2024-2025学年四川省泸州市高二上册期中数学检测试题（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省泸州市高二上册期中数学检测试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 圆：与圆：有且仅有一条公切线，则（ ）
A. 16B. 25C. 36D. 16或36
2. 若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ）
A. (1，＋∞)B. (－1，1)
C. (－∞，－1)∪(1，＋∞)D. (－∞，－1)
3. 若方程表示一条直线，则实数满足（ ）
A. B.
C. ，，D.
4. 平面直角坐标系中，直线与圆（ ）
A. 相切B. 相交C. 相离D. 相交或相切
5. 直线l：经过定点A，则A的纵坐标为（ ）
A. B. C. 1D. 2
6. 如图，正方形与正方形互相垂直，G是的中点，则（ ）
A 与异面但不互相垂直B. 与异面且互相垂直
C. 与相交但不互相垂直D. 与相交且互相垂直
7. 已知圆平分圆的周长，则的值是（ ）
A B. C. D.
8. 如图，棱长为2的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共3小题15分）
9. 已知直线，的方向向量分别为，，若向量，，且，则实数的值为（ ）
A B. C. D.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若直线与直线互相垂直，则
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
11. 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（ ）
A B. C. D.
三、填空题（每小题5分，共3小题15分）
12. 若不同的四点A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，D(a，3)共圆，则a的值为________．
13. 已知点关于直线对称，则直线的方程为__________.
14. 棱长为的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离为__________．
四、解答题（每小题12分，共5小题60分）
15. 已知圆心为的圆经过这三个点．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的方程．
16. （1）已知，，在轴上求一点使；
（2）已知，，在平面上求一点使为等边三角形.
17. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，，E为棱BC上的点，且
（1）求证：DE⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设Q为棱CP上的点（不与C、P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值.
18. 求证：设和是不同的两点，若（且），则点的坐标为.
19. 已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中轨迹为，线段，点为上一点，点，求的中点的轨迹方程.
2024-2025学年四川省泸州市高二上学期期中数学检测试题
一、选择题（每小题5分，共8小题40分）
1. 圆：与圆：有且仅有一条公切线，则（ ）
A. 16B. 25C. 36D. 16或36
【正确答案】C
【详解】解：由圆：，得，
则圆的圆心，半径，
由圆：，
得圆的圆心，半径且，
因为两圆有且仅有一条公切线，
所以两圆内切，
则，
即，解得.
故选：C.
2. 若直线l1：y＝kx＋1与l2：x－y－1＝0的交点在第一象限内，则k的取值范围是（ ）
A. (1，＋∞)B. (－1，1)
C. (－∞，－1)∪(1，＋∞)D. (－∞，－1)
【正确答案】B
【分析】联立直线方程求出焦点坐标，根据交点在第一象限列出不等式可求出.
【详解】联立直线方程，解得，
∵直线的交点在第一象限，，∴解不等式组可得.
故选：B．
3. 若方程表示一条直线，则实数满足（ ）
A. B.
C. ，，D.
【正确答案】D
【分析】由题意与不同时为零，由此即可得解.
【详解】当时，或，当时，或，
若方程表示一条直线，
则与不同时为零，所以.
故选：D.
4. 平面直角坐标系中，直线与圆（ ）
A. 相切B. 相交C. 相离D. 相交或相切
【正确答案】D
【分析】
利用点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离，再与圆的半径进行比较，即可得到答案.
【详解】圆心到直线的距离，
当时，可取到等号，
所以直线与圆相交或相切.
故选：D.
本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查数形结合思想和运算求解能力，判断不等式的大小关系时，注意考虑等号能否取到.
5. 直线l：经过定点A，则A的纵坐标为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【正确答案】A
【分析】转化直线方程为，令，即得解
【详解】由，得，
令，得.
故选：A
6. 如图，正方形与正方形互相垂直，G是的中点，则（ ）
A. 与异面但不互相垂直B. 与异面且互相垂直
C. 与相交但不互相垂直D. 与相交且互相垂直
【正确答案】A
【分析】根据异面直线的定义可判断与异面，由题意建立空间直角坐标系，利用向量法可判断与不互相垂直.
【详解】解：因为，，所以，
所以与确定一个平面，
所以，
因为，所以与异面，
因为正方形与正方形互相垂直，平面平面，
平面且，所以平面，又，
所以建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的边长为1，则，E0,0,1，，，
所以，
因为，
所以与不垂直，即与不互相垂直，
故选：A.
7. 已知圆平分圆的周长，则的值是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出两圆的公共弦的直线过的圆心，求出两圆的公共弦所在的直线方程，求出.
【详解】圆平分的周长，
所以两圆的公共弦的直线过的圆心，
两圆方程相减可得两圆的公共弦所在的直线方程为，
将代入可得，
解得.
故选：B.
8. 如图，棱长为2的正四面体的三个顶点分别在空间直角坐标系的坐标轴上，则定点的坐标为
A. B. C. D.
【正确答案】A
【详解】棱长为2的正四面体可以放到正方体中，已知D点、O点的连线是正方体的体对角线，故D点坐标为，选A.
二、多选题（每小题5分，共3小题15分）
9. 已知直线，的方向向量分别为，，若向量，，且，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】AC
【分析】由题意得，根据内积的坐标公式列方程即可求解.
【详解】由，可得，
∴，
化简得，解得x=2或.
故选：AC.
10. 下列说法错误的是（ ）
A. 若直线与直线互相垂直，则
B. 直线的倾斜角的取值范围是
C. 过，两点的所有直线的方程为
D. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为
【正确答案】ACD
【分析】
．根据直线垂直的等价条件进行判断，
．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断，
．当直线和坐标轴平行时，不满足条件．
．过原点的直线也满足条件．
【详解】解：．当，两直线方程分别和，此时也满足直线垂直，故错误，
．直线的斜率，则，即，则，故正确，
．当，或，时直线方程为，或，此时直线方程不成立，故错误，
．若直线过原点，则直线方程为，此时也满足条件，故错误，
故选：．
11. 直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是（ ）
A B. C. D.
【正确答案】ACD
【分析】分别计算出直线过点、时的斜率，结合斜率定义即可得直线的斜率的取值范围，即可得解.
【详解】当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ，
当直线过点时，设直线的倾斜角为，则 ，
故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，
则直线的斜率的取值范围为或.
故选：ACD.
三、填空题（每小题5分，共3小题15分）
12. 若不同的四点A(5，0)，B(－1，0)，C(－3，3)，D(a，3)共圆，则a的值为________．
【正确答案】7
【分析】
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分别代入A，B，C三点坐标，由求解.
【详解】设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，分别代入A，B，C三点坐标，
得，
解得，
所以A，B，C三点确定的圆的方程为：
x2＋y2－4x－y－5＝0.
因为D(a，3)也在此圆上，所以a2＋9－4a－25－5＝0.
解得a＝7或a＝－3(舍去)．即a的值为7.
故7
13. 已知点关于直线对称，则直线的方程为__________.
【正确答案】
【分析】先求出的斜率，然后根据点斜式即可求解.
【详解】∵，
∴，
又的中点，
∴ 整理得.
故答案为.
14. 棱长为的正方体中，分别是线段的中点，则直线到平面的距离为__________．
【正确答案】
【分析】建立空间直角坐标系，结合线面平行以及点面距公式求得直线到平面的距离.
【详解】如图，以点为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则，，．
设平面的法向量为，则即令，则，
点到平面的距离．
又，且平面平面，平面，
故直线到平面的距离即点到平面的距离.
故．
四、解答题（每小题12分，共5小题60分）
15. 已知圆心为的圆经过这三个点．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线过点，若直线被圆截得的弦长为10，求直线的方程．
【正确答案】（1）
（2）或
【分析】（1）设圆的标准方程为，带入三点坐标解方程组可得答案；
（2）当直线的斜率不存在时，得直线方程求弦长；当直线的斜率存在时，设其方程为，利用圆心到直线的距离、圆的半径、弦的一半构成的直角三角形计算可得答案.
【小问1详解】
设圆的标准方程为，
因为过，所以
，解得，
所以圆的标准方程为；
【小问2详解】
当直线的斜率不存在时，其方程为，
由，解得或，
所以直线被圆截得的弦长为，符合题意；
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
圆心到直线的距离为，
因为直线被圆截得的弦长为10，所以，
即，解得，
直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
16. （1）已知，，在轴上求一点使；
（2）已知，，在平面上求一点使为等边三角形.
【正确答案】（1）；（2）或
【分析】（1）根据空间中两点间的距离公式即可列式求解；
（2）根据空间中两点间距离公式即可列式求解.
【详解】（1）设，由得：，
所以轴上的点能使.
（2）设，要使为等边三角形需要，
即，
解之得或，所以点坐标为或.
17. 如图，在四棱锥P—ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，，E为棱BC上的点，且
（1）求证：DE⊥平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设Q为棱CP上的点（不与C、P重合），且直线QE与平面PAC所成角的正弦值为，求的值.
【正确答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【分析】（1）以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
求得，，再由线面垂直的判定定理可得答案；
（2）求出平面、平面的法向量，再由二面角的向量求法可得答案；
（3）设，利用可得，再由
可得答案.
【小问1详解】
以为原点，所在的直线为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，且，所以DE⊥平面
【小问2详解】
由（1）知，DE⊥平面，是平面的一个法向量，
且，，，
设平面的一个法向量为，
所以，即，令，则，
所以，
，
由图二面角的平面角为锐角，
所以二面角的余弦值为.
【小问3详解】
由（1）得，，，，
设，则，可得，
所以，是平面的一个法向量
所以
，解得.
所以.
18. 求证：设和是不同的两点，若（且），则点的坐标为.
【正确答案】证明见解析
【分析】设点坐标为，由向量坐标运算可得，解出即可得.
【详解】设点坐标为，则，
，
因为，所以有，
由此得，故点的坐标为.
19. 已知坐标平面上点与两个定点，的距离之比等于5.
（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
（2）记（1）中的轨迹为，线段，点为上一点，点，求的中点的轨迹方程.
【正确答案】（1）；以为圆心，以5为半径的圆；（2）.
【分析】（1）直接利用距离之比，列出方程即可求出点的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（2）利用相关点代入法即得．
【详解】（1）由题意可得：
即．
即所求轨迹是以为圆心，以5为半径的圆．
（2）设且的中点为，
因为点为上一点，
即
即