上海市普陀区2024—2025学年上学期九年级中考一模考试数学试题

这是一份上海市普陀区2024—2025学年上学期九年级中考一模考试数学试题，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中，y关于x的二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．在中，，如果，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
3．下列二次函数的图像中，以直线为对称轴的是（ ）
A．B．C．D．
4．设非零向量、，如果，那么下列说法中错误的是（ ）
A．与方向相同B．C．D．
5．如图，在四边形中，为对角线，，如果要证得与全等，那么可以添加的条件是（ ）
A．B．
C．D．
6．如图，矩形中，点在对角线上，延长交于点，过点作，分别交、于点、，，．如果，那么的长是（ ）

A．B．C．D．
二、填空题
7．已知，那么 ．
8．已知正比例函数的图像经过第二、四象限，那么的取值范围是 ．
9．已知二次函数的图像经过原点，那么 ．
10．已知抛物线经过点、，那么 ．（填“”、“”、或“”）
11．已知抛物线的开口向上，那么此抛物线的顶点在第 象限．
12．已知中，，是边上的高，．如果，那么 ．
13．如图，已知中，点D、E、F分别在边、、上，，．如果，，那么 ．
14．如图，D、E分别是的边、上的点，，，垂足为点F．如果，，的面积为9，那么的面积为 ．
15．如图，中，，的中垂线分别与、交于点E、D．如果，，那么的余弦值为 ．
16．如图，斜坡的长为7米，在斜坡的顶部D处有一棵高为3米的小树（点A、D、C在一直线上），，在坡底B处测得树的顶端A的仰角为，那么这个斜坡的坡度为 ．
17．中，，，，点D在边上，，如图所示．点E在边上，将沿着翻折得，其中点B与点对应，交边于点G，交的延长线于点H．如果是等腰三角形，那么 ．

18．在平面直角坐标系中（如图），点在反比例函数位于第一象限的图像上，点的横坐标大于点的横坐标，．如果的重心恰好也在这个反比例函数的图像上，那么点的横坐标为 ．

三、解答题
19．计算：．
20．如图，已知点E、F分别在的边和上，，，点D在的延长线上，，连接与交于点G．
(1)求的值；
(2)设，，那么_________，_________．（用向量、表示）
21．如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与双曲线交于点，点在射线上，点的坐标为．
(1)求直线的表达式；
(2)如果，求点的坐标．
22．如图，已知小河两岸各有一栋大楼与，由于小河阻碍无法直接测得大楼的高度．小普同学设计了如下的测量方案：将激光发射器分别置于地面点E和点F处，发射的两束光线都经过大楼顶端A，并分别投射到大楼最高一层的顶端C和其底部G处，并测得，，．（点D、B、E、F在同一水平线上）
(1)小普同学发现，根据现有数据就能测出大楼的高度，试求出大楼的高度；
(2)为了能测得大楼的高度，小普同学又获信息：这两栋大楼每层的高度都相同，大楼共有五层．据此信息能否测得大楼的高度？如果可以，试求出大楼的高度；如果不可以，说明理由．
（参考数据：，，，，，）
23．已知：如图，梯形中，，为对角线，．
(1)求证：；
(2)E为的中点，作，交边于点F，求证：．
24．在平面直角坐标系中（如图）．已知抛物线的顶点A的坐标为，与y轴交于点B．将抛物线沿射线方向平移，平移后抛物线的顶点记作M，其横坐标为m．平移后的抛物线与原抛物线交于点N，且设点N位于原抛物线对称轴的右侧，其横坐标为n．
(1)求原抛物线的表达式；
(2)求m关于n的函数解析式；
(3)在抛物线平移过程中，如果是锐角，求平移距离的取值范围．
25．在八年级的时候，我们曾经一起研究过一种三角形：如果三角形的一个角的平分线与一条边上的中线互相垂直，那么这个三角形叫做“线垂”三角形，这个角叫做“分角”．它的一个重要性质为：“分角”的两边成倍半关系．这个性质的逆命题也成立．
利用以上我们研究得到的结论，解决以下问题：
已知是“线垂”三角形，，是的“分角”．

(1)如图1，是的角平分线，是的中线，与相交于点F．求的值；
(2)在图2中画的一条分割线，使所分成的两个三角形都成为“线垂”三角形，并指出各自的“分角”，说明理由；
(3)在（2）的条件下，记分割得到的两个三角形“分角”的平分线交于点O，点O与点A、B、C的距离分别为a、b、c，求a、b、c满足的等量关系．
《上海市普陀区2024—2025学年上学期九年级中考一模考试数学试题》参考答案
1．C
【分析】本题考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
形如：，则是的二次函数，根据定义逐一判断各选项即可得到答案．
【详解】解：不是的二次函数，故A错误；
不是的二次函数，故B错误；
，即是的二次函数，故C正确；
，当时，不是的二次函数，故D错误；
故选：C．
2．B
【分析】本题考查互余两角三角函数的关系，根据互余两角三角函数的关系进行解答即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查二次函数顶点式的图像与性质，二次函数的顶点式解析式为，它的对称轴为．本题根据二次函数的顶点式解析式分别求出各项的对称轴即可．
【详解】解：A 、二次函数的对称轴是轴，故A选项不符合题意；
B、二次函数的对称轴是轴，故B选项不符合题意；
C、二次函数的对称轴是x=-1轴，故C选项不符合题意；
D、二次函数的对称轴是x=1轴，故D选项符合题意
故选：D．
4．A
【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据非零向量、，有，即可推出，从而得出，，与方向相反，由此即可判断．
【详解】解：∵非零向量、，有，
∴，
∴，，与方向相反，
故B、C、D正确，不符合同意，A错误，符合题意．
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐一判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：在和中，，，
、当添加条件，得到，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意；
、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意；
、当添加条件，对应相等的条件为，不能证得与全等，该选项不合题意；
、当添加条件，对应相等的条件为，能证得与全等，该选项符合题意；
故选：．
6．C
【分析】如图，过点作于点，根据矩形的性质得，由得，由勾股定理得，证明得，即，证明得∴继而得到，设，则，得，解得：，再根据可得结论．
【详解】如图，过点作于点，

∵矩形中，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∵，，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得：，
在中，，
∴的长是．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等知识点．掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
7．
【分析】本题主要考查比例的性质，由得出，即可得出结论．
【详解】解：∵，
∴，
整理得，，
∴，
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解题的关键．
根据“，当时，该函数的图象经过第二、四象限；当时，该函数的图象经过第一、三象限”解题即可．
【详解】解：∵正比例函数的图像经过第二、四象限，
∴，
∴．
故答案为： ．
9．
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、解一元一次方程．因为二次函数的图像经过原点，把代入二次函数的解析式，可得关于的一元一次方程，解一元一次方程求出的值即可．
【详解】解：二次函数的图像经过原点，
，
解得：，
故答案为： ．
10．
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
找出二次函数的开口方向和对称轴，即可根据位置信息求解．
【详解】解：∵
∴开口向上，有最小值，且对称轴为轴，
∴越靠近轴，值越小，
∵
∴
故答案为：．
11．四
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟悉掌握二次函数顶点坐标的表达式是解题的关键．
根据二次函数的顶点坐标为，代数分析即可．
【详解】解：∵的开口向上
∴，
∵函数的顶点坐标为：，
∴，
∴顶点在第四象限；
故答案为：四．
12．
【分析】本题考查了余切的定义，根据已知可得，进而根据余切的定义，得出，即可求解．
【详解】解：如图所示，
中，，是边上的高，
∴
∵．
∴
∵，
∴，
故答案为：．
13．6
【分析】本题考查相似三角形判定与性质，根据得到，根据比例的性质可得，再根据证出，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
，
故答案为：．
14．4
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
过点A作于点H，根据的面积及的长求出的长，证明，根据相似三角形面积之比等于相似比的平方即可求出的面积．
【详解】解：过点A作于点H，
∵的面积为9，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：4．
15．/
【分析】连接，先利用等腰三角形的性质可得，再利用线段垂直平分线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得：，从而可证，最后利用相似三角形的性质求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：连接，
∵，
，
∵是的垂直平分线，
，
，
，
，
∴，
，
∴，
∴或（舍去），
，
在中，，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，设米，则米，根据垂直定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义可得米，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】解：设米，
∵米，
∴米，
∵，
∴，
在中，，
∴米，
在中，，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴米，（米），
∴这个斜坡的坡度，
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、一元二次方程的应用、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先画出图形，过点作于点，确定如果是等腰三角形，则只能是，设，则，再证出，根据相似三角形的性质可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得，从而可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得．
【详解】解：由题意，画出图形如下：过点作于点，

∵，
∴，
∵交边于点，交的延长线于点，
∴，
∴如果是等腰三角形，则只能是为顶角，，
∴，
由对顶角相等得：，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
∵在中，，，，，
∴，，，
∴，
∴，即，
由折叠的性质得：，，
设，则，
在和中，
，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，
∴，，
在中，，即，
解得或（不符合题意，舍去），
即，
故答案为：．
18．/
【分析】由题意得点关于直线对称，由可得的重心在直线：上，联立函数解析式求出点坐标，即得，再根据三角形重心的性质可得，得到，设点，则，最后利用中点坐标公式解答即可求解．
【详解】解：由题意得，点关于直线对称，
∵，
∴的重心在直线：上，即为点，
由，解得或，
∵点在第一象限，
∴，
∴，
∵点为的重心，
∴，
∴，
∴，
设（m>0），则，
∴，
∴，
设点，则，
∵点为AB的中点，
∴，
∴，
解得或，
∵点的横坐标大于点的横坐标，
∴点的横坐标为，
故答案为：．

【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，等腰三角形性质，三角形的重心，勾股定理，中点坐标公式，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】解：
．
20．(1)
(2)，
【分析】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
（1）由题意可得∽，则，即，再证明∽，即可求解；
（2）由题意得，，则；由题意得，，则，，进而求解．
【详解】（1）∵，
∴．
∵，
∴，，
∴∽，
∴则，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴∽，
∴．
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴则，
∴，
∴．
故答案为：，．
21．(1)；
(2)．
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用、锐角三角函数．解决本题的关键是运用待定系数法求出正比例函数的解析式，根据的正确值和正比例函数的解析式求出点的坐标．
根据点在双曲线上，可以求出，把点的坐标代入正比例函数中求出的值即可得到直线的表达式；
因为直线的解析式为，设点的坐标为，根据，可得关于的分式方程，解方程求出即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：点在双曲线上，
把代入，
可得：，
点的坐标为，
设直线的表达式为（），
把，代入，
可得：，
直线的表达式为；
（2）解：如下图所示，过点作轴，垂足为点，
设点的坐标为，
可得：，，
在中，，
，
解得：，
经检验，b=4是分式方程的解，
，
可得点的坐标为．
22．(1)大楼的高度为
(2)能，大楼的高度为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键．
（1）设大楼的高度为．利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解；
（2）根据题意先求得，设为，则，利用正切函数的定义用表示出和的长，再利用，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：设大楼的高度为．
∵，
∴，．
∵，
∴．
解得．
答：大楼的高度为15m；
（2）解：由大楼的高度为，共有五层，且这两栋大楼每层的高度都相同，
可得，
设为，则，
∵，
∴，．
∵，
∴．
解得．
答：大楼的高度为．
23．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键：
（1）证明，即可得证；
（2）先证明，可得，再由可得，结合，得到，即可得证．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）如图，
∵，
∴，
又∵，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴． 即：，
∴
∴
24．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据顶点的坐标为 ，列出方程 ，求解即可；
（2）先求出直线 的表达式为 ，根据题意求出点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，计算即可；
（3）分类讨论求出临界情况，即可得出取值范围．
【详解】（1）解：由原抛物线顶点的坐标为．
可得，
解得，．
所以，原抛物线的表达式是．
（2）解：由点A的坐标为，点B的坐标为
设直线的表达式为，
将点A的坐标代入可得，解得：k=1，
∴直线的表达式为．
由抛物线沿射线方向平移，可得顶点M始终落在射线上，
得点M的坐标为．
得平移后抛物线的表达式为．
∵平移后的抛物线与原抛物线交于点N，其横坐标为n，点N的坐标为，
∴．
化简得，得．
∵，
∴，
解得：，
所以m关于n的函数解析式为．
（3）解：过点B作，交原抛物线于点G，那么．
当点N在之间的抛物线上运动时，是锐角．
当点N与点A重合时，，，
平移距离，
当点N与点G重合时，
过点N作轴，垂足为点E，过点A作轴，垂足为点F．
∴点N的坐标为，点B的坐标为，点A的坐标为．
∴，，．
∵，
∴，
∴，
∴，可得．
∵，
∴解得：．
∴点M的坐标为，
∴．
∵点N位于原抛物线对称轴的右侧，
∴当是锐角时，平移距离的取值范围是．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，解一元二次方程，一次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．(1)的值等于3；
(2)图见解析，是“线垂三角形”，是“分角”，是“线垂三角形”，是“分角”，理由见解析
(3)
【分析】（1）过点E作，交于点G．由“线垂”三角形的定义求得，由等腰三角形的性质求得，证明，，推出，，据此求解即可；
（2）在边上取点M，使，联结，那么是“线垂三角形”，是“分角”，证明，得到，则也是“线垂三角形”，是“分角”；
（3）作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N，延长至点G，使，联结，证明，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：过点E作，交于点G．

由是“线垂”三角形的“分角”，，
可知，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴的值等于3
∴的值等于3；
（2）解：在边上取点M，使，联结，

那么是“线垂三角形”，是“分角”，
可得，
∵为公共角，
∴，
∴，
∴也是“线垂三角形”，是“分角”；
（3）解：作和的平分线，交点为O，联结，延长，交边于点N，
由（2）得，
∴，
可得，
又∵，
∴．
∴．
∴，．
延长至点G，使，联结，
∵，，，
∴，
∴，，
在中，由勾股定理得，即，
∴．
【点睛】本题考查了“线垂三角形”的定义，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
C
B
D
A
D
C