四川省成都市2024-2025学年高二上学10月月考数学检测试题（含解析）

这是一份四川省成都市2024-2025学年高二上学10月月考数学检测试题（含解析），共20页。试卷主要包含了已知与是互斥事件，且，，则等于，已知直线，，则与的距离为，设，向量，，，且，，则，设直线l的方程为，阅读下面材料，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知与是互斥事件，且，，则等于（ ）
A． B． C．0.3 D.
2．已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知直线，，则与的距离为( )
A．1B．2C．D．
4．设，向量，，，且，，则（ ）
A．−2B．C．D．
5．设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （ ）
A．B．
C．D．
6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（ ）
A．甲180枚，乙180枚 B．甲270枚，乙90枚
C．甲240枚，乙120枚 D．甲288枚，乙72枚
7．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，是侧面内一动点，且，则点的轨迹的长度为（ ）
A．B．
C．D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.
9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A．事件与事件是互斥事件B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件是相互独立事件D．事件与事件是互斥事件
10．下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．当点到直线的距离最大时，的值为
D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
11．在棱长为1的正方体中，动点满足，其中，，则（ ）
A． B．平面平面
C．当时，点的轨迹长度为1 D．存在点，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是 .
13.在三棱锥中，，，，则 .
14．关于直线​，有下列说法:
①对任意​，直线​不过定点；
②平面内任给一点，总存在​，使得直线​经过该点；
③对任意​，且有​，则直线​与​的交点轨迹为一直线；
④当​时，点​到直线​的距离最小值为​.
其中正确的是 .
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知顶点、、．
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
16．—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，.
(1)证明：平面平面.
(2)若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值
18．如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，，分别为，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求三棱锥的体积．
19．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.
（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；
（2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；
（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围.
四川省成都市2024-2025学年高二上学10月月考数学检测试题
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知与是互斥事件，且，，则等于（ ）
A．B．C．0.3D．
【正确答案】A
【详解】由可得，
由于与是互斥事件，故,
2．已知直线过点，，且直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】C
【详解】设直线的斜率为，所以，则4.
3．已知直线，，则与的距离为( )
A．1B．2C．D．
【正确答案】D
【详解】由题意得，与的距离.
4．设，向量，，，且，，则（ ）
A．−2B．C．D．
【正确答案】B
【详解】由，得，解得，即，
由，得，解得，则，
所以.
故选：B
5．设直线l的方程为（），则直线l的倾斜角的取值范围是 （ ）
A．B．
C．D．
【正确答案】C
【详解】设直线的斜率为，则，
故，而，故，
6.概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏每局比赛都能分出胜负，没有平局双方约定，各出赌金180枚金币，先赢3局者可获得全部赎金；但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局.问这360枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案.该分配方案是（ ）
A．甲180枚，乙180枚
B．甲270枚，乙90枚
C．甲240枚，乙120枚
D．甲288枚，乙72枚
【正确答案】B
假设两人继续进行比赛，
甲获取360枚金币有：第四局甲赢，或第四局甲输，第五局甲赢，
故概率为，
乙获取360枚金币有：第四、五局乙都赢，
故概率为，
则甲应该获得枚金币，乙应该获得枚金币，
7．阅读下面材料：在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，过点且方向向量为的直线的方程为．根据上述材料，解决下面问题：已知平面的方程为，直线是两个平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】D
【详解】因为平面的方程为，
所以平面的一个法向量为，
同理可得平面与的一个法向量为和，
设直线的一个方向向量为，
则，
不妨取，则，
直线与平面所成的角为，
则，
8．如图，已知正方体的棱长为3，点在棱上，且，是侧面内一动点，且，则点的轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
【正确答案】A
【分析】作交于点，得，进而得点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，求出弧长即可.
【详解】作交于点，则由正方体性质可知，，
因为，所以，
所以点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，如图，
所以，所以，
所以，
点的轨迹的长度为弧长.
故选：C.
思路点睛：作交于点，由定值，和求出是一个定值，进而得点P的轨迹是以G为圆心，半径的圆弧，再利用已知条件求出，再结合弧长公式即可求解.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.
9．一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（ ）
A．事件与事件是互斥事件B．事件与事件是对立事件
C．事件与事件是相互独立事件D．事件与事件是互斥事件
【正确答案】ACD
【详解】列举各事件如下：，，，
A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确；
B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误；
C：因为，故C正确；
D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确；
故选：ACD.
10．下列说法正确的是（ ）
A．若直线的一个方向向量为，则该直线的斜率为
B．“”是“直线与直线互相垂直”的充要条件
C．当点到直线的距离最大时，的值为
D．已知直线过定点且与以为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是
【正确答案】ACD
【详解】A.由2,3是直线的一个方向向量得也是直线的方向向量，因为是直线的方向向量，所以，选项A正确；
B.由两直线互相垂直得，，解得或，可知“”两直线垂直的充分不必要条件，选项B错误；
C.将直线方程变形为，由得，
直线过定点，斜率为.
当直线与垂直时，点到直线的距离最大.
因为，所以，选项C正确；
D.
如图，，
由图可知，当或时，直线与线段有交点.
故选项D正确.
故选：ACD.
11．在棱长为1的正方体中，动点满足，其中，，则（ ）
A．
B．平面平面
C．当时，点的轨迹长度为1
D．存在点，使得
【正确答案】AB
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系.

A： ，
，，
因为
所以有，
所以,正确；
B: 设平面的法向量为，
，取，可得，
所以，所以平面平面
平面的法向量为，，
因为
所以有，
C：因为，其中，，又，
所以三点共线，此时点的轨迹为,长度为，错误；
D：因为，所以点在平面上，
设到平面的距离为,
由可得：
，
解得，因为到平面的距离为到平面上点距离的最小值，
又，故D错误.
故选：AB
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.某同学进行投篮训练，在甲､乙､丙三个不同的位置投中的概率分别为，该同学站在三个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则的值是 .
【正确答案】
【详解】由题意，，解得.
故
13.在三棱锥中，，，，则 .
【正确答案】/
【详解】
如图，因，，，
则
故答案为.
14．关于直线​，有下列说法:
①对任意​，直线​不过定点；
②平面内任给一点，总存在​，使得直线​经过该点；
③对任意​，且有​，则直线​与​的交点轨迹为一直线；
④当​时，点​到直线​的距离最小值为​.
其中正确的是 .
【正确答案】①④
【详解】①对任意，随着的变化，也随之变化，故直线不过定点，①正确；
平面内取点，则，即，无解，故②错误；
联立直线与，得到，
故交点坐标为，
又因为，
所以交点坐标满足方程，
但当时，，不合题意，所以交点取不到，
所以交点轨迹为一直线的一部分，③错误.
点到直线的距离，令，
则，
因此，
当且仅当，即时，等号成立，④正确；
故①④.
四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．已知顶点、、．
(1)求边的垂直平分线的方程；
(2)若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程．
【正确答案】(1)
(2)或
【详解】（1）由、，
可知中点为，且，
所以其垂直平分线斜率满足，即，
所以边的垂直平分线的方程为，即；
（2）当直线过坐标原点时，，此时直线，符合题意；
当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，
由过点，则，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
16．—只不透明的袋子中装有2个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同.
(1)搅匀后从中任意摸出2个球，求这2个都球是白球的概率；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率.
【正确答案】(1)；
【详解】（1）将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，
则任意摸出2个球的样本空间有：红1红2，红1红3，红1白1，红1白2，红2红3，红2白1，红2白2，红3白1，红3白2，白1白2共10个样本点，
其中2球均为白球事件的样本点只有1个，因此2个球都是白球概率为；
（2）搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，将3个红球记为红1，红2，红3，2个白球记为白1，白2，列表如图所示：
所以搅匀后从中任意摸出1个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球事件的样本空间共有25个样本点，它们出现的可能性相同，
其中满足事件“2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球”的样本点有12个，所以.
17．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为2的等边三角形，.

(1)证明：平面平面.
(2)若为的中点，求平面与平面的夹角的余弦值
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）取的中点，连接，.

因为，，所以为等边三角形.
因为为的中点，所以，.
因为是边长为2的等边三角形，所以，
则，所以.
又，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）因为，，两两垂直，所以以为坐标原点，，，
所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
所以，.
设为平面的法向量，
则取，得.
易知是平面的一个法向量.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
18．如图，在四棱锥中，，，，，底面为正方形，，，分别为，，的中点．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)求三棱锥的体积．
【正确答案】(1)证明见解析
(2)
(3)18
【详解】（1）∵，分别为，的中点，∴，
又平面，平面，
故平面；
（2）由题可知DA、DC、DP两两垂直，
故可以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示：
则，
∴，
设平面的法向量为，则，
令，则，，故，
∴，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（3），，
则点到平面的距离，
又，，
，
则，
故.
19．已知点和非零实数，若两条不同的直线、均过点，且斜率之积为，则称直线、是一组“共轭线对”，如直线和是一组“共轭线对”，其中是坐标原点.
（1）已知、是一组“共轭线对”，且知直线，求直线的方程；
（2）如图，已知点、点和点分别是三条倾斜角为锐角的直线、、上的点（、、与、、均不重合），且直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，直线、是“共轭线对”，求点的坐标；
（3）已知点，直线、是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点到直线、的距离之积的取值范围.
【正确答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】解：（1）由已知得，又，
直线的方程；
（2）设直线的斜率分别为，
则，得（负值舍去），
当时，
直线的方程为，直线的方程为，联立得；
故所求为；
（3）设，其中，
故
．
由于（等号成立的条件是），
故．
第2次摸球第1次摸球
红1
红2
红3
白1
白2
红1
（红1，红1）
（红1，红2）
（红1，红3）
（红1，白1）
（红1，白2）
红2
（红2，红1）
（红2，红2）
（红2，红3）
（红2，白1）
（红2，白2）
红3
（红3，红1）
（红3，红2）
（红3，红3）
（红3，白1）
（红3，白2）
白1
（白1，红1）
（白1，红2）
（白1，红3）
（白1,白1）
（白1,白2）
白2
（白2，红1）
（白2，红2）
（白2，红3）
（白2,白1）
（白2,白2）