安徽省阜阳市临泉县临化高级中学2024-2025学年高二上学期期末考试数学试卷（BC班）

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一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．B 2．B 3.C 4．B 5.C 6．D 7．B 8．D
【分析】根据间的关系求出，进而判断A,B；然后求出，根据数列的增减性判断C；最后通过等比数列求和公式求出，进而判断D.
【详解】由题意，时，，又，解得：，
时，，则，又，
所以数列从第2项起是公比为2的等比数列.A错误；
易得，，则，B错误；
时，，时，，而是递减数列，所以时，.
综上：有最大值1.C错误；
时，，满足题意；时，，于是，.D正确.
9．ACD 10.BCD
由可得，即
对于A，若，则点M在圆上，选项A错误
对于B，若，则点轨迹为焦点在轴上的双曲线，B正确
对于C，若，则，即，
可设点，
则，可得C正确
对于D，当时，点M轨迹为，
当垂直于直线，且为圆切线时，此时最大，
此时需满足，即，
由点到直线距离，解得，D正确.
故选；BCD
11．ACD

对于A，取中点，连接，由于分别为棱BD的中点，
所以有，且，
又因为，且，
所以，且，
则四边形是平行四边行，
即，又因为平面，平面，
所以平面，故A正确；
对于B，由于，平面，平面，
所以平面，而N点在线段上运动，、
则点N到平面的距离不变，而为的中点，
所以三角形的面积是定值，即三棱锥的体积是定值，故B错误；

对于C，由直角三角形的外接圆心是点，再取的中点为，
则平面，即三棱锥的外接球的球心在上，
所以设，由棱长为2的正方体可知，
，，又因为，
所以，解得：，
即三棱锥的外接球的表面积为，故C正确；

对于D，建立如图以为原点的空间直角坐标系，可知：，设点的坐标为，
则，
所以有令，则，因为，所以，即
则上式
二次函数在递减，在递增，
所以在有最小值，即，
故上式有最大值，即，
此时线和所成角最小，所以此时，
则，故D正确；
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12.74 13． 14．1或
【详解】由，得，，则，
所以曲线在处的切线方程为，
依题意，直线与圆相切，
则圆心到直线的距离为，解得或，
故答案为：1或
15 .（1）：因为，，所以为等边三角形，，
又，所以，又，
所以.
因为，所以为直角三角形，.
又，，为平面内的两条相交直线，
所以平面，平面，所以，平面平面.
（2）取中点，中点，因为，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又，
故以为原点，建立如图空间直角坐标系，

所以，，，，，.
设，因为，
解得，所以.
设平面的法向量为，
则，取；
设平面的法向量为，
则，取.
那么，，.
由，又，所以.
16．（1）设，则，
由于在抛物线上，所以，即
（2）根据题意可设直线l的方程为
联立，设，
则，
因此
∴面积为
17．（1）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°.设，则.将代入，得.所以椭圆的离心率.
（2）由（1）知，椭圆方程可设为，设，.依题意，直线AB不能与x、y轴垂直，故设直线AB的方程为，将其代入，整理得.
则.
所以.
因为，所以.
因为，
所以.所以的取值范围是.
18．（Ⅰ）由已知，
∵函数图象在点处的切线方程为，
∴，即，．
（Ⅱ），
，，
由得，，，
①当，即时，当变化，，变化情况如下：
∴在和是增函数，在是减函数，
又，，∴函数有一个零点；
②当当，即时，当变化，，变化情况如下：
∴函数在上是增函数，又，函数有一个零点；
③当，即时，
当变化，，变化情况如下：
∴在和是增函数，在是减函数，
又，，∴函数有一个零点；
，，，，
∴当时，此时，函数只有一个零点，
时，，函数有两个零点，
时，，函数有三个零点，
④，即时，由于，因此函数有两个零点，
综上所述，（1）时，函数有一个零点，或时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点．
19．（1），，
；
（2），
当时，
当时，，
所以关于单调递增，
所以，
所以对任意，因此，
所以是等差数列；
（3）设数列和的公差分别为，则
.
所以
①当时，取正整数，则当时，，因此.
此时，是等差数列.
②当时，对任意，
此时，是等差数列.
③当时，
当时，有.
所以

对任意正数，取正整数，
故当时，.
＋
0
－
0
＋
增
极大值
减
极小值
增
＋
0
＋
增
增
＋
0
－
0
＋
增
极大值
减
极小值
增