+广东省广州市海珠区等五地2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷

这是一份+广东省广州市海珠区等五地2024-2025学年八年级上学期期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，中国代表团创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．5，6，11B．3，4，5C．4，4，10D．1，1，2
3．（3分）下列式子运算正确的是（ ）
A．3x•4x＝12xB．（x2y）3＝x2y3
C．x3•x4＝x7D．（x3）4＝x7
4．（3分）如图，△ABE≌△ACD，点D、E分别在边AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，则AE的长度为（ ）
A．3B．2C．4D．5
5．（3分）若把分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的D．不变
6．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DBC，添加以下条件中的一个条件后仍无法证明△ABC≌△DBC的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DCBC．AB＝DBD．AC＝DC
7．（3分）在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（ ）
A．39B．41C．43D．无法确定
8．（3分）若等腰三角形的一边长为8cm，周长为18cm，则腰长为（ ）
A．10cm或5cmB．8cm或5cmC．8cm或2cmD．5cm
9．（3分）两个正方形如图摆放，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则下面四个式子中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若点P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．4.8B．7C．D．2.4
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：（π﹣3）0＝ ；2m（x﹣3）＝ ；3﹣2＝ ．
12．（3分）点M（2，3）关于x轴的对称点是 ．
13．（3分）如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠AOB＝ °．
14．（3分）若一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为 ．
15．（3分）如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝ °．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠A＝60°，角平分线BD、CE交于点O，OF⊥AB于点F，OF＝2．下列结论：①点O在∠A的平分线上；②∠BOC＝120°；③AD﹣AE＝EF；④S△ABC＝a+b+c，其中正确的结论是 （填序号）．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（6分）（1）计算：（15xy2﹣5xy+10y）÷5y；
（2）分解因式：2x2﹣8．
18．（4分）如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE．
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣3y）（﹣x+y）+（x﹣2y）2，其中．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交边BC于点M；
（2）若CM＝3，求线段BC的长．
21．（6分）某中学组织八年级学生进行15km校外徒步素质训练，1班和2班同时从学校出发，1班学生的平均速度是2班学生平均速度的1.2倍，结果1班学生比2班学生早30分钟完成训练.1班学生和2班学生徒步的平均速度各是多少？
22．（8分）已知．
（1）化简A；
（2）当2x＝4y，求A的值．
23．（10分）已知A、C在y轴上，B、P在x轴上，且△ACB为等边三角形，点P在线段AB的垂直平分线上．
（1）如图①，证明：PB＝2PO；
（2）如图②，点E在OC上，点F在BC上，且△PEF为等边三角形，求证：∠OPE＝30°．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D和点M分别在AC和BC上，，CN⊥MD，垂足N在MD的延长线上．
（1）如图①，当点M与点B重合时，
①∠DCN的度数为 °；
②证明：；
（2）如图②，当点M在线段BC上时（点M与B、C不重合），CN和MD的数量关系是否会发生变化？若有变化，请求出变化后的数量关系，若没有变化，请说明理由．
25．（12分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．②求x2+6x+11的最小值．
解：原式＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣12
＝（a+3﹣1）（a+3+1）
＝（a+2）（a+4）
解：原式＝x2+6x+9+2
＝（x+3）2+2
∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）当x为何值时，多项式x2+4x﹣6有最小值？请求出这个最小值；
（2）若x2+5x+2＝0，求的值；
（3）证明：关于x的二次三项式x2+8x+20在实数范围内不能因式分解．
2024-2025学年广东省广州市海珠区等五地八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1．（3分）在法国巴黎举办的第33届夏季奥林匹克运动会上，中国代表团创造了新的境外参加奥运会最佳成绩，多个项目实现历史性突破．如图所示的体育项目图案中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．5，6，11B．3，4，5C．4，4，10D．1，1，2
【分析】根据三角形三边关系解答即可．
【解答】解：A、5+6＝11，故不能构成三角形．不符合题意；
B、3+4＞5，故能构成三角形，符合题意；
C、4+4＜10，故不能构成三角形，不符合题意；
D、1+1＝2，故不能构成三角形，不符合题意；
故选：B．
【点评】此题考查三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
3．（3分）下列式子运算正确的是（ ）
A．3x•4x＝12xB．（x2y）3＝x2y3
C．x3•x4＝x7D．（x3）4＝x7
【分析】根据幂的运算，am×an＝am+n，（ab）n＝anbn，进行计算，即可．
【解答】解：A.3x与4x是同类项，可以合并，3x+4x＝7x，A不符合题意；
B．根据“积的乘方，需要把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的积相乘”知（x2y）3＝x6y3，B不符合题意；
C．根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”知x3•x4＝x3+4＝x7，C符合题意；
D．根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”知（x3）4＝x12，D不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，掌握相应的运算法则是关键．
4．（3分）如图，△ABE≌△ACD，点D、E分别在边AB，AC上，若AD＝3，AC＝5，CD＝4，则AE的长度为（ ）
A．3B．2C．4D．5
【分析】由全等三角形的对应边相等得到AE＝AD＝3．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD＝3．
故选：A．
【点评】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．
5．（3分）若把分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍B．扩大为原来的9倍
C．缩小为原来的D．不变
【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
＝，
∴若把分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值缩小为原来的，
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行计算是解题的关键．
6．（3分）如图，已知∠ABC＝∠DBC，添加以下条件中的一个条件后仍无法证明△ABC≌△DBC的是（ ）
A．∠A＝∠DB．∠ACB＝∠DCBC．AB＝DBD．AC＝DC
【分析】由全等三角形的判定方法，即可判断．
【解答】解：A、由AAS证明△ABC≌△DBC，故A不符合题意；
B、由ASA证明△ABC≌△DBC，故B不符合题意；
C、由SAS证明△ABC≌△DBC，故C不符合题意；
D、∠ABC和∠DBC分别是AC和CD的对角，不能证明△ABC≌△DBC，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．
7．（3分）在△ABC中，AB＝18，BC＝16，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为41，那么△BCD的周长是（ ）
A．39B．41C．43D．无法确定
【分析】根据三角形的中线的定义得到AD＝CF，再根据三角形周长公式计算即可．
【解答】解：∵BD是AC边上的中线，
∴AD＝CF，
∵△ABD的周长为41，AB＝18，
∴18+AD+BD＝41，
∴AD+BD＝23，
∴CD+BD＝23，
∵BC＝16，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD＝16+23＝39，
故选：A．
【点评】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
8．（3分）若等腰三角形的一边长为8cm，周长为18cm，则腰长为（ ）
A．10cm或5cmB．8cm或5cmC．8cm或2cmD．5cm
【分析】分8cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【解答】解：当三边为8cm，8cm，2cm，等腰三角形成立，腰长是8cm；
当三边为8cm，5cm，5cm，等腰三角形成立，腰长是5cm．
故腰长是8cm或5cm．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，分类讨论是关键．
9．（3分）两个正方形如图摆放，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，则下面四个式子中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】用代数式表示图形中阴影部分的面积，再根据各个选项中的代数式进行解答即可．
【解答】解：如图，连接AC，
S阴影部分＝S△ABC+S△ACD
＝BC•AE+CD•CE
＝m（m﹣n）+n2，
＝m2+n2﹣mn，
∴选项A不符合题意；
又∵（m+n）2﹣mn＝m2+n2﹣mn，
∴选项B不符合题意；
又∵（m2+n2）＝m2+n2≠m2+n2﹣mn，
∴选项C符合题意；
又∵（m﹣n）2+mn＝m2+n2﹣mn，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD是∠BAC的平分线，若点P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（ ）
A．4.8B．7C．D．2.4
【分析】在AB上截取AE＝AC＝3，过点E作EQ⊥AC于Q，交AD于P，易证得C、E关于直线AD对称，则PC＝PE，从而得到PC+PQ＝PE+PQ＝EQ，由EQ⊥AC，根据垂线段最短可知EQ的长是PC+PQ的最小值，然后利用三角形面积公式即可求得QE的长度．
【解答】解：在AB上截取AE＝AC＝3，过点E作EQ⊥AC于Q，交AD于P，
∵AD是∠BAC的平分线，AE＝AC，
∴C、E关于直线AD对称，
∴PC＝PE，
∴PC+PQ＝PE+PQ＝EQ，
∵EQ⊥AC，
∴EQ的长是PC+PQ的最小值，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴S△ABC＝＝＝6，
∵AE＝AC＝3，AB＝5，
∴S△ACE＝S△ABC＝，
∴，即，
∴QE＝＝2.4，
∴PC+PQ的最小值是2.4，
故选：D．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，角平分线的性质，轴对称的判定和性质，垂线段最短，三角形面积公式的应用，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：（π﹣3）0＝ 1 ；2m（x﹣3）＝ 2mx﹣6m ；3﹣2＝ ．
【分析】根据零指数幂、单项式乘多项式、负整数指数幂的运算法则计算即可．
【解答】解：（π﹣3）0＝1；
2m（x﹣3）＝2mx﹣6m；
；
故答案为：1，2mx﹣6m，．
【点评】本题考查了零指数幂、单项式乘多项式、负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
12．（3分）点M（2，3）关于x轴的对称点是 （2，﹣3） ．
【分析】“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”，据此判断即可．
【解答】解：点M（2，3）关于x轴对称点的坐标为（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．
13．（3分）如图，△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，则∠AOB＝ 80 °．
【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠ACB＝∠DBC，再利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∠DBC＝40°，
∴∠ACB＝∠DBC＝40°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠DBC＝40°+40°＝80°．
故答案为：80．
【点评】本题考查了全等三角形对应角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记性质是解题的关键．
14．（3分）若一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，则这个多边形的边数为 8 ．
【分析】设这个多边形的边数为n，由题意列得方程，解方程即可．
【解答】解：设这个多边形的边数为n，
则（n﹣2）•180°＝360°×3，
解得：n＝8，
即这个多边形的边数为8，
故答案为：8．
【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得正确的方程是解题的关键．
15．（3分）如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝ 35 °．
【分析】根据题意，已知∠A＝75°，∠B＝65°，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解．
【解答】解：如图，
由折叠的性质可得∠CDE＝∠C'DE，∠CED＝∠C'ED，
∵∠A＝75°，∠B＝65°，
∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°，
∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°，
∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣325°＝35°．
故答案为：35．
【点评】本题考查了折叠变换的性质，三角形的内角和，熟练掌握三角形的内角和即可得到结论．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠A＝60°，角平分线BD、CE交于点O，OF⊥AB于点F，OF＝2．下列结论：①点O在∠A的平分线上；②∠BOC＝120°；③AD﹣AE＝EF；④S△ABC＝a+b+c，其中正确的结论是 ①②④ （填序号）．
【分析】①过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N，连接OA，根据角平分线的性质得OM＝ON＝OF＝2，则点O在∠A的平分线上，由此可对结论①进行判断；
②先求出∠ABC+∠ACB＝120°，再根据角平分线定义得∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，在△OBC中利用三角形内角和定理可求出∠BOC的度数，进而可对结论②进行判断；
③设∠AOE＝α，证明∠DON＝∠EOF＝60°﹣α，再分别证明Rt△OAN和Rt△OAF全等，△∠DON和△EOF全等，则AN＝AF，DN＝EF，进而得AD﹣AE＝AN+ND﹣（AF﹣EF）＝2EF，由此可对结论③进行判断：
④根据OM＝ON＝OF＝2，分别求出S△OBC＝a，S△OAC＝b，S△OAB＝c，S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB＝a+b+c，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案．
【解答】解：①过点O作OM⊥BC于点M，ON⊥AC于点N，连接OA，如图所示：
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，BD与CE交于点O，且OF＝2，
∴OM＝OF＝2，OM＝ON，
∴ON＝OF＝2，
∴点O在∠A的平分线上，
故结论①正确；
②在△ABC中，∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝120°，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝60°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°，
故结论②正确；
③设∠AOE＝α，
∵点O在∠A的平分线上，
∴∠OAN＝∠OAF＝30°，
∴∠AON＝∠AOF＝60°，
∴∠EOF＝∠AOF﹣∠AOE＝60°﹣α，
∵∠BOC＝120°，
∴∠DOC＝180°﹣∠BOC＝60°，
∴∠DON＝180°﹣（∠DOC+∠AON+∠AOE）＝180°﹣（60°+60°+α）＝60°﹣α，
∴∠DON＝∠EOF＝60°﹣α，
在Rt△OAN和Rt△OAF中，
，
∴Rt△OAN≌Rt△OAF（HL），
∴AN＝AF，
在△DON和△EOF中，
，
∴△∠DON≌△EOF（AAS），
∴DN＝EF，
∴AD﹣AE＝AN+ND﹣（AF﹣EF）＝AF+EF﹣（AF﹣EF）＝2EF，
故结论③不正确：
④∵OM＝ON＝OF＝2，AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∴S△OBC＝BC•OM＝a，S△OAC＝AC•ON＝b，S△OAB＝AB•OF＝c，
∴S△ABC＝S△OBC+S△OAC+S△OAB＝a+b+c，
故结论④正确．
综上所述：正确的结论是①②④．
故答案为：①②④．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，角平分线的性质是解决问题的关键．
三、解答题（本题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）
17．（6分）（1）计算：（15xy2﹣5xy+10y）÷5y；
（2）分解因式：2x2﹣8．
【分析】（1）根据整式的除法法则计算即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：（1）（15xy2﹣5xy+10y）÷5y
＝15xy2÷5y﹣5xy÷5y+10y÷5y
＝3xy﹣x+2；
（2）2x2﹣8
＝2（x2﹣4）
＝2（x+2）（x﹣2）．
【点评】本题考查了整式的除法，提公因式法与公式法的综合运用，正确计算是解题的关键．
18．（4分）如图，AB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠CAE．求证：△ABC≌△ADE．
【分析】由∠BAD＝∠CAE可得∠BAC＝∠DAE，即可证明．
【解答】解：由条件可知∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，∠BAC＝∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
19．（6分）先化简，再求值：（x﹣3y）（﹣x+y）+（x﹣2y）2，其中．
【分析】先利用完全平方公式，多项式乘多项式的法则进行计算，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：（x﹣3y）（﹣x+y）+（x﹣2y）2
＝﹣x2+xy+3xy﹣3y2+x2﹣4xy+4y2
＝y2，
当时，原式＝（）2＝．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值，完全平方公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．
（1）尺规作图：作∠BAC的角平分线交边BC于点M；
（2）若CM＝3，求线段BC的长．
【分析】（1）根据作角平分线的方法作图即可；
（2）根据含30度直角三角形的性质求和勾股定理即可求出BC．
【解答】解：（1）如图所示，AM即为所求；
（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵AM是∠BAC的角平分线，
∴∠CAM＝30°，
∴AM＝2CM＝2×3＝6，
∴AC＝3，
∴AB＝2AC＝6，
∴BC＝＝＝9．
【点评】此题主要考查了复杂作图，含30度直角三角形的性质求和勾股定理，关键是正确画出图形，熟练掌握含30度直角三角形的性质求和勾股定理．
21．（6分）某中学组织八年级学生进行15km校外徒步素质训练，1班和2班同时从学校出发，1班学生的平均速度是2班学生平均速度的1.2倍，结果1班学生比2班学生早30分钟完成训练.1班学生和2班学生徒步的平均速度各是多少？
【分析】设2班学生学生徒步的平均速度是x km/h，则1班学生徒步的平均速度是1.2x km/h，根据1班学生的平均速度是2班学生平均速度的1.2倍，结果1班学生比2班学生早30分钟完成训练，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解；设2班学生学生徒步的平均速度是x km/h，则1班学生徒步的平均速度是1.2x km/h，
由题意得：﹣＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意，
∴1.2x＝1.2×5＝6，
答：1班学生学生徒步的平均速度是6km/h，2班学生徒步的平均速度是5km/h．
【点评】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
22．（8分）已知．
（1）化简A；
（2）当2x＝4y，求A的值．
【分析】（1）先把括号内的分式通分，再按照同分母的分式相减，然后把除式中的分母分解因式再约分，并把除法换成乘法，进行计算即可；
（2）把已知条件中的两个幂的底数都换成2，从而把x用2y表示出来，最后把（1）中化简后的式子中的x换成2y，进行计算并约分即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝；
（2）∵2x＝4y，
∴2x＝（22）y＝22y，
∴x＝2y，
∴
＝
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查了分式的化简，解题关键是熟练掌握分式的通分和约分．
23．（10分）已知A、C在y轴上，B、P在x轴上，且△ACB为等边三角形，点P在线段AB的垂直平分线上．
（1）如图①，证明：PB＝2PO；
（2）如图②，点E在OC上，点F在BC上，且△PEF为等边三角形，求证：∠OPE＝30°．
【分析】（1）根据等边三角形的性质得到∠BAO＝60°，求得∠ABO＝30°，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝PB，得到∠PAB＝∠ABP＝30°，根据直角三角形的性质得到AP＝2OP，于是得到PB＝2OP；
（2）延长AP交BC于H，根据等边三角形的性质得到AH⊥BC，CH＝BH，求得PC＝PB＝30°，得到∠OCP＝∠HCP＝30°，求得∠CPO＝∠CPH＝60°，根据等边三角形的性质得到∠EPF＝60°，PE＝PF，OP⊥OC，PH⊥CH，求得OP＝PH，根据全等三角形的性质得到∠OPE＝∠HPF，于是得到∠OPE＝∠CPE＝∠CPO＝30°．
【解答】证明：（1）∵△ACB为等边三角形，
∴∠BAO＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∵P在线段AB的垂直平分线上，
∴AP＝PB，
∴∠PAB＝∠ABP＝30°，
∴∠OAP＝30°，
∴AP＝2OP，
∴PB＝2OP；
（2）延长AP交BC于H，
∵∠CAH＝∠BAH＝30°，AC＝AB，
∴AH⊥BC，CH＝BH，
∴PC＝PB＝30°，
∵∠ACB＝60°，
∴∠OCP＝∠HCP＝30°，
∴∠CPH＝∠CPO＝90°，
∴∠CPO＝∠CPH＝60°，
∵△PEF是等边三角形，
∴∠EPF＝60°，PE＝PF，
∵OP⊥OC，PH⊥CH，
∴OP＝PH，
∴Rt△OPE≌Rt△HPF（HL），
∴∠OPE＝∠HPF，
∴∠OPE＝∠CPE＝∠CPO＝30°．
【点评】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．
24．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D和点M分别在AC和BC上，，CN⊥MD，垂足N在MD的延长线上．
（1）如图①，当点M与点B重合时，
①∠DCN的度数为 22.5 °；
②证明：；
（2）如图②，当点M在线段BC上时（点M与B、C不重合），CN和MD的数量关系是否会发生变化？若有变化，请求出变化后的数量关系，若没有变化，请说明理由．
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质得出∠CMD＝22.5°，由直角三角形的性质可得出答案；
②延长CN、BA交于点H，证明△ABD≌△ACH（ASA），得出BD＝CH，证明△CNB≌△HNB（ASA），得出CN＝HN＝CH，则可得出结论；
（2）过点M作MG⊥CA，交CN的延长线于点H，同（1）的方法可得出结论．
【解答】（1）①解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝45°，
∵，
∴∠CMD＝22.5°，
∵CN⊥MD，
∴∠CND＝90°，
∴∠CND＝∠BAC，
∵∠ADB＝∠CDN，
∴∠DCN＝∠ABD＝22.5°，
故答案为：22.5；
②证明：延长CN、BA交于点H，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，
∴AB＝AC，∠ABC＝∠CAH＝90°，
∵BD⊥CN，
∴∠CNB＝∠CAH＝90°，
∴∠ABH＝∠ACH＝90°﹣∠H，
在△ABD和△ACH中，
，
∴△ABD≌△ACH（ASA），
∴BD＝CH，
∵∠CMD＝∠ABC，
∴∠NCB＝∠EBH，
在△CNB和△HNB中，
，
∴△CNB≌△HNB（ASA），
∴CN＝HN＝CH，
∴CN＝DB．
（2）解：CN和MD的数量关系不会发生变化．
理由：过点M作MG⊥CA，交CN的延长线于点H，
则AB∥MG，
∴∠ABC＝∠GMC，
∵∠CMD＝∠ABC，
∴∠CMD＝∠CMG，
由（1）可知△MGD≌△CGH，
∴MD＝CH，
同（1）可知CH＝2CN，
∴CN＝MD．
【点评】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解本题的关键是熟练掌握以上知识．
25．（12分）【阅读材料】把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题中都有着广泛的应用．
例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．②求x2+6x+11的最小值．
解：原式＝a2+6a+9﹣1
＝（a+3）2﹣12
＝（a+3﹣1）（a+3+1）
＝（a+2）（a+4）
解：原式＝x2+6x+9+2
＝（x+3）2+2
∵（x+3）2≥0，
∴（x+3）2+2≥2，
即x2+6x+11的最小值为2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）当x为何值时，多项式x2+4x﹣6有最小值？请求出这个最小值；
（2）若x2+5x+2＝0，求的值；
（3）证明：关于x的二次三项式x2+8x+20在实数范围内不能因式分解．
【分析】（1）利用题中所给配方法进行计算即可．
（2）利用整体思想进行计算即可．
（3）证明方程x2+8x+20＝0无实数根即可．
【解答】（1）解：因为x2+4x﹣6＝x2+4x+4﹣10＝（x+2）2﹣10，
又因为（x+2）2≥0，
所以（x+2）2﹣10≥﹣10，
故当x＝﹣2时，多项式x2+4x﹣6有最小值，最小值为﹣10．
（2）解：由题知，
原式＝2（x2+5x）+x﹣．
因为x2+5x+2＝0，
所以x2+5x＝﹣2，2+x2＝﹣5x，
则原式＝2×（﹣2）+x+
＝
＝
＝﹣5﹣4
＝﹣9．
（3）证明：令x2+8x+20＝0，
则Δ＝82﹣4×1×20＝﹣16＜0，
所以方程x2+8x+20＝0无实数根，
所以关于x的二次三项式x2+8x+20在实数范围内不能因式分解．
【点评】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质﹣偶次方、实数范围内分解因式、分式的化简求值、解一元二次方程﹣公式法、解一元二次方程﹣因式分解法及根的判别式，熟知公式法及因式分解法解一元二次方程的步骤及一元二次方程根的判别式是解题的关键．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
C
D
A
B
C
D