+四川省成都市温江区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷

这是一份+四川省成都市温江区2024-2025学年九年级上学期期末数学试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）一个不透明的袋子中有若干个黄色和白色的两种小球，这些球除颜色外其他完全相同．已知黄球有6个，每次摸球前先将袋子中的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，估计袋子中白球的个数是（ ）
A．10B．12C．14D．15
3．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣12B．﹣9C．9D．12
4．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，AC交l1，l2，l3于点A，B，C，DF交l1，l2，l3于点D，E，F，，DE＝6，则DF＝（ ）
A．8B．10C．12D．16
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，4）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x3＜x2＜x1
7．（4分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．B．∠B＝∠ADEC．D．∠C＝∠AED
8．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论错误是（ ）
A．3a+c＞0
B．a+b+c＜0
C．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小
D．若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
9．（4分）烛光照射下人的影子属于 投影．（填“平行”或“中心”）
10．（4分）已知x＝2是关于x的方程x2﹣5x+m＝0的一个根，则m＝ ．
11．（4分）如图，△ABC和△DEF是位似图形，点O是它们的位似中心，若△ABC与△DEF的面积之比为1：4，则的值为 ．
12．（4分）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x的增大而增大，那么m的取值范围是 ．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AE与BD相交于点F，若BE：EC＝2：3，则BF：FD的值为 ．
三、解答题：本大题共5个小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14．（12分）（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
15．（8分）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ ，B等级对应扇形的圆心角的度数为 ；
（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生3000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
16．（8分）户外天幕是一种用于户外活动的遮阳和防雨装备，适用于露营、野餐、露天音乐会等各种场合．如图，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，通过拉绳可控制天幕的开合．幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB于点O，∠BAD＝70°，如果通过拉绳将∠BAD减少10°，那么点D下降了多少米？（结果精确到0.01m；参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
17．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD，AC分别相交于点F，G，AF2＝FG•FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）若AC＝6，BC＝7，G为AC的中点，求CD的长．
18．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
（1）求点A坐标及反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）在y轴上存在一点P，使△PDC与△AOD相似，求P点的坐标．
一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
19．（4分）已知，且a+b﹣2c＝3，则a的值是 ．
20．（4分）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+n2﹣mn的值是 ．
21．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为BC边上一动点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．若BC＝4，EF＝EC时，则AB＝ ．
22．（4分）如图，一次函数y＝﹣x+4与反比例函数在第一象限交于点C，D，与坐标轴分别交于点A，B．若AC＝CD，则k的值为 ．
23．（4分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，y1），B（t+1，y2），C（t+3，y3）三点都在抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）上．若y1＜y3＜y2，则t的取值范围是 ；若无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有两个点在x轴的下方，则a的取值范围是 ．
二、解答题：本大题共3个小题，共30分。
24．（8分）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台10月份的水果销售量是50000kg，12月份的水果销售量是72000kg．
（1）若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某店铺的水果进价为6元/kg，若售价为10元/kg，每天能销售200kg，售价每降价0.1元，每天可多售出20kg．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）已知抛物线L：y＝a（x﹣3）2﹣4a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第一象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a＝1时，若S△BCD＝S△ABC，求tan∠BAD的值；
（3）将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移2a个单位长度，得到抛物线L′．点P是抛物线L′上一动点，PA+PB的最小值为4，求a的取值范围．
26．（12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和DBE中，AB＝DB＝3，BC＝BE＝4，∠ABC＝∠DBE＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接AD，CE，在纸片DBE绕点B旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片DBE绕点B旋转过程中，当点A恰好落在△DBE的DE边上时，BE交AC于点F，求CF的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在纸片DBE绕点B旋转过程中，当AC的中点M恰好落在△DBE的DE边上时，DE与BC相交于点P，求CP的长．
2024-2025学年四川省成都市温江区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（4分）如图是一个空心圆柱体，其俯视图是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
【解答】解：该空心圆柱体的俯视图是
故选：D．
【点评】本题考查了简单几何体的三视图，从上边看得到的图形是俯视图．
2．（4分）一个不透明的袋子中有若干个黄色和白色的两种小球，这些球除颜色外其他完全相同．已知黄球有6个，每次摸球前先将袋子中的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，估计袋子中白球的个数是（ ）
A．10B．12C．14D．15
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可．
【解答】解：∵通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3
∴根据题意任意摸出1个，摸到黄球的概率是：0.3，
设袋中白球的个数为a个，
则0.3＝．
解得：a＝14，
∴白球的个数为：14个．
故选：C．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝是解题关键．
3．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，则实数c的值为（ ）
A．﹣12B．﹣9C．9D．12
【分析】利用一元二次方程根的判别式即可解决问题．
【解答】解：因为关于x的一元二次方程x2﹣6x+c＝0有两个相等的实数根，
所以Δ＝（﹣6）2﹣4×1×c＝0，
解得c＝9．
故选：C．
【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．
4．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，AC交l1，l2，l3于点A，B，C，DF交l1，l2，l3于点D，E，F，，DE＝6，则DF＝（ ）
A．8B．10C．12D．16
【分析】根据平行线分线段成比例可得＝，即可求出EF，即可求出DF的长．
【解答】解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵＝，DE＝6，
∴＝，
∴EF＝10，
∴DF＝6+10＝16．
故选：D．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
5．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】先利用勾股定理计算出AB，然后根据三角函数的定义对各选项进行判断．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝＝13，
∴sinA＝＝，csB＝＝，tanA＝＝，tanB＝＝．
故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理，熟练掌握锐角三角函数的定义的关键．
6．（4分）若点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，4）都在反比例函数的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（ ）
A．x1＜x2＜x3B．x1＜x3＜x2C．x2＜x1＜x3D．x3＜x2＜x1
【分析】根据k＝4＞0可得反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中，y随x的增大而减小，由此即可求解．
【解答】解：∵k＝4＞0，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，每个象限中，y 随 x的增大而减小，
∵点A（x1，﹣1），B（x2，1），C（x3，4）都在反比例函数的图象上，
∴点A（x1，﹣1）在第三象限，B（x2，1），C（x3，4）在第一象限，
∴x1＜x3＜x2，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键．
7．（4分）如图，下列条件不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．B．∠B＝∠ADEC．D．∠C＝∠AED
【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
【解答】解：由图得：∠A＝∠A
∴当∠B＝∠ADE或∠C＝∠AED或AE：AC＝AD：AB时，△ABC与△ADE相似；
也可AE：AD＝AC：AB．
C选项中角A不是成比例的两边的夹角．
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
8．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论错误是（ ）
A．3a+c＞0
B．a+b+c＜0
C．当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小
D．若方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，可得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x＝1时a+b+c＜0，据此判断B选项即可；
根据抛物线的对称轴 x＝﹣ ＝﹣1，可得b＝2a，然后根据a+b+c＜0，判断出3a+c＜0，据此判断A选项错误；
根据抛物线的对称轴x＝﹣1，开口向下，据此判断选项C即可；根据y＝ax2+bx+c的最大值是2，可得方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2，据此判断选项D即可．
【解答】解：∵抛物线的对称轴x＝﹣1，开口向下，
∴当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而减小，
∴选项C正确，
∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，
∴当x＝1时a+b+c＜0，
∴选项B正确，
∵y＝ax2+bx+c的最大值是2，
∴方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，则m＞2，
∴选项D正确，
∵抛物线的对称轴x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵a+b+c＜0，
∴a+2a+c＜0，
∴3a+c＜0，
∴选项A错误．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。
9．（4分）烛光照射下人的影子属于 中心 投影．（填“平行”或“中心”）
【分析】根据中心投影的概念填写即可．
【解答】解：烛光发出的光线可以看成是从一点发出的光线，像这样的光线所形成的投影叫做中心投影，烛光照射下人的影子属于中心投影．
故答案为：中心．
【点评】本题主要考查了中心投影和平行投影的概念，熟知中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影是解题的关键．
10．（4分）已知x＝2是关于x的方程x2﹣5x+m＝0的一个根，则m＝ 6 ．
【分析】把x＝2代入方程把问题转化为关于m的乘方 方程求解．
【解答】解：∵x＝2是关于x的方程x2﹣5x+m＝0的一个根，
∴4﹣10+m＝0，
∴m＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查解一元二次方程的解，解题的关键是理解方程解的定义．
11．（4分）如图，△ABC和△DEF是位似图形，点O是它们的位似中心，若△ABC与△DEF的面积之比为1：4，则的值为 1：2 ．
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，AB∥DE，根据相似三角形的性质得到＝，证明△AOB∽△DOE，再根据相似三角形的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是位似图形，
∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，
∵△ABC与△DEF的面积之比为1：4，
∴△ABC与△DEF的相似比为1：2，即＝，
∵AB∥DE，
∴△AOB∽△DOE，
∴＝＝，
故答案为：1：2．
【点评】本题考查的是位似变换，掌握位似图形的概念、相似三角形的性质是解题的关键．
12．（4分）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x的增大而增大，那么m的取值范围是 m＜﹣1 ．
【分析】根据反比例函数的性质：当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．可得到m+1＜0，解不等式即可．
【解答】解：∵在所在象限内，y的值随x的增大而增大，
∴m+1＜0，
解得：m＜﹣1，
故答案为：m＜﹣1．
【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是熟练掌握反比例函数的性质．
13．（4分）如图，在▱ABCD中，点E在BC上，AE与BD相交于点F，若BE：EC＝2：3，则BF：FD的值为 ．
【分析】先由平行四边形的性质得AD∥BE，AD＝BC，从而∠ADF＝∠EBF，结合对顶角相等，可证△ADF∽△EBF，再利用相似三角形的性质得比例式，然后结合已知比例式求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BE，AD＝BC，
∴∠ADF＝∠EBF，
又∵∠AFD＝∠EFB，
∴△ADF∽△EBF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
三、解答题：本大题共5个小题，共48分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
14．（12分）（1）计算：．
（2）解方程：x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、绝对值计算即可求解；
（2）用配方法解答即可．
【解答】解：（1）原式＝+2﹣+2024﹣2×
＝+2﹣+2024﹣1
＝2025；
（2）x2﹣2x﹣4＝0，
移项，得x2﹣2x＝4，
配方，得x2﹣2x+1＝4+1，即（x﹣1）2＝5，
解得x﹣1＝±
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂、实数的运算，解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15．（8分）某学校为扎实推进劳动教育，把学生参与劳动教育情况纳入积分考核．学校随机抽取了部分学生的劳动积分（积分用x表示）进行调查，整理得到如下不完整的统计表和扇形统计图．
请根据以上图表信息，解答下列问题：
（1）统计表中m＝ 10 ，B等级对应扇形的圆心角的度数为 72° ；
（2）学校规定劳动积分大于等于80的学生为“劳动之星”．若该学校共有学生3000人，请估计该学校“劳动之星”大约有多少人；
（3）A等级中有两名男同学和两名女同学，学校从A等级中随机选取2人进行经验分享，请用列表法或画树状图法，求恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率．
【分析】（1）由D等级的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可求出m的值，用360°乘以B等级所占百分比即可求出B等级对应扇形的圆心角的度数；
（2）由该学校共有学生人数乘以该学校“劳动之星”所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）抽取的学生人数为：9÷18%＝50（人），
∴m＝50﹣4﹣24﹣9﹣3＝10，
B等级对应扇形的圆心角的度数为：360°×＝72°．
故答案为：10，72°；
（2）3000×＝840（人），
答：估计该学校“劳动之星”大约有840人；
（3）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽取一名男同学和一名女同学的结果有8种，
∴恰好抽取一名男同学和一名女同学的概率为．
【点评】本题考查了树状图法以及频数分布表和扇形统计图等知识，树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．解答本题的关键是熟练掌握概率的求法：概率＝所求情况数与总情况数之比．
16．（8分）户外天幕是一种用于户外活动的遮阳和防雨装备，适用于露营、野餐、露天音乐会等各种场合．如图，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，通过拉绳可控制天幕的开合．幕布宽AC＝AD＝2m，CD⊥AB于点O，∠BAD＝70°，如果通过拉绳将∠BAD减少10°，那么点D下降了多少米？（结果精确到0.01m；参考数据：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【分析】根据垂直定义可得：∠AOD＝90°，然后求出当∠BAD＝70°时，当∠BAD＝60°时，AO的长，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴∠AOD＝90°，
当∠BAD＝70°时，
在Rt△AOD中，AD＝2m，
∴AO＝AD•cs70°≈2×0.34＝0.68（m），
当∠BAD＝60°时，
在Rt△AOD中，AD＝2m，
∴AO＝AD•cs60°＝2×＝1（m），
∴1﹣0.68＝0.32（m），
∴点D下降了约0.32米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
17．（10分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD，AC分别相交于点F，G，AF2＝FG•FE．
（1）求证：△CAD∽△CBG；
（2）若AC＝6，BC＝7，G为AC的中点，求CD的长．
【分析】（1）由AE∥BC，得∠E＝∠CBG，由AF2＝FG•FE，得＝，因为∠GFA＝∠AFE，所以△GFA∽△AFE，则∠CAD＝∠E，所以∠CAD＝∠CBG，而∠C＝∠C，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△CAD∽△CBG；
（2）由AC＝6，G为AC的中点，得CG＝AG＝AC＝3，而BC＝7，由相似三角形的性质得＝＝，则CD＝CG＝．
【解答】（1）证明：∵AE∥BC，
∴∠E＝∠CBG，
∵AF2＝FG•FE，
∴＝，
∵∠GFA＝∠AFE，
∴△GFA∽△AFE，
∴∠GAF＝∠E，即∠CAD＝∠E，
∴∠CAD＝∠CBG，
∵∠C＝∠C，
∴△CAD∽△CBG．
（2）解：∵AC＝6，BC＝7，G为AC的中点，
∴CG＝AG＝AC＝×6＝3，
∵△CAD∽△CBG，
∴＝＝，
∴CD＝CG＝×3＝，
∴CD的长是．
【点评】此题重点考查平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出∠CAD＝∠CBG，进而证明△CAD∽△CBG是解题的关键．
18．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点B的坐标为（﹣2，﹣2）．
（1）求点A坐标及反比例函数的表达式；
（2）求△OAB的面积；
（3）在y轴上存在一点P，使△PDC与△AOD相似，求P点的坐标．
【分析】（1）将点B（﹣2，﹣2）代入之中求出k的值即可得出反比例函数的表达式，解方程组即可得出点A的坐标；
（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，AE，BF的延长线交于点H，分别求出S△ABH＝9，S矩形EOFH＝2，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得S△AOE＝S△BOF＝2，由此即可得出△OAB的面积；
（3）过点A作AM∥y轴交x轴于点M，则AM＝1，OM＝4，再求出点C（2，0），点D（0，﹣1），则OD＝1，OC＝2，进而得OC＝MC＝2，再利用勾股定理分别求出AC＝CD＝，则AD＝，根据x轴上存在一点P，使△PDC与△AOD相似，因此有以下两种情况：①当∠DPC＝∠DOA时，则△PDC∽△ODA，利用相似三角形的性质求出PD＝，进而得OP＝，由此可得点P的坐标；②当∠DCP＝∠DOA时，则△PDC∽ADO，利用相似三角形的性质求出PD＝10，进而得OP＝9，由此可得点P的坐标，综上所述即可得出答案．
【解答】解：（1）∵点B（﹣2，﹣2）在反比例函数的图象上，
∴k＝（﹣2）×（﹣2）＝4，
∴反比例函数的表达式为：，
解方程组：，
得：，，
∴点A的坐标为（4，1），反比例函数的表达式为；
（2）过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，AE，BF的延长线交于点H，如图1所示：
则∠HEO＝∠EOF＝∠OFH＝90°，
∴四边形EOFH是矩形，
∵点A（4，1），点B（﹣2，﹣2），
∴AE＝4，OE＝FH＝1，BF＝2，OF＝EH＝2，
∴BH＝BF+HF＝3，AH＝AE+EH＝6，
∴S△ABH＝BH•AH＝＝9，
根据反比例函数比例系数k的几何意义得：S△AOE＝S△BOF＝＝2，
又∵S矩形EOFH＝OE×OF＝1×2＝2，
∴S△OAB＝S△ABH﹣S矩形EOFH﹣S△AOE﹣S△BOF＝9﹣2﹣2﹣2＝3；
（3）过点A作AM∥y轴交x轴于点M，如图2所示：
∵点A（4，1），
∴AM＝1，OM＝4，
对于一次函数y＝（1/2）x﹣1，当x＝0时，y＝﹣1，y＝0时，x＝2，
∴点C（2，0），点D（0，﹣1），
∴OD＝1，OC＝2，
∴OD＝AM＝1，MC＝OM﹣OC＝4﹣2＝2，
∴OC＝MC＝2，
在Rt△ACM中，AM＝1，MC＝2，
由勾股定理得：AC＝＝，
在Rt△OCD中，OC＝2，OD＝1，
由勾股定理得：CD＝＝，
∴CD＝CA＝，
∴AD＝CD+CA＝，
∵x轴上存在一点P，使△PDC与△AOD相似，
∴有以下两种情况，
①当∠DPC＝∠DOA时，如图3所示：
又∵PDC＝∠ODA，
∴△PDC∽△ODA，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝，
∴OP＝OD﹣PD＝＝，
∴点P的坐标是；
②当∠DCP＝∠DOA时，如图4所示：
又∵∠PDC＝∠ADO，
∴△PDC∽ADO，
∴＝，
∴＝，
∴PD＝10，
∴OP＝PD﹣OD＝10﹣1＝9，
∴点P的坐标是（0，9），
综上所述：点P的坐标是或（0，9）．
【点评】此题主要考查了反比例函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，理解反比例函数比例系数k的几何意义，熟练掌握求反比例函数与一次函交点坐标的方法，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点．
一、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分。
19．（4分）已知，且a+b﹣2c＝3，则a的值是 6 ．
【分析】设a＝6k，b＝5k，c＝4k，代入得出6k+5k﹣8k＝3，求出k即可．
【解答】解：设＝＝＝k，
则a＝6k，b＝5k，c＝4k，
∵a+b﹣2c＝3，
∴6k+5k﹣8k＝3，
∴k＝1，
∴a＝6k＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查了比例的性质，利用比例的性质正确表示出各数是解题关键．
20．（4分）若m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，则m2+n2﹣mn的值是 31 ．
【分析】先根据韦达定理得出m+n＝5，mn＝﹣2，再将其代入m2+n2﹣mn＝（m+n）2﹣3mn计算即可．
【解答】解：∵m，n是一元二次方程x2﹣5x﹣2＝0的两个实数根，
∴m+n＝5，mn＝﹣2，
则m2+n2﹣mn
＝m2+n2+2mn﹣3mn
＝（m+n）2﹣3mn
＝52﹣3×（﹣2）
＝25+6
＝31，
故答案为：31．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
21．（4分）如图，在矩形ABCD中，E为BC边上一动点，连接AE，将△ABE沿AE翻折，使点B恰好落在对角线BD上点F处，AE交BD于点G．若BC＝4，EF＝EC时，则AB＝ 2 ．
【分析】由折叠的性质得到BE＝EF，AE⊥BF，由余角的性质推出∠AEB＝∠BDC，判定△ABE∽△BCD，推出AB：BC＝BE：CD，即可求出AB＝2．
【解答】解：由折叠的性质得到：BE＝EF，AE⊥BF，
∴∠AEB+∠CBD＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠ABE＝90°，AB＝CD，
∴∠BDC+∠CBD＝90°，
∴∠AEB＝∠BDC，
∴△ABE∽△BCD，
∴AB：BC＝BE：CD，
∵EF＝EC，
∴BE＝EC＝BC＝×4＝2，
∴AB：4＝2：AB，
∴AB＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查折叠问题，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由折叠的性质得到BE＝EC，判定△ABE∽△BCD，推出AB：BC＝BE：CD．
22．（4分）如图，一次函数y＝﹣x+4与反比例函数在第一象限交于点C，D，与坐标轴分别交于点A，B．若AC＝CD，则k的值为 ．
【分析】过D作DF⊥OA，过C作CE⊥OA，设C（m，n），由CE∥DF，AC＝CD可得
＝＝，进而求得D（2m﹣4，2n），根据（2m﹣4）×2n＝mn，求得m，n的值，即可求出k．
【解答】解：由题意可得：
A（4，0），
过D作DF⊥OA，过C作CE⊥OA，
设C（m，n），
由CE∥DF，AC＝CD可得：
＝＝，
则DF＝2n，D在y＝﹣x+4上，
AE＝4﹣m，
AF＝8﹣2m，
OF＝2m﹣4，
故D（2m﹣4，2n），
∴（2m﹣4）×2n＝mn
m＝，代入到y＝﹣x+4中可得：
n＝；
∴k＝mn＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点个数问题，将交点个数问题转化成方程根的个数问题是解题的关键．
23．（4分）在平面直角坐标系xOy中，A（t，y1），B（t+1，y2），C（t+3，y3）三点都在抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）上．若y1＜y3＜y2，则t的取值范围是 t ；若无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有两个点在x轴的下方，则a的取值范围是 ﹣＜a＜0 ．
【分析】求得对称轴是直线x＝2，进而根据二次函数的性质得2﹣t＞t+3﹣2，解得t；当Δ＝16a2+12a＜0时，符合题意，又设抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）与x轴交点横坐标为x1、x2，则1+x2＝4，x1x2＝﹣，又无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有两个点在x轴的下方，从而|x1﹣x2|＜1，故0≤（x1+x2）2﹣4x1x2＜1，进而计算可以得解．
【解答】解：抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）的开口向下，对称轴是直线x＝﹣＝2，
∵y1＜y3＜y2，
∴A（t，y1）在对称轴的左侧，C（t+3，y3）在对称轴的右侧，且2﹣t＞t+3﹣2，
∴t，
∵抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有两个点在x轴的下方，
∴当Δ＝16a2+12a＜0时，符合题意，
∴﹣＜a＜0．
又当抛物线与x轴有交点时，
设抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（a＜0）与x轴交点横坐标为x1、x2，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣，
∵无论t取任何实数，点A，B，C中都至少有两个点在x轴的下方，
∴0≤|x1﹣x2|＜1，
∴0≤（x1+x2）2﹣4x1x2＜1，
即0≤16﹣4×＜1，
∴﹣．
综上，﹣＜a＜0．
故答案为：t，﹣＜a＜0．
【点评】题主要考查了二次函数与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
二、解答题：本大题共3个小题，共30分。
24．（8分）推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，据统计某电商平台10月份的水果销售量是50000kg，12月份的水果销售量是72000kg．
（1）若该平台10月份到12月份销售的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某店铺的水果进价为6元/kg，若售价为10元/kg，每天能销售200kg，售价每降价0.1元，每天可多售出20kg．水果的售价为多少元时，每天可获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）设月平均增长率是x，利用12月份的水果销售量＝10月份的水果销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设售价降低x元，利润为w，则水果的销售利润为（4﹣x）元/kg，每天的销售量为[200+200x]件，列出函数关系式解答即可．
【解答】解：（1）设月平均增长率是x，由题意得：50000（1+x）2＝72000，
解得：x1＝﹣2.2（不合题意，舍去），x2＝0.2＝20%，
答：月平均增长率是20%；
（2）设售价降低x元，利润为w，
∴w＝（4﹣x）（200+200x）＝﹣200（x﹣1.5）2+1250，
∵﹣200＜0，
∴降价1.5元，即售价为8.5元时，每天可获得最大利润为1250元．
【点评】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二次函数表达式是解题的关键．
25．（10分）已知抛物线L：y＝a（x﹣3）2﹣4a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），其顶点为C，D是抛物线第一象限上一点．
（1）求线段AB的长；
（2）当a＝1时，若S△BCD＝S△ABC，求tan∠BAD的值；
（3）将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移2a个单位长度，得到抛物线L′．点P是抛物线L′上一动点，PA+PB的最小值为4，求a的取值范围．
【分析】（1）在y＝a（x﹣3）2﹣4a（a＞0）中，当y＝0时，a（x﹣3）2﹣4a＝0，解得：x1＝1，x2＝5，求得点A、B的坐标，即可求得答案；
（2）当a＝1时，利用待定系数法可得直线BC的解析式为y＝2x﹣10，连接AD，过点D作DE⊥x轴于点E，由S△BCD＝S△ABC，可得AD∥BC，可得直线AD的解析式为y＝2x﹣2，联立方程求得D（7，12），再运用正切函数定义即可求得答案；
（3）由平移得新抛物线L′：y＝a（x﹣3﹣a）2﹣4a﹣2a＝a（x﹣3﹣a）2﹣6a，再由PA+PB的最小值为4，且AB＝4，可知：点P在线段AB上，即抛物线L′的对称轴左侧与x轴的交点为P，将点B的坐标代入L′，求得a的最大值即可．
【解答】解：（1）在y＝a（x﹣3）2﹣4a（a＞0）中，
当y＝0时，a（x﹣3）2﹣4a＝0，
解得：x1＝1，x2＝5，
∴A（1，0），B（5，0），
∴AB＝5﹣1＝4；
（2）当a＝1时，y＝（x﹣3）2﹣4＝x2﹣6x+5，
∴顶点C（3，﹣4），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，把B（5，0），C（3，﹣4）代入，
得，
解得：，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣10，
如图1，连接AD，过点D作DE⊥x轴于点E，
∵S△BCD＝S△ABC，
∴AD∥BC，
∴设直线AD的解析式为y＝2x+n，把A（1，0）代入，得2+n＝0，
解得：n＝﹣2，
∴直线AD的解析式为y＝2x﹣2，
联立得，
解得：（舍去），，
∴D（7，12），
∴E（7，0），
∴DE＝12，AE＝7﹣1＝6，
∴tan∠BAD＝＝＝2；
（3）∵将抛物线L的图象先向右平移a个单位长度，再向下平移2a个单位长度，得到抛物线L′，
∴y＝a（x﹣3﹣a）2﹣4a﹣2a＝a（x﹣3﹣a）2﹣6a，
把B（5，0）代入得：a（2﹣a）2﹣6a＝0，
∵a＞0，
∴（2﹣a）2﹣6＝0，
解得：a1＝2+，a2＝2﹣（舍去），
∵PA+PB的最小值为4，且AB＝4，
∴点P在线段AB上，即抛物线L′的对称轴左侧与x轴的交点为P，
∴0＜a≤2+．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的性质、两点之间的距离、一次函数的性质、求正切值、二次函数的平移、线段和的最小值问题，解题的关键是熟悉二次函数的性质和平移过程中数形结合思想的应用．
26．（12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片ABC和DBE中，AB＝DB＝3，BC＝BE＝4，∠ABC＝∠DBE＝90°．
【初步感知】
（1）如图1，连接AD，CE，在纸片DBE绕点B旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片DBE绕点B旋转过程中，当点A恰好落在△DBE的DE边上时，BE交AC于点F，求CF的长．
【拓展延伸】
（3）如图3，在纸片DBE绕点B旋转过程中，当AC的中点M恰好落在△DBE的DE边上时，DE与BC相交于点P，求CP的长．
【分析】（1）根据△ABC≌△DBE得出，∠ABC＝∠DBE，进而得出△ABD∽△EBC，从而得出结果；
（2）如图1，作BG⊥DE于G，作AH⊥BD于H，作FT⊥BC于T，根据面积法得出BG的值，可求得DG和AD的长，根据S△ABD＝可求得AH的长，进而得出BH的长，可得出tan∠CBF＝tan∠ABH＝，从而得出，设BT＝7k，FT＝24k，可表示出CT和CF的值，进而根据BT+CT＝4得出7k+32k＝4，从而求得k的值，进一步得出结果；
（3）连接BM，作MF⊥BC于M，作MQ⊥BE于Q，可设MQ＝3a，EQ＝4a，则EM＝5a，在Rt△BMQ中，根据勾股定理得出方程，求得a的值，从而求得EM的值，可证得△BMP∽△EMB，从而，从而求得PM的值，进一步得出结果．
【解答】解：（1）∵△ABC≌△DBE，
∴，∠ABC＝∠DBE，
∴∠ABC﹣∠ABE＝∠DBE﹣∠ABE，
∴∠ABD＝∠CBE，
∴△ABD∽△EBC，
∴；
（2）如图1，
作BG⊥DE于G，作AH⊥BD于H，作FT⊥BC于T，
∵S△BDE＝，
∴BG＝，
在Rt△BDG和Rt△BDE中，
∵csD＝，
∴，
∴DG＝，
∵BD＝AB，
∴AD＝2DG＝，
由S△ABD＝得，
3•AH＝，
∴AH＝，
∴BH＝＝＝，
∴tan∠CBF＝tan∠ABH＝，
∴，
设BT＝7k，FT＝24k，
∵tanC＝，sinC＝，
∴，，
∴CT＝32k，CF＝40k，
由BT+CT＝4的，
7k+32k＝4，
∴k＝，
∴CF＝40k＝；
（3）如图2，
连接BM，作MF⊥BC于M，作MQ⊥BE于Q，
∵∠ABC＝90°，点M是AC的中点，
∴BM＝CM＝AC＝，
∴BF＝CF＝BC，
∴FM＝AB＝，
∵tanE＝，
∴设MQ＝3a，EQ＝4a，则EM＝5a，
在Rt△BMQ中，BQ＝BE﹣EQ＝4﹣4a，MQ＝3a，
∴，
∴a＝（舍去），a＝，
∴EM＝5a＝，
∵BM＝CM，
∴∠CBM＝∠C，
∵∠C＝∠E，
∴∠CBM＝∠E，
∵∠PMB＝∠BME，
∴△BMP∽△EMB，
∴，
∴PM＝＝，
在Rt△PMF中，
PF＝＝，
∴CP＝CF﹣PF＝2﹣＝．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/1/28 21:57:50；用户：柊一飒；邮箱：15166229392；学号：40009272等级
劳动积分
人数
A
x≥90
4
B
80≤x＜90
m
C
70≤x＜80
24
D
60≤x＜70
9
E
x＜60
3
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
C
D
D
B
C
A
等级
劳动积分
人数
A
x≥90
4
B
80≤x＜90
m
C
70≤x＜80
24
D
60≤x＜70
9
E
x＜60
3