安徽省含山县第二中学2024-2025学年高二上学期1月期末数学试题

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时间：120分钟 满分：150分
第I卷（选择题）
单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中正确的是( )
A. 已知向量a//b，则存在向量可以与a，b构成空间的一个基底
B. 若两个不同平面α，β的法向量分别是u，v，且u=(1,2,−2)，v=(2,1,2)，则α⊥β
C. 已知三棱锥O−ABC，点P为平面ABC上的一点，且OP=12OA+mOB−nOC(m,n∈R)，则m−n=1
D. 已知A(0,1,0)，B(1,2,0)与AB方向相同的单位向量是(1,1,0)
【答案】B
解：对于A，∵向量a//b，
∴空间内任一向量与a，b共面，
∴不存在向量可以与a，b构成空间的一个基底，故A错误，
对于B，∵u=(1,2,−2)，v=(2,1,2)，
∴u⋅v=1×2+2×1+(−2)×2=0，
∴α⊥β，故B正确，
对于C，∵点P为平面ABC上的一点，且OP=12OA+mOB−nOC(m,n∈R)，
∴12+m−n=1，解得m−n=12，故C错误，
对于D，∵A(0,1,0)，B(1,2,0)，AB=(1,1,0)，
∴与AB方向相同的单位向量是( 22, 22,0)，故D错误．
2.已知等比数列{an}满足a5−a3=8，a6−a4=24，则q=( )
A. 1B. −1C. 3D. −3
【答案】C
解：∵等比数列{an}中，a5−a3=8，a6−a4=24，
设等比数列的公比为q，则有：
a5−a3=8a6−a4=24,即a1q3q2−1=8①a1q4q2−1=24②
②①得：q=3．
3.若直线l的方向向量a=(1,2,−1)，平面α的一个法向量m=(−2,−4,k)，若l⊥α，则实数k=( )
A. 2B. −10C. −2D. 10
【答案】A
解：∵直线l的方向向量a=(1,2,−1)，平面α的一个法向量m=(−2,−4,k)，l⊥α，
∴a//m，∴1−2=2−4=−1k，解得k=2．
4.直线y=x−1过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F，且与C交于A、B两点，则|AB|=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】D
解：根据条件得到抛物线的焦点为(p2,0)，
故0=p2−1，解得p=2，所以抛物线方程为y2=4x，
联立y2=4xy=x−1，整理可得x2−6x+1=0，
则xA+xB=6，所以|AB|=xA+xB+p=6+2=8，
5.过P(0,2)点作直线x+my−4=0的垂线，垂足为Q，则Q到直线x+2y−14=0距离的最小值为( )
A. 3B. 2C. 5D. 6
【答案】C
解：过点(0,2)作直线x+my−4=0的垂线，垂足为Q，
直线x+my−4=0过定点M(4,0)，点P(0,2)，M(4,0)的中点N(2,1)，
∵PQ垂直直线x+my−4=0，∴点Q在以点N(2,1)为圆心，
以|PN|= (2−0)2+(1−2)2= 5为半径的圆上，
其圆的标准方程为：(x−2)2+(y−1)2=5，
圆心N(2,1)到直线x+2y−14=0点距离：
d=|2+2−14| 5=2 5．
∴Q到直线x+2y−14=0的距离最小值为：2 5− 5= 5．
6.已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+2n，且数列{an}的前n项和Sn.若Sn≥λ，则实数λ的取值范围为( )
A. (−∞,0]B. (−∞,1]C. (−∞,2]D. (−∞,−1]
【答案】B
解：由a1=1,an+1=2an+2n， 可得 an+12n+1=an2n+12， 即an+12n+1−an2n=12，
所以an2n是等差数列，公差为12，首项为12，
所以an2n=12+n−1×12=12n，则an=n·2n−1，
数列{an}的前n项和为：
Sn=1×20+2×21+...+n·2n−1，①
2Sn=1×2+2×22+...+n·2n，②
由 ①−②可得
−Sn=1+2+22+...+2n−1−n·2n，
=1−2n1−2−n·2n=1−n·2n−1，
即Sn=2nn−1+1， 由Sn⩾λ，得λ⩽Snmin，
Sn+1−Sn=an+1>0，则数列{Sn}为递增数列，
∴当n=1时， Sn的值最小，即Sn⩾1，所以λ⩽1，
所以实数λ的取值范围为(−∞,1]．
7.设圆x2+y2−4x+4y+7=0上的动点P到直线x+y−32=0的距离为d，则d的取值范围是( )
A. [0,3]B. [2,4]C. [2,5]D. [3,5]
【答案】B
解：把圆x2+y2−4x+4y+7=0化为标准式(x−2)2+(y+2)2=1，
则：圆心(2,−2)到直线x+y−3 2=0的距离d=|2−2−3 2| 2=3>1，
所以：直线和圆相离．
所以圆上的动点P到直线x+y−3 2=0的距离的最大值为dmax=3+1=4，
圆上的动点P到直线的距离的最小值为dmin=3−1=2．
故：2≤d≤4，
即d的取值范围是：[2,4]
8.设F1,F2为椭圆C1:x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2公共的左右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且MF1=2.若椭圆C1的离心率e∈[38,49]，则双曲线C2的离心率取值范围是( )
A. [54,53]B. [32,+∞)C. (1,4]D. [32,4]
【答案】D
解：如图所示：
设双曲线的标准方程：x2a12−y2b12=1(a1>0,b1>0)，
离心率e1=ca1，
椭圆与双曲线的半焦距为c，
由椭圆的定义及其题意可得：
MF2=F1F2=2c，MF1=2a−2c，
由双曲线的定义可得：2a−2c−2c=2a1，即a−2c=a1，
∴1e−2=1e1，∵e∈[38,49]，∴1e∈[94,83]，
∴1e1∈[14,23]，∴e1∈[32,4]．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是( )
A. 直线y=ax−2a+4(a∈R)必过定点2,4．
B. 截距相等的直线都可以用方程x+y=aa∈R表示
C. 直线y=− 33x+1的倾斜角为120​∘
D. 过点(−2,3)且垂直于直线y=12x+32的直线方程为2x+y+1=0
【答案】AD
解：A：由直线方程有 y−4=a(x−2)，故必过点2,4，正确；
B：当直线经过原点时，直线在两坐标轴上的截距相等且为0，如y=x，故不能用方程x+y=aa∈R表示，错误；
C：直线y=− 33x+1的斜率为−​33，则倾斜角为150°，错误；
D：由直线2x+y+1=0和y=12x+32的斜率分别为−2,12，则有−2×12=−1，故相互垂直，将−2,3代入方程2×(−2)+3+1=0，故正确．
10.下列关于圆锥曲线的说法中，正确的是( )
A. 设A､B为两个定点，k为常数，|PA|−|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线的一支
B. 设定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若OP=12(OA+OB)，则动点P的轨迹为椭圆
C. 方程2x2−5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D. 双曲线x225−y29=1与椭圆x235+y2=1有相同的焦点
【答案】CD
解：对于A，|PA|−|PB|=k，当k=0时，动点P的运动轨迹为线段AB的垂直平分线，不是双曲线的一支，故A错误；对于B，∵OP=12(OA+OB)，∴P为弦AB的中点，
不妨设在单位圆x2+y2=1中，定点A(1,0)，动点B(x1,y1)，
设P(x,y)，则x=1+x12y=y12，得到x1=2x−1y1=2y,
则2x−12+2y2=1，即x−122+y2=14，
故P的轨迹方程是x−122+y2=14(x≠1)．
∴点P的轨迹不是椭圆，∴B错误；
对于C，∵2x2−5x+2=0的两根是2，12，椭圆的离心率范围是(0,1)，双曲线的离心率范围是(1,+∞)，∴C正确；
对于D，∵④中双曲线的焦点是(± 34,0)，椭圆的焦点(± 34,0)，∴D正确．
11.如图，P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，E为棱A1B1的中点，O为侧面ADD1A1的中心.下列结论正确的是( )
A. OE⊥平面A1BC1
B. AB与平面A1BC1所成角的余弦值为 33
C. 若点P在各棱上，且到平面A1BC1的距离为 36，则满足条件的点P有9个
D. 若点P在侧面BCC1B1内运动，且满足|PE|=1，则存在P点，使得A1P与BC1所成角为60°
【答案】AC
解：建立如图所示空间直角坐标系，
则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，
C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，O(12,0,12)，E(1,12,1)，
对于A，OE=12,12,12，A1C1=−1,1,0，A1B=0,1,−1，
则OE·A1C1=−12+12+0=0，OE·A1B=0+12−12=0，
可得OE⊥A1C1，OE⊥A1B，
又A1C1∩A1B=A1，A1C1⊂平面A1BC1，A1B⊂平面A1BC1，
所以OE⊥平面A1BC1，故A选项正确；
对于B，AB=0,1,0，
由选项A可知OE=12,12,12是平面A1BC1的一个法向量，
则csOE,AB=OE·ABOE·AB=12 32×1= 33，
即直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值为 33，余弦值为 63，故B选项错误；
对于C，点A到平面A1BC1的距离为d1=OE·ABOE=12 32= 33，
根据平面A1BC1过线段AB1的中点可知，点B1到平面A1BC1的距离等于d1= 33，
同理可得点C和点D1到平面A1BC1的距离也为d1= 33，
点D到平面A1BC1的距离为d2=OE·DBOE=1 32=2 33，
因为点P到平面A1BC1的距离为 36，且点P在棱上，
则当点P分别为棱AB、AA1、BB1、A1B1、B1C1、BC、CC1、A1D1、C1D1的中点时满足条件，
即满足条件的点P有9个，故C选项正确；
对于D，因为EB1⊥平面BCC1B1，B1P⊂平面BCC1B1，所以EB1⊥B1P，
则B1P2+EB12=EP2，可得B1P= 32，
则点P在以B1为圆心， 32为半径的14圆上，
可设P1+ 32csθ,1,1+ 32sinθ，其中θ∈[π,3π2]，
则A1P= 32csθ,1, 32sinθ，BC1=−1,0,1，
设A1P与BC1所成角为α，
可得csα=csA1P,BC1=A1P·BC1A1P·BC1
=|− 32cs⁡θ+ 32sin⁡θ| 72× 2= 217|sin⁡(θ−π4)|，
当θ∈[π,3π2]时，3π4⩽θ−π4⩽5π4，则− 22⩽sin⁡(θ−π4)⩽ 22，
可得cs⁡α= 217|sin⁡(θ−π4)|∈[0, 4214]，
又 4214π3，
故不存在点P，使得A1P与BC1所成角为60°，故D选项错误．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知数列an中，a1=1，且an+1+2an+3=0，n∈N∗，数列an的前n项和为Sn，则S6=_________.
【答案】−48
解：∵an+1+2an+3=0，n∈N∗，即an+1+1=−2(an+1)，
∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项，−2为公比的等比数列，
∴an+1=2·(−2)n−1=−(−2)n，
∴an=−(−2)n−1，
∴S6=a1+a2+…+a6
=[−−21−1]+[−−22−1]+…+[−−26−1]
=−[−21+−22+…+−26]−6×1
=−1×−2×[1−−26]1+2−6=−48．
13.如图所示，已知双曲线x24−y2b12=1(b1>0)和椭圆x29+y2b22=1(b2>0)有共同的右焦点F，记曲线Ω为双曲线的右支和椭圆围成的曲线，若M，N分别在曲线Ω中的双曲线和椭圆上，则△MNF周长的最小值等于_________.
【答案】2
解：设双曲线和椭圆的共同左焦点为F1，所以|NF|+|NF1|=6|MF1|−|MF|=4，
所以△MNF周长为|MN|+|MF|+|NF|=|MN|+|MF1|−4+6−|NF1|，
又因为|MN|+|MF1|≥|NF1|，
所以△MNF周长的最小值等于6−4=2．
14.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，E为AA1的中点，M点是正方形ABB1A1内的动点，若C1M//平面CD1E，则M点的轨迹长度为_________.
【答案】 2
【解析】【分析】
本题考查了空间直角坐标系的应用，平面法向量的确定，利用空间向量判定线面的平行关系，解答本题的关键是建立合理的空间直角坐标系，求出平面CD1E的法向量n，再由C1M//平面CD1E，得C1M·n=0，由此即可判断出点M的运动轨迹，再由此求出M点的轨迹长度即可．
【解答】
解：建立如图所示空间直角坐标系，
由题意可知，C(2,2,0)，D1(2,0,2)，E(0,0,1)，C1(2,2,2)，M(0,y,z)，
∴CD1=(0,−2,2)，ED1=(2,0,1)，C1M=(−2,y−2,z−2)，
设平面CD1E的法向量n=(a,b,c)，
∴CD1·n=0ED1·n=0，即−b+c=02a+c=0，
令a=1，则n=(1,−2,−2)，
∵C1M//平面CD1E，∴C1M·n=0，即y+z−3=0，
∵M是正方形ABB1A1内的动点，∴M点的轨迹长度为 12+12= 2．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AB=5，AD=3，AA1=4，∠DAB=90°，∠BAA1=∠DAA1=60°，E是CC1的中点，设AB=a，AD=b，AA1=c．
(1)用a，b，c表示AE；
(2)求AE的长．
【答案】解：(1)由E是CC1的中点，则CE=12CC1，
根据向量的三角形法则得到
AE=AB+BC+CE=a+b+12c；
(2)∵|AE|2=(a+b+12c)2
=a2+b2+14c2+2a⋅b+a⋅c+b⋅c=25+9+4+0+(20+12)⋅cs60∘=54，
∴|AE|=3 6，即AE的长为3 6．
16.(本小题15分)
已知斜率k=−12且过点A5,−4的直线与直线：x−2y−5=0相交于点C．
(1)求以点C为圆心且过点B4,2的圆C的标准方程；
(2)求过点Q−3,1且与(1)中的圆C相切的直线方程．
【答案】解：(1)l1：y+4=−12(x−5)即x+2y+3=0，l2：x−2y−5=0；
由x+2y+3=0x−2y−5=0，得x=1y=−2，即C(1,−2)．
因为B(4,2)，所以|CB|=5；
所以圆C的方程为：(x−1)2+(y+2)2=25；
(2)因为点Q(−3,1)在圆C上，设过Q点圆的切线方程为l，
当l斜率不存在的时候，x=−3符合题意，
当l斜率存在，可设为k，
则l的方程为y−1=k(x+3)即kx−y+3k+1=0，
点C(1,−2)到直线l的距离为d=|4k+3| k2+1=5，
即k=43，
即所求直线的方程为4x−3y+15=0，
所以过Q点圆C的切线方程为方程4x−3y+15=0或x=−3．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD//BC，AB⊥AD，AB=AD=12BC=1，PA=2，E为棱BC上的点，且BE=14BC，点Q在棱CP上(不与点C，P重合)．
(1)求证：平面DEQ⊥平面PAC．
(2)求二面角A−PC−D的平面角的余弦值．
(3)直线QE能与平面PCD垂直吗?若能，求出CQCP的值;若不能，请说明理由．
【答案】解：(1)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD，又AB⊥AD，
则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A−xyz，
则A(0,0,0)，B(1,0,0)，E(1,12,0)，D(0,1,0)，C(1,2,0)，P(0,0,2)，
所以DE=(1,−12,0)，AC=(1,2,0)，AP=(0,0,2)，
所以DE⋅AP=0，DE⋅AC=1−1=0，
所以DE⊥AP，DE⊥AC，且AP∩AC=A，AP，AC⊂平面PAC，所以DE⊥平面PAC，
因为DE⊂平面DEQ，
所以平面DEQ⊥平面PAC；
(2)解：由(1)知DE=(1,−12,0)是平面PAC的一个法向量，PD=(0,1,−2)，PC=(1,2,−2)，
设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z)，
所以PD⋅n=0PC⋅n=0，即y−2z=0x+2y−2z=0，令z=−1，则x=2，y=−2，所以n=(2,−2,−1)，
所以csDE,n=DE·nDE×n=2+1 54× 9=2 55，
又由图可知二面角A−PC−D的平面角为锐角，
所以二面角A−PC−D的平面角的余弦值为2 55；
(3)由(1)得C(1,2,0)，P(0,0,2)，E(1,12,0)，CP=(−1,−2,2)，
设CQCP=λ(00)上的一点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，点A关于坐标原点的对称点为B，直线AP和BP的斜率都存在且不为0，试问直线AP和BP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值;若不是，请说明理由；
(3)斜率为 22的直线l交椭圆C于M、N两点，求▵AMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．
【答案】解：(1)e=ca= 22,且a2=b2+c2，∴a= 2b，
将A 2,1代入椭圆方程得b2=2,a2=4，
所以椭圆C方程为x24+y22=1；
(2)依题意得B(− 2,−1)在椭圆C上，
直线AP和BP的斜率kAB和kBP都存在且不为0，
设P(x,y)，所以y2=2−x22，
kAP=y−1x− 2,kBP=y+1x+ 2，
kAB·kBP=y−1x− 2×y+1x+ 2=y2−1x2−2=1−12x2x2−2=−12，
所以直线AP和BP的斜率之积为定值−12；
(3)设直线l的方程为y= 22x+t，M(x1,y1),N(x2,y2)，
由y= 22x+tx24+y22=1消去y，整理得x2+ 2tx+t2−2=0，
△=2t2−4(t2−2)>0，则−20，∴an+an−1≠0，
∴an−an−1=1，
∴数列{an}是等差数列，其首项为1，公差为1，
∴an=1+(n−1)=n．
由b2=a2，b4=a6．
∴q2=b4b2=a6a2=3，q>0．
∴q= 3，
∴bn=b2qn−2=2× 3n−2．
(2)由题意得cn=2k−1,n=2k−12×3k−1,n=2k,k∈N∗,
∴T2m=(a1+a3+…+a2m−1)+(b2+b4+…+b2m)
=m(1+2m−1)2+2(1−3m)1−3=3m+m2−1，
T2m−1=T2m−b2m=3m+m2−1−2×3m−1
=3m−1+m2−1．
∴T2mT2m−1=3m+m2−13m−1+m2−1
=3−2(m2−1)3m−1+m2−1≤3，
若T2mT2m−1为{cn}中的项只能为c1，c2，c3．
①若3−2(m2−1)3m−1+m2−1=1，则3m−1=0，所以m无解；
②若3−2(m2−1)3m−1+m2−1=2，则3m−1+1−m2=0．
由题意m=1不符合题意，m=2符合题意．
当m≥3时，令f(x)=3x−1+1−x2，x≥3，则f′(x)=3x−1ln3−2x，
设g(x)=3x−1ln3−2x，则g′(x)=3x−1(ln3)2−2>0，
即f′(x)=3x−1ln3−2x为增函数，故f′(x)≥f′(3)>0，f(x)为增函数．
故f(x)≥f(3)=1>0，
∴当m≥3时，方程3m−1+1−m2=0无解，
即m=2是方程唯一解．
③若3−2(m2−1)3m−1+m2−1=3，则m2=1，即m=1．
综上所述，m=1或m=2．
(3)设等比数列dn的公比为q，其中q>0，
令k=1，可得1≤1≤q，即q≥1，
若q=1，则由dk⩽ak⩽dk+1得1≤ak≤1，此时t的最大值为1；
若q>1，由dk⩽ak⩽dk+1，得qk−1≤k≤qk⇔(k−1)lnq≤lnk≤klnq，
即lnkk≤lnq≤lnkk−1，此时只需考虑k≥2情形：
令fx=lnxx x≥2，gx=lnxx−1 x≥2，
则f′(x)=1−lnxx2，当2e时，f′(x)