问1详解】
证明：，，又平面，，
，平面，平面平面；
【小问2详解】
解：取中点，连接，，设，
由已知为的重心，所以点在线段上，且，
，，，，
，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
，，，，，，
， ，，，
由已知得，即，解得，
，，，，
设平面的法向量，
则，即，令可得，，
故直线与平面所成角的正弦值为.
19. 【正确答案】(1)或
(2)①；②证明见详解
【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为O0,0，半径，
则圆心到直线的距离，
若直线的斜率不存在，即直线，满足题意；
若直线的斜率存在，设直线，即，
则，解得，
所以直线；
综上所述：直线的方程为或.
（2）①若线段AB的中点为，可得，即，
可知点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆，
所以点的轨迹方程；
②由（1）可知：直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，点Mx1,y1、Nx2,y2，
联立方程，消去y可得，
则，解得，
由韦达定理可得，，
则
.
所有为定值．