安徽省阜阳第一中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

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时间：120分钟 满分：150分
第I卷
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y=− 3x+1的倾斜角为( )
A. 5π6B. 2π3C. π3D. π6
【答案】B
解：设直线的直线y=− 3x+1的倾斜角为α，α∈[0,π),
则tanα=− 3，∴α=2π3.
2.如图，M是三棱锥P−ABC的底面ΔABC的重心．若PM=xPA+yPB+2zPC(x、y、z∈R)，则x+y−z的值为( )
A. 1 B. 12 C. −13 D. −12
【答案】B
解：∵M是三棱锥P−ABC的底面ΔABC的重心，
∴AM=AP+PM=13AB+AC=13AP+PB+AP+PC
即PM=13PA+13PB+13PC，又PM=xPA+yPB+2zPC(x、y、z∈R)，
∴x=y=2z=13，∴x=13，y=13，z=16，
∴x+y−z=12故选：B.
3.已知公差不为零的等差数列{an}中，a3+a5+a7=12，a1，a3，a6成等比数列，则等差数列{an}的前8项和S8为 ( )
A. 20B. 30C. 35D. 40
【答案】B 解：公差d不为零的等差数列{an}中，a3+a5+a7=12，
可得3a5=12，即a5=4，即a1+4d=4，①
a1，a3，a6成等比数列，可得a1a6=a32，即a1(a1+5d)=(a1+2d)2，②
解①②方程可得a1=2，d=12，前8项和S8=8×2+1122=30，
4.过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线方程为( )
A. x+2y−5=0B. 2x+y−4=0
C. x+3y−7=0D. 3x+y−5=0
【答案】A
解：要使过点P(1,2)的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线PO垂直，
由kOP=2−01−0=2，则所求直线l的斜率为−12，
∴直线l的方程为y−2=−12(x−1)，
即x+2y−5=0．
5.已知圆M:x2+y2−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0,P为l上的动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A,B，当四边形PAMB面积最小时，直线AB的方程为( )
A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0
C. 2x+y+1=0D. 2x−y+1=0
【答案】C
解：化圆M为(x−1)2+(y−1)2=4，
圆心M(1,1)，半径r=2，
∵S四边形PAMB=2S△PAM=|PA|⋅|AM|=2|PA|=2 |PM|2−4，
∴当四边形PAMB面积最小时，则需|PM|最小，此时PM与直线l垂直．
直线PM的方程为y−1=12(x−1)，即y=12x+12，
联立y=12x+122x+y+2=0，解得P(−1,0)，
则以PM为直径的圆的方程为x2+(y−12)2=54，
联立x2+y2−2x−2y−2=0x2+y2−y−1=0，可得直线AB的方程为2x+y+1=0．
6.已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0=1与双曲线C2：x2m2−y2n2=1m>0,n>0有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60∘，若椭圆C1的离心率e1=​22，则双曲线C2的离心率e2=( )
A. 62B. ​72C. 1+​2D. 3
【答案】A
解：设|PF1|=s，|PF2|=t，P为第一象限的交点，
由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a，s−t=2m，
解得s=a+m，t=a−m，
在三角形F1PF2中，∠F1PF2=60°，
可得4c2=s2+t2−2stcs60°=a2+m2+2am+a2+m2−2am−(a2−m2)，
即有a2+3m2=4c2，可得a2c2+3m2c2=4，
即为1e12+3e22=4，由e1= 22，可得e2= 62，
7.在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则QR2=QC⋅QD.如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A−1,0，点P是圆O:x2+y2=4上的任意一点，过点B1,0作直线BT垂直AP于点T，则2PA+3PT的最小值是( )
A. 6 2B. 8 2C. 4 2D. 2 2
【答案】A
解：连接PO，
在△PAB中，因为O是AB的中点，点P是圆O:x2+y2=4上的任意一点，所以PO=12(PA+PB)，平方得|PO→|2=14(|PA→|2+|PB→|2+2|PA→|⋅|PB→|cs∠APB)，
将cs∠APB=|PA|2+|PB|2−|AB|22|PA|⋅|PB|代入可得
|PO|=12 2(|PA|2+|PB|2)−|AB|2=2，因为|AB|=2，所以PA2+PB2=10，
所以cs∠APB=3PA⋅PB，在Rt△PBT，PT=PBcs∠APB=3PA，
所以2|PA|+3|PT|=2|PA|+9|PA|⩾2 18=6 2，
当且仅当2PA=9PA，即PA=3 22时，取等号，
8.已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=(2n−1)·2n，设bn=2n+1nan，Sn为数列{bn}的前n项和．若Sn52，即有524(a远大于4)，
那么其经过1∼6次“ω变换”后得到数列依次为：
4，a，a−4;a−4，4，a−8;a−8，a−12，4;4，a−16，a−12;a−20，4，a−16;a−24，a−20，4
所以数列a，a+4，4经过6次“ω变换”后得到的数列结构也是形如a，a+4，4的数列，
仅除4之外的两项均减小24，
因为2022=24×84+6，
所以数列B3经过6×84=504次“ω变换”后得到数列6，10，4，
接下来经过“ω变换”依次得到4，6，2，2，4，2，2，2，0，0，2，2，
至此数列各项之和最小值为4，K的最小值为1+6×84+3=508．