2024-2025学年四川省泸州市高二上册10月月考数学检测试题(含解析)
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这是一份2024-2025学年四川省泸州市高二上册10月月考数学检测试题(含解析),共27页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1. 若复数的实部与虚部相等,则实数m的值为( )
A B. C. 1D. 3
2. 已知向量,,若,则实数的值为( )
A. 1B. 3C. D.
3. 某保险公司为客户定制了A,B,C,D,E共5个险种,并对5个险种参保客户进行抽样调查,得出如下的统计图:
用该样本估计总体,以下四个说法错误的是( ).
A. 57周岁以上参保人数最少
B. 18~30周岁人群参保总费用最少
C C险种更受参保人青睐
D. 31周岁以上的人群约占参保人群80%
4. 在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
5. 某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的极差和方差分别是( )
A. 0.2,0.127B. 0.3,0.016C. 0.4,0.080D. 0.3,0.216
6. “a=b=1”是“直线ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 在正方体中,交于点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A B. C. D.
8. 在中,有,则的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的按比例得分
9. 某次校十佳歌手评比中,10位评委给出的分数分别为,计算得平均数,方差,现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后,对新数据下列说法正确的是( )
A 极差变大B. 中位数不变
C. 平均数变小D. 方差变大
10. 已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为,复数满足,则下列结论正确的是( )
A. 点在复平面上的坐标为B.
C. 的最大值为D. 的最小值为
11. 如图,正方形的棱长为3,动点在内,满足,则下列说法正确的是( )
A.
B. 与平面所成的角的正弦值为
C. 始终为钝角三角形
D. 点的轨迹长度为
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知向量,,在上的投影向量的模为10,则____________.
13. 已知直线l过两条直线与的交点,且点到直线l的距离为1,则直线l的方程为__________.
14. 在三棱锥P-ABC中,,点M,N分别是PB,BC的中点,且,则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是___________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 据调查,某市政府为了鼓励居民节约用水,减少水资源的浪费,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民用水量标准(单位:吨),月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况,通过抽样,获得了户居民某年的月均用水量(单位:吨),其中月均用水量在内的居民人数为39人,并将数据制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求和的值;
(2)若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨,试估计的值;
(3)在(2)的条件下,若实施阶梯水价,月用水量不超过吨时,按3元吨计算,超出吨的部分,按5元吨计算.现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元,则该市居民月用水量最多为多少吨?
16. 在中;内角所对的边分别为.已知.
(1)求角.
(2)从以下三个条件中任选一个,求的面积.
①边上的中线;②;③角的平分线,点在线段上.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
17. 如图,在四棱锥中,平面,底部为菱形,为的中点.
(1)若,求证:平面;
(2)棱上是否存在点,使得平面?说明理由.
18. 如图,已知四棱锥中,,,,且,
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若平面与平面垂直,,求四棱锥的体积.
19. 设直线.点和点分别在直线和上运动,点为的中点,点为坐标原点,且.
(1)已知直线 :经过定点P,直线经过点P,且,求直线的方程.
(2)求点轨迹方程;
(3)当直线的斜率存在时,设点关于直线的对称点为,证明:直线过定点
2024-2025学年四川省泸州市高二上学期10月月考数学检测试题
一、单选题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数的实部与虚部相等,则实数m的值为( )
A. B. C. 1D. 3
【正确答案】D
【分析】根据复数的除法运算,求得的实部和虚部,解方程即可求得答案.
【详解】由题意可得,
故,解得 ,
故选:D
2. 已知向量,,若,则实数的值为( )
A. 1B. 3C. D.
【正确答案】B
【分析】利用向量共线的坐标运算即可求解.
【详解】因为,,,
所以,则.
故选:B
3. 某保险公司为客户定制了A,B,C,D,E共5个险种,并对5个险种参保客户进行抽样调查,得出如下的统计图:
用该样本估计总体,以下四个说法错误的是( ).
A. 57周岁以上参保人数最少
B. 18~30周岁人群参保总费用最少
C. C险种更受参保人青睐
D. 31周岁以上的人群约占参保人群80%
【正确答案】B
【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析,从而确定正确答案.
【详解】A选项,57周岁以上参保人数所占比例是,是最少的,A选项正确.
B选项,“18~30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多,
而18~30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍,
所以57周岁以上参保人群参保总费用最少,B选项错误.
C选项,C险种参保比例,是最多的,所以C选项正确.
D选项,31周岁以上人群约占参保人群,D选项正确.
故选:B
4. 在轴与轴上截距分别为的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由题意得出直线经过的点,利用直线斜率公式求得直线斜率,继而得到直线的倾斜角.
【详解】依题意,直线经过点,
则直线的斜率为,
故直线的倾斜角为.
故选:D.
5. 某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4,9.4,9.4,9.6,9.7,则该射手成绩的极差和方差分别是( )
A. 0.2,0.127B. 0.3,0.016C. 0.4,0.080D. 0.3,0.216
【正确答案】B
【分析】根据极差的定义求解极差,根据方差公式计算求解方差.
【详解】由题意得,该射手在一次训练中五次射击的成绩的极差为,平均值为,
所以该射手成绩的方差,
故选:B.
6. “a=b=1”是“直线ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行”的
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【正确答案】A
【分析】a=b=1时,两条直线平行成立,但由ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行,可得ab=1,不一定是a=b=1.
【详解】a=b=1时,两条直线ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行,
反之由ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行,可得:ab=1,显然不一定是a=b=1,
所以,必要性不成立,
∴“a=b=1”是“直线ax-y+1=0与直线x-by-1=0平行”的充分不必要条件.
故选A.
本题考查了直线平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
7. 在正方体中,交于点,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】连接,异面直线与所成的角为,通过解三角形即可得结果.
【详解】连接,因为,所以异面直线与所成的角为,
(由正方体的几何性质易知为锐角,故即所求角)
设,则,则,
故,故,
所以异面直线与所成角的余弦值为,
故选:C.
8. 在中,有,则的最大值是( )
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边,,的关系,利用基本不等式求出的最小值,显然为锐角,要使取最大值,则取最小值,从而得出的最大值,即可求出的最大值.
【详解】因为,
所以,
又,,
所以
又,,,
所以,
即,
,
当且仅当即时取等号,
显然为锐角,要使取最大值,则取最小值,此时,
所以,即的最大值是.
故选:D.
二、多选题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的按比例得分
9. 某次校十佳歌手评比中,10位评委给出的分数分别为,计算得平均数,方差,现去掉一个最高分10分和一个最低分5分后,对新数据下列说法正确的是( )
A. 极差变大B. 中位数不变
C. 平均数变小D. 方差变大
【正确答案】BC
【分析】根据平均数、中位数、方差、极差定义理解及求法判断各项的正误.
【详解】由于10个数据已经确定,
故不妨设,由题意不妨取,
A项, 原极差为,
去掉最高与最低分后,极差为,
所以去掉最高和最低分,极差有可能减小,极差变大是不可能的,故A项错误;
B项,中位数的定义知:数据从小到大排列,中间两个数的平均值是中位数,去掉最高和最低不影响中间两个数,B项正确;
C项,由题意原平均数,
则,则去掉最高与最低分后,
平均数变为,平均数变小,故C正确;
D项, 去掉最高和最低分后,数据移除这两个极端值后,数据的波动性减小,
故方差会变小,故D项错误.
故选:BC.
10. 已知复数(i为虚数单位)在复平面内对应的点为,复数满足,则下列结论正确的是( )
A. 点在复平面上的坐标为B.
C. 的最大值为D. 的最小值为
【正确答案】ABC
【分析】A:根据复数的表达式直接写出点的坐标进行判断即可;
B:根据复数的共轭复数的定义进行判断即可;
C,D:根据复数模的几何意义,结合圆的性质进行判断即可.
【详解】复数在复平面内对应的点为,故A正确;
复数,所以复数,故B正确;
设,则,即,所以,复数在复平面内对应点在圆上,其圆心为,半径,
表示的是复数和在复平面内对应的两点之间的距离,即.
而的最大值是;的最小值是.所以的最大值为,最小值为,故C正确,D错误.
故选:ABC.
11. 如图,正方形的棱长为3,动点在内,满足,则下列说法正确的是( )
A.
B. 与平面所成的角的正弦值为
C. 始终为钝角三角形
D. 点的轨迹长度为
【正确答案】BCD
【分析】根据正方体中,证明线线垂直;利用线面角定义,先找到角,再计算夹角的正弦值;在三角形中,利用余弦定理求角判断三角形形状;根据题意先找到点的轨迹形状是圆的一半,计算长度得答案;
【详解】对于A,正方形中,平面,
因为平面,所以,
动点在内,当不可能与点重合时,不成立,A错误;
对于B,正方形中,
是平面内两条相交直线,平面,
,设点交平面于点,
所以点到平面的高为,
则为与平面所成的角,且,
所以与平面所成的角的正弦值为,B正确;
对于C,由选项B可知,
进而在直角三角形中,,
在中,由余弦定理可得
,
所以为钝角,C正确;
对于D.根据选项B可知,点的轨迹为以为圆心,为半径的圆的一部分,
又因为是等边三角形,且,
可知点的轨迹为以为圆心,为半径的圆的一半,
则点的轨迹为长度为,D正确;
故选:BCD.
方法点睛:立体几何中的动点轨迹问题一般有四种,即线段型,平面型,二次曲线型,球型
空间中轨迹问题的解答思路:
(1)根据已知条件确定和待求点相关的平行、垂直关系;
(2)用动点的坐标表示相关点的坐标,然后代入点的坐标所满足的曲线方程,整理化简可得出动点的轨迹方程;
(3)根据轨迹形状即可求解出轨迹长度其他量;
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12. 已知向量,,在上的投影向量的模为10,则____________.
【正确答案】3
【分析】利用公式可求在在上的投影向量的模,计算即可得出结果.
【详解】在上的投影向量的模为.
解得:
故3
13. 已知直线l过两条直线与的交点,且点到直线l的距离为1,则直线l的方程为__________.
【正确答案】或
【分析】首先求两条直线的交点,再设出直线方程后,利用点到直线的距离公式,即可求解.
【详解】联立,解得:,,
所以直线过点,
当直线的斜率存在时,设直线方程为,即,
点到直线l的距离,解得:,
此时直线方程为,
当直线的斜率不存在时,方程为,点到直线l的距离为,满足条件,
综上可知,直线l的方程为或.
故或.
14. 在三棱锥P-ABC中,,点M,N分别是PB,BC的中点,且,则平面AMN截三棱锥P-ABC的外接球所得截面的面积是___________.
【正确答案】
【分析】证明出的中点即为外接球的球心,从而得到外接球半径,再设O到平面AMN的距离为h,平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r,由等体积法求出,进而得到r,得到截面面积.
【详解】因为,M是PB的中点,所以,
又平面PBC,
所以AM⊥平面PBC,又BC平面PBC,
所以,
又平面PAB,
所以BC⊥平面PAB,又PB,AB平面PAB,
所以
在△ABC中,,
所以,
在△PAC中,,所以,所以,
取PC的中点O,又PA,
所以,即点O是三棱锥P-ABC的外接球的球心,
因为,故外接球半径为,
设O到平面AMN距离为h,平面AMN截球O所得的截面圆的半径为r,
因为MN是△PBC的中位线,所以O到平面AMN的距离等于B到平面AMN的距离,
故,即,得,
所以,
所以截面圆的面积为.
故答案为.
解决与球有关的内切或外接的问题时,解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径;对于球的内接几何体的问题,注意球心到各个顶点的距离相等,解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形,利用勾股定理求得球的半径 .
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15. 据调查,某市政府为了鼓励居民节约用水,减少水资源的浪费,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个合理的居民用水量标准(单位:吨),月用水量不超过的部分按平价收费,超出的部分按议价收费.为了了解全市居民用水量分布情况,通过抽样,获得了户居民某年的月均用水量(单位:吨),其中月均用水量在内的居民人数为39人,并将数据制成了如图所示的频率分布直方图.
(1)求和的值;
(2)若该市政府希望使的居民月用水量不超过标准吨,试估计的值;
(3)在(2)的条件下,若实施阶梯水价,月用水量不超过吨时,按3元吨计算,超出吨的部分,按5元吨计算.现市政府考核指标要求所有居民的月用水费均不超过70元,则该市居民月用水量最多为多少吨?
【正确答案】(1),
(2)16.6吨 (3)20.64吨
【分析】(1)频率分布直方图总面积为1,由此即可求解.
(2)先判断所求值所在的区间,再按比例即可求解.
(3)按题意列不等式即可求解.
【小问1详解】
,
用水量在的频率为,(户)
【小问2详解】
,
,
(吨)
【小问3详解】
设该市居民月用水量最多为吨,因为,所以,
则,解得,
答:该市居民月用水量最多为20.64吨.
16. 在中;内角所对的边分别为.已知.
(1)求角.
(2)从以下三个条件中任选一个,求的面积.
①边上的中线;②;③角的平分线,点在线段上.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
【正确答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】(1)先利用正弦定理化简得,可化简得到,再结合余弦定理即可求解;
(2)若选①:由题意可得,化简后可求得,再结合正弦定理的面积公式即可求解;若选②:先利用正弦定理化简求得,再结合余弦定理可求得,再结合正弦定理的面积公式即可求解;若选③:由余弦定理求得且,从而可求得为等腰三角形,从而可求解.
【小问1详解】
由题意,由正弦定理可得,即,
则,
由余弦定理得,所以,
所以,所以,
又因为,所以.
【小问2详解】
若选①:由边边上的中线,如图,
所以,即,
即,又因为,所以,
由(1)知,所以,
所以.
若选②:当,由,所以,
由正弦定理:,即,解得,
由(1)可得,即,解得:或(舍),
所以.
若选③:角的平分线,则,又因为,
在中由余弦定理可得,
所以,此时,所以,所以,
所以可得为等腰三角形,所以,
所以.
17. 如图,在四棱锥中,平面,底部为菱形,为的中点.
(1)若,求证:平面;
(2)棱上是否存在点,使得平面?说明理由.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)答案见解析
【分析】(1)结合题意,利用线面垂直的性质定理及判定定理即可证明;
(2)取的中点为,的中点为,连接,结合题意利用面面平行的判定定理及性质定理即可求解.
【小问1详解】
证明:平面,平面,
,
底面为菱形,为的中点,,
,
又,平面,
平面.
【小问2详解】
棱上存在点,使得平面,
理由如下:
取的中点为,的中点为,连接,
底面为菱形,为的中点,分别为的中点,
,
,平面,平面,
平面,
同理,平面,平面,
平面,
又,平面,
平面平面,
平面,
棱上存在中点,使得平面.
18. 如图,已知四棱锥中,,,,且,
(1)求证:;
(2)求直线与平面所成角的正弦值;
(3)若平面与平面垂直,,求四棱锥体积.
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】(1)取中点,连接,证,,利用线面垂直的判定定理得平面,
再利用线面垂直的性质即可证得;
(2)由(1)知平面,利用面面垂直的判断定理可得平面平面,
则即为直线与平面所成角,再利用题中条件求的长度,最后利用余弦定理进行求解即可;
(3)由(2)知平面平面,又平面平面,则平面与平面重合,即四点共线,
再利用题中条件求出四边形的面积和四棱锥的高,最后用锥体的体积公式即可求解.
【小问1详解】
取中点,连接,
由,则,
因此可得,
又为中点,则在等腰和等腰中,可得,,
又,平面,
平面,
又平面,
.
【小问2详解】
过作垂直的延长线于一点,
由(1)知平面,平面,
则平面平面,
又平面平面,平面,,
平面,故即为直线与平面所成角,
又在等腰直角中,,则,,
又在中,,
则,
在中,,
则在中,,
因此可得,
即直线与平面所成角的正弦值为.
【小问3详解】
由(2)知平面平面,又平面平面,
则平面与平面重合,即四点共线,
在中,,
,
在中,,
又,
又四边形的面积
,
又(2)知平面,故为四棱锥的高,
所以四棱锥的体积.
关键点点睛:本题的关键是证明平面,再利用面面垂直的判定定理证平面平面,
最后根据平面与平面垂直,确定四点共线,考查了线面垂直,
面面垂直的判定与性质,及线面角的定义,是一道综合性较强的题.
19. 设直线.点和点分别在直线和上运动,点为的中点,点为坐标原点,且.
(1)已知直线 :经过定点P,直线经过点P,且,求直线的方程.
(2)求点的轨迹方程;
(3)当直线的斜率存在时,设点关于直线的对称点为,证明:直线过定点.
【正确答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】(1)先将直线方程变形求出定点的坐标,再根据两直线垂直斜率之积为求出直线的斜率,进而得到直线的方程.
(2)设,,,利用中点坐标公式,以及已知条件来求点的轨迹方程.
(3)先求出直线的方程,再根据对称点的性质求出点的坐标,最后求出直线的方程并证明其过定点.
【小问1详解】
对于直线,将其变形为.
令,解方程组: 将其代入,得到.
那么,所以定点.
已知直线,其斜率,
因为,两直线垂直斜率之积为,所以直线的斜率.
由点斜式可得直线的方程为,整理得.
【小问2详解】
设,则,
所以从而
因为,所以,即.
则,化简得.
所以点的轨迹方程为.
【小问3详解】
设,则,
当直线的斜率存在,易得
且,
则直线的方程为,
注意到,化简得.
点与关于直线AB对称,
设,则由,
解得,
又,所以
,
从而,
令,得,因此直线过定点.
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