2024-2025学年四川省成都市高二上学10月月考数学检测试题（附解析）

这是一份2024-2025学年四川省成都市高二上学10月月考数学检测试题（附解析），共18页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 已知点A， 将一颗质地均匀的正方体骰子， 下列四个结论正确的是等内容，欢迎下载使用。
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上.写在本试卷上无效.
4.考试结束后，将答题卡交回.
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知直线过点，，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解.
【详解】由题可得：，所以直线的倾斜角为：；
故选：C
2. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，点N为BC中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】B
【分析】利用空间向量的加法及减法运算法则进行线性运算，逐步表示即可得到结果.
【详解】∵点为中点，
∴，
∴.
故选：B.
3. 下列是古典概型的是（ ）
A. 任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点
B. 求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点
C. 在甲、乙、丙、丁4名志愿者中，任选一名志愿者去参加跳高项目，求甲被选中的概率
D. 抛掷一枚质地均匀硬币至首次出现正面为止，抛掷的次数作为样本点
【正确答案】C
【分析】根据古典概型的定义，逐项分析判断即可得解.
【详解】A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是古典概型；
B项中的样本点的个数是无限的，故B不是古典概型；
C项中满足古典概型的有限性和等可能性，故C是古典概型；
D项中样本点既不是有限个也不具有等可能性，故D不是．
故选：C
4. 经过点的直线在轴上的截距是（ ）
A. B. C. 10D. 2
【正确答案】A
【分析】先求得直线的方程，从而求得纵截距.
【详解】直线的斜率为，
所以直线的方程为，
纵截距为.
故选：A
5. 已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】求得平面ABC的一个法向量，由求解.
【详解】因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），
所以，
设平面ABC的一个法向量为，
则，即，
令，得，则，
所以，
故选：C
6. 已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】求出直线、的斜率后可求直线的斜率的范围.
【详解】
，而，
故直线的取值范围为，
故选：A.
7. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，记向量，的夹角为，则为钝角的概率是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】先根据已知求出满足条件的满足的关系式，然后分别令，求得满足条件的.然后即可根据古典概型概率公式，得出答案.
【详解】由可得，，
所以.
因为为钝角，所以，且不共线，
所以，即，且.
当时，有且，所以可取1，3，4，5，6；
当时，有，可取3，4，5，6；
当时，有，可取5，6；
当，，时，，此时无解.
综上所述，满足条件的有11种可能.
又先后抛掷两次，得到的样本点数共36种，
所以为钝角的概率
故选：D.
8. 如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点，H为PC上的点，且，点G在AH上，且.若G，B，P，D四点共面，则m为（ ）

A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】以为基底，表示向量，由可求值.
【详解】因.
由G，B，P，D四点共面，所以.
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列四个结论正确的是（ ）
A. 任意向量，，若，则或或
B. 若空间中点O，A，B，C满足，则A，B，C三点共线
C. 空间中任意向量都满足
D. 若，，则
【正确答案】AB
【分析】根据向量数量积的概念判断AC的真假；根据三点共线的有关结论判断B的真假；举特例说明D错误.
【详解】对A：因为，若，则或或，
即或或，故A正确；
对B：因为，时，三点共线，故B正确；
对C：因为两个向量的数量积是实数，故是与共线的向量，
是与共线的向量，所以未必成立，故C错误；
对D：当时，对任意向量，，都成立，但未必成立，故D错误.
故选：AB
10. 已知某篮球运动员共投篮两次，记事件“第一次投篮投中”，事件“第二次投篮投中”，事件“两次投篮均投中”，则下列说法正确的是（ ）
A. ，互为互斥事件B. 与互为互斥事件
C. D. 与互为对立事件
【正确答案】BD
【分析】由互斥事件和对立事件的性质集合题意逐项分析即可；
【详解】对于A，，两个事件可以同时发生，故A错误；
对于B，与不可能同时发生，故B正确；
对于C，为，的交事件，故C错误；
对于D，对应事件是第一次投篮未投中或第二次投篮未投中，故与互为对立事件，D正确.
故选：BD.
11. 已知正方体棱长为2，点在线段上运动，则（ ）
A. 直线与所成角的取值范围是
B. 三棱锥的体积为定值
C.
D. 的最小值为
【正确答案】ACD
【分析】由转化异面直线所成的角，在等边中分析可知选项A正确；利用等体积法进行转化可得选项B错误；由数量积的定义可判断选项C正确；把和沿展开，即可计算的最小值，得到选项D正确.
【详解】A.如图，连接，
由题意得，，，
直线AP与所成的角等于直线AP与所成的角，
在等边中，当点与两点重合时，直线AP与所成的角为，
当点与中点重合时，，此时直线AP与所成的角为，
故直线AP与所成角的取值范围是，选项A正确.
B. 如图所示，
∵，平面，平面，
∴平面，
∴直线上任意一点到平面的距离均相等，
∴点到平面的距离等于点到平面的距离，
∴，选项B错误.
C.
设，则，
当时，有最小值，当或0时，有最大值0，
∴，即，
∴，
∵，
∴，选项C正确.
D.把和沿展开，如图所示
当三点共线时，有最小值，最小值为，
由题意得，，，
∴，选项D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为_______.
【正确答案】
【分析】根据点到直线的空间向量坐标公式求解即可
【详解】根据题意，得，，
，
；
又
点到直线l的距离为．
故
13. 在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：
90 89 90 95 93 94 93
去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为________．
【正确答案】2.8##
【分析】根据方差的概念计算
【详解】去掉一个最高分95和一个最低分89后，
所剩数据90，90，93，94，93的平均数为 （90+90+93+94+93）=92；
方差为[（90-92）2+（90-92）2+（93-92）2+（94-92）2+（93-92）2]=2.8
故2.8
14. 中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广，刍，草也，甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍是茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，其中四边形为矩形，，若，和都是正三角形，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______.
【正确答案】
【分析】取中点，连接，，易证平面，再由等边三角形可知四边形为等腰梯形，高为，建立空间直角坐标系，利用向量法可得异面直线夹角余弦值.
【详解】
如图所示，设，
取中点，连接，，则，
又，
，
四边形为矩形，
，
又为正三角形，为的中点，
，
，且，平面，
平面，
易知，则，
四边形为等腰梯形，高为，
在平面内，过点作的垂线，
以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
即，，
，
即异面直线与的夹角余弦值为，
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在长方体中，，，分别的中点．

（1）求证：平面；
（2）判断与平面是否垂直，并说明理由．
【正确答案】（1）证明见解析；
（2）不垂直，理由见解析.
【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理即得.
（2）由（1）中空间直角坐标系，利用空间向量数量积计算判断即得.
【小问1详解】
在长方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，

由，，分别的中点，得，
，显然平面的一个法向量，
则，于是，有平面，而平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）知，，则有，而，
于是向量与向量不垂直，即直线与不垂直，而平面，
所以与平面不垂直.
16. 已知直线，直线.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的值.
【正确答案】（1）
（2）或.
【分析】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合；
（2）根据两条直线垂直公式计算即可求参.
【小问1详解】
因为，所以，
整理得
解得或.
当时，重合；
当时，，符合题意.
故.
【小问2详解】
因为，所以
解得或.
17. 新冠肺炎疫情在我国爆发以来，我国举国上下众志成城、团结一致抗击新冠肺炎疫情，经过几个月的努力，我国的疫情已经得到有效控制．为了解大众对新冠肺炎相关知识的掌握情况，某网站举行“新冠肺炎”防控知识竞赛网上答题，共有人通过该网站参加了这次竞赛，为了解竞赛成绩情况，从中随机抽取了名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图；
（1）试估计这名学生成绩的第百分位数；
（2）若采用分层抽样的方法从成绩在，80,90，90,100的学生中共抽取人参加志愿者活动．现从这人中随机抽取人分享活动经验，求抽取的人成绩都在的概率．
【正确答案】（1）
（2）15
【分析】（1）根据百分位数的求法求得正确答案.
（2）根据分层抽样、列举法以及古典概型概率计算公式求得正确答案.
【小问1详解】
由频率分布直方图可得
成绩小于的频率为，
成绩在80,90的频率为，因为，
所以这名学生成绩的第百分位数在80,90内，
所以随机抽取的名学生成绩的第百分位数为
【小问2详解】
因为成绩在，80,90，90,100的学生人数所占比例为,
所以从成绩在，80,90，90,100所抽取人数分别应抽取人，人，人．
记抽取成绩在的人为，成绩在为，，．
从这人中随机抽取人的所有可能为：
，
，共种，
抽取的人成绩都在的是，共种，
抽取的人成绩都在的概率为·
18. 如图，小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏她们用四种字母做成10个棋子，其中A棋1个，B棋2个，C棋3个，D棋4个，
“字母棋”的游戏规则为：
①游戏时两人各摸一个棋子进行比赛称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回；
②A棋胜B棋，C棋；B棋胜C棋，D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋；
③相同棋子不分胜负，
（1）若小玲先摸，问小玲摸到C棋的概率是多少？
（2）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲胜小军的概率是多少？
（3）已知小玲先摸一个棋，小军在剩余的9个棋中随机摸一个，问这一轮中小玲希望摸到哪种棋胜小军的概率最大？
【正确答案】（1）
（2）
（3）小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大
【分析】（1）（2）利用古典概型的概率公式即可得解；
（3）分别分析小玲摸到不同棋子胜小军的概率，从而得解.
【小问1详解】
依题意，一共有10个棋子，其中C棋3个，
所以小玲摸到棋的概率等于；
【小问2详解】
因为C棋胜D棋，D棋4个，
所以小玲在这一轮中胜小军的概率是；
【小问3详解】
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
若小玲摸到棋，小玲胜小军的概率是；
由此可见，小玲希望摸到棋，小玲胜小军的概率最大.
19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出求线段的长；若不存在，说明理由.
【正确答案】（1）
（2）
（3）存在，或
【分析】（1）由题意可得，进而计算可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角的余弦值；
（3）假设棱棱上是否存在一点，直线与平面所成角的正弦值为，设且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可.
【小问1详解】
因为是的中点，所以，
又因为底面为矩形，所以，所以，
又因为底面，，
所以，所以；
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，
，则，
设平面的法向量，
则，令，则，
所以平面的法向量，
平面的一个法向量为，
设平面和平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【小问3详解】
，
，设，
，
由（2）知平面的法向量，
设直线与平面的夹角为，
则，
整理得，所以，解得或，
当时，，当时，，
则的长为或