重庆市长寿区八校2023_2024学年高二数学上学期期末检测试题B卷含解析

这是一份重庆市长寿区八校2023_2024学年高二数学上学期期末检测试题B卷含解析，共21页。试卷主要包含了答非选择题时，必须使用0，考试结束后，将答题卷交回等内容，欢迎下载使用。
试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卷规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卷规定的位置上.
4.考试结束后，将答题卷交回.
一、单选题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，答案请涂写在机读卡上
1. 直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据已知条件，结合直线的倾斜角与斜率的关系，即可求解．
【详解】设直线的倾斜角为，，
直线可化为，
所以直线的斜率，
，
故选：D．
2. 如图，在平行六面体中，，，，，，则线段的长为（）
A. 5B. 3C. D.
【答案】C
【解析】
分析】，然后平方可算出答案.
【详解】在平行六面体中，，，，，，
∵，
∴
，
∴.
故选：C.
3. 已知椭圆标准方程为，则此椭圆的短轴长为（）
A. 6B. 3C. 8D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】根据椭圆的标准方程，求得b的值，即得答案.
【详解】由题意知椭圆标准方程为，
设椭圆的短轴长为2b，则，，
所以此椭圆的短轴长为，
故选：A
4. 下列关于空间向量的命题中，错误的是（ ）
A. 若非零向量，，满足，，则有
B. 任意向量，，满足
C. 若，，是空间的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
D. 已知向量，，若，则为锐角
【答案】B
【解析】
【分析】根据共线向量的性质、共面向量的结论、空间向量夹角的计算公式逐一判断即可.
【详解】A：因为，，是非零向量，所以由，，可得，因此本选项说法正确；
B：因为向量，不一定是共线向量，因此不一定成立，所以本选项说法不正确；
C：，，是空间的一组基底，
且
所以A，B，C，D四点共面，因此本选项说法正确；
D：，
当时，，
若向量，同向，则有，
所以有，则（舍去）
所以向量，不能同向，
因此为锐角，故本选项说法正确，
故选：B.
5. 已知三角形的三个顶点A（4，3），B（﹣1，2），C（1，﹣3），则△ABC的高CD所在的直线方程是
A. 5x+y﹣2=0B. x﹣5y﹣16=0C. 5x﹣y﹣8=0D. x+5y+14=0
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析:由斜率公式可得AB的斜率，由垂直关系可得CD的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．
解：由斜率公式可得kAB==，
∵CD⊥AB，∴kCD=﹣5，
∴直线CD的方程为：y+3=﹣5（x﹣1），
化为一般式可得5x+y﹣2=0．
故选A．
考点：待定系数法求直线方程．
6. 公元前世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，若点P的轨迹关于直线对称，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意计算得的轨迹方程为，根据对称性可得圆心在直线方程上，即，从而利用乘“1”法即可得到最值.
【详解】设点的坐标为，因为，则，
即，
所以点的轨迹方程为，
因为点的轨迹关于直线对称，
所以圆心在此直线上，即，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是.
故选：B.
7. 等差数列、中的前项和分别为、，，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的性质及其前项和公式可得，将代入即可求解.
【详解】∵等差数列、中的前项和分别为、，，
∴.
故选：B.
【点睛】本题考查了等差数列的性质及其前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
8. 预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是，其中为预测期人口数，为初期人口数，k为预测期内人口年增长率，n为预测期间隔年数，如果在某一时期，那么在这期间人口数（）
A. 呈上升趋势B. 呈下降趋势C. 摆动变化D. 不变
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，可知为预测期内年增长率，当，可知年增长率为负，由此即可求出结果.
【详解】由题意，为预测期内年增长率，如果在某一时期有，即年增长率为负，故这期间人口数呈下降趋势.
故选:B.
二、多选题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，M为PD的中点，则（）
A. 直线CM与AD所成角的余弦值为B.
C. D. 点M到直线BC的距离为
【答案】ABD
【解析】
【分析】过A作，垂足为E，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各个选项即可.
【详解】过A作，垂足为E，则，
以A为原点，分别以AE，AB，AP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，，
，，
因为，
所以直线CM与AD所成角的余弦值为，故A正确；
因为，所以B正确；
因为，
所以BM与PC不垂直，故C不正确；
设点M到直线BC的距离为d，则，
即点M到直线BC的距离为，故D正确．
故选：ABD.
10. 已知曲线，其中，则下列结论正确的是（）
A. 方程表示的曲线是椭圆或双曲线
B. 若，则曲线的焦点坐标为和
C. 若，则曲线的离心率
D. 若方程表示的曲线是双曲线，则其焦距的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】通过的范围，判断曲线的形状，利用特例判断A，求出焦点的坐标，判断B，求出离心率的范围判断C，求出焦距判断D.
【详解】对于选项A，当时，曲线，表示直线或，故选项A错误；
对于选项B，当时，曲线方程为，可知曲线为焦点为和的椭圆，故选项B正确；
对于选项C，当时，曲线方程为，
因为，可得曲线为焦点在轴上椭圆，
，，则，
所以离心率，因为，
所以，
故选项C正确；
对于选项D，若方程表示的曲线是双曲线，因为曲线方程为，
所以，即，故，
所以，，所以，
因为，所以，
所以，故，所以，
故焦距，所以其焦距的最小值为，故选项D正确.
故选：BCD.
11. 对于直线l：与圆C：的以下说法正确的有（）
A. l过定点
B. l被C截得的弦长最长时，
C. l与C相切时，或
D. l与C相切时，记两种情形下的两个切点分别为A、B，则
【答案】AD
【解析】
【分析】由直线方程确定定点判断A；由C被l截得的弦长最长，只需直线过圆心，代入求参数判断B；由相切关系，应用点线距离公式列方程求参数判断C；画出示意图，根据已知得到，再由求弦长判断D.
【详解】由，即直线恒过定点，A对；
要使C被l截得的弦长最长，只需直线过圆心，即，B错；
l与C相切时，则，可得或，C错；
如图，，，则，故，
故，D对.
故选：AD
12. 已知数列的前n项和为，数列的前项和为，则下列选项正确的为（）
A. 数列是等差数列B. 数列是等比数列
C. 数列的通项公式为D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】由数列的递推式可得，两边加1后，运用等比数列的定义和通项公式可得，由数列的裂项相消求和可得.
【详解】解：由即为，可化为，由，可得数列是首项为2，公比为2的等比数列，则，即，
又，可得
故选：BCD
三、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在题中的横线上.
13. 已知点，过的直线与线段有交点，则直线的斜率的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据斜率公式即可得，进而可求解.
【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，
故直线与线段有交点，则,即，
故答案为：
14. 的三个顶点分别是，则其外接圆的方程为__________.
【答案】
【解析】
【分析】求得圆心和半径，进而求得圆的方程.
【详解】由于，所以是外接圆的直径，
所以圆心为，半径为，
所以外接圆的方程为.
故答案为：
15. 某石油勘探队在某海湾发现两口大型油气井，海岸线近似于双曲线的右支，现测得两口油气井的坐标位置分别为，，为了运输方便，计划在海岸线上建设一个港口，当港口到两油气井的距离之和最小时，港口的位置为______.（填写坐标即可）
【答案】##
【解析】
【分析】画出图象，结合双曲线的定义，利用“三点共线时” 港口到两油气井的距离之和最小，结合直线与双曲线的交点坐标的求法求得港口的位置.
【详解】由双曲线可知，，
故该双曲线的两个焦点分别为和，则恰好为双曲线的右焦点，
如图设为双曲线的左焦点，连接与双曲线右支交于点，
则点即港口所在位置.
由双曲线的定义可得，，即，
则.
当且仅当，，三点共线时，取得最小值，此时港口到两油气井的距离之和最小.
因为，，所以，则直线，
联立，化简可得，即，
解得或，因为，所以舍去，
将代入直线方程可得，
故点的坐标为，即港口的位置为.
故答案为：
16. 设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】结合等差数列和等比数列前项和公式的特点，分别求得的公差和公比，由此求得.
【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.
等差数列的前项和公式为，
等比数列的前项和公式为，
依题意，即，
通过对比系数可知，故.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于中档题.
四、解答题（本大题共6个小题，共70分.应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足求.
【答案】（I），；
（II）
【解析】
【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.
【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意，得，解得，
故，，
所以，的通项公式为，的通项公式为；
（II）
，
记 ①
则 ②
②①得，，
所以
.
【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.
18. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求：
（1）的长；
（2）直线与所成角的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据空间向量的运算，表示出，根据向量模的计算，即可求得答案；
（2）选定基底表示，求出向量的数量积以及它们的模，根据向量夹角公式求出的夹角的余弦值，即可求得直线与所成角的余弦值.
【小问1详解】
由题意得，
所以
；
【小问2详解】
所以
，
，,
，
故，
由于异面直线所成角的范围为大于小于等于，
所以直线与AC所成角的余弦值为.
19. 已知点和点关于直线：对称．
（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，求直线的方程；
（2）若直线过点且与直线交于点，的面积为2，求直线的方程．
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】根据对称先求出B点坐标（1）过点B到点A距离最大的直线与直线AB垂直，从而求出直线方程；（2）画出图像，可求出点C到直线AB的距离，又点C在直线上，可设出C点的坐标，利用点到直线的距离公式求出C，又直线过点A，利用两点A、C即可求出直线的方程.
【详解】解：设点
则 ，解得：，所以点关于直线：对称的点的坐标为
（1）若直线过点，且使得点到直线的距离最大，则直线与过点的直线垂直，所以，则直线为：，即.
（2）由条件可知：，的面积为2，则的高为，
又点C在直线上，直线与直线 垂直，所以点到直线AB的距离为.
直线方程为，设，则有，即或
又，解得： 或
则直线为：或
【点睛】本题考查求点关于直线对称点，考查直线与直线相交的综合应用..
方法点睛：（1）设出交点坐标
（2）两点的中点在直线上，两点连线与原直线垂直，列方程组；
（3）解出点坐标.
20. 已知圆C过点，且圆心C在直线上．
（1）求圆C的标准方程；
（2）若过点（2，3）的直线被圆C所截得的弦的长是，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）设圆心,由两点间的距离及圆心在直线上，列出方程组，求解即可求出圆心坐标，进而求出半径，写出圆的方程（2）由的长是，求出圆心到直线的距离，然后分直线斜率存在与不存在求解.
【详解】（1）设圆C的标准方程为
依题意可得：
解得，半径.
∴圆C的标准方程为；
（2）,∴圆心到直线m的距离
①直线斜率不存在时，直线m方程为：；
②直线m斜率存在时，设直线m为.
,解得
∴直线m的方程为
∴直线m的方程为或.
【点睛】本题主要考查了圆的标准方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题.
21. 已知点､是椭圆的左､右焦点，点是该椭圆上一点，若当时，面积达到最大，最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设为坐标原点，是否存在过左焦点的直线，与椭圆交于，两点，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，直线的方程为或.
【解析】
【分析】
（1）当点在短轴端点的时候，面积达到最大，求得的值，即可得答案；
（2）由（1）由题意直线与轴不重合，设其方程为，代入椭圆的方程，利用韦达定理和面积公式，即可得答案；
【详解】（1）当点在短轴端点的时候，面积达到最大，
可得，此时，
所以，又，求得，，，
所以椭圆方程为；
（2）存在，由（1）由题意直线与轴不重合，设其方程为
代入椭圆方程可得
则，
则
解得
所以直线的方程为或；
【点睛】本题考查椭圆的标准方程、椭圆中的面积问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意韦达定理的运用.
22. 如图，已知抛物线 的焦点为，点是轴上一定点，过的直线交与两点.
（1）若过的直线交抛物线于，证明纵坐标之积为定值；
（2）若直线分别交抛物线于另一点，连接交轴于点.证明：成等比数列.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）设直线方程为，联立抛物线方程用韦达定理可得；
（2）借助（1）中结论可得各点纵坐标之积，进而得到F、T、Q三点横坐标关系，然后可证.
【小问1详解】
显然过T的直线斜率不为0，设方程为，
联立，消元得到，
.
【小问2详解】
由（1）设，
因为AP与BQ均过T(t,0)点，可知，
又AB过F点，所以，如图：
，,设M(n，0）,
由（1）类比可得
.
，且，
成等比数列