（安徽专用）中考数学二轮重难点训练热点01 数与式（2份，原卷版+解析版）

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安徽中考数学中数与式部分主要考向分为四类：
实数及其运算；二、数的开方与二次根式；三、整式与因式分解；四、分式及其运算；
需要注意的是，对实数包含的各种概念的运用的考察又占了大多数，同时试题难度设置的并不大，属于中考中的基础“送分题”，题目多以选择题、填空题以及个别简单解答题的形式出现；但是，由于数学题目出题的多变性，虽然考点相同，并不表示出题方向也相同，所以在复习时，需要考生对这部分的知识点的原理及变形都达到熟悉掌握，才能在众多的变形中，快速识别问题考点，拿下这部分基础分。

考点一：实数的相关概念与运算
【例1】.（绝对值）的绝对值是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】直接利用绝对值的定义分别分析得出答案.
【解答】解：的绝对值是
【例2】.（科学计数法） 地球上的陆地面积约为149000000,数字149000000用科学记数法表示为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数，确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位，的绝对值与小数占移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，是负整数.
【解答】解:.
【例3】.a是最大负整数,b是绝对值最小的有理数,c的倒数是c,求a2017+2 018b+c2019.
【答案】0或-2
【分析】最大的负整数是-1，绝对值最小的有理数是0，倒数是自己的是.
【解答】解:根据题意得：
当时，原式=-1+0-1=-2
当，原式=-1+0+1=0
【例4】.（1）计算;
（2）先化简，再求值：，其中.
【答案】（1）3；
（2），5.
【分析】（1）根据平方差公式、零指数幂、二次根式的除法法则计算;
（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，把x、y的值代入计算即可.
【解答】解:原式=
=
=
当，原式=5.

【例5】.若两个连续的整数满足，则的值为 .
【答案】
【分析】,由此可确定和的值，进而可得出的值.
【解答】解:，
，
即
故答案为：.
【例6】.
【答案】-3.
【分析】直接利用零指数幂的性质以及立方根的性质化简，进而计算得出答案.
【解答】解:原式=-2-1
=-3.
【例7】.已知，且与互为相反数，求的平方根．
【答案】.
【分析】利用二次根式和绝对值的非负性与互为相反数和为0的性质以及平方根的性质化简，进而计算得出答案.
【解答】解:∵
∴
∵与互为相反数，
∴
∴
考点二：整式与因式分解
【例8】. 已知则的值为（ ）
13B．8C．-3D．5
【答案】A.
【分析】先根据平方差公式进行计算，求出,再变形，最后代入求出答案即可.
【解答】解: ∵
∴
∴
【例9】. 若,则 的值为 .
【答案】90.
【分析】根据平方差公式进行计算即可.
【解答】解:∵
∴.
【例10】.已知，则__________.
【答案】-1.
【分析】根据完全平方公式进行计算即可.
【解答】解: ∵
∴
∴
∴
∴.
【例11】. 下列运算一定正确的（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则，合并同类项运算法则逐一判断即可
【解答】解:A、原计算正确,故此选项符合题意;
B、原计算错误，故此选项不符合题意；
C、原计算错误,故此选项不符合题意；
D、原计算错误,故此选项不符合题意.
【例12】. 下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据合并同类项的法则，分式运算的法则逐项判断即可.
【解答】解：，故A错误，不符合题意；
，故B错误，不符合题意；
，故C正确，符合题意；
，故D错误，不符合题意.
【例13】.下列因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D.
【分析】把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解.
【解答】解：A. 还能提取公因式，所以此选项不正确.
B. ，所以此选项不正确.
C. ，所以此选项不正确.
D. ，所以此选项正确.
【例14】.因式分解:
(1)； (2)；
(3) ； (4) .
【答案】(1) ;(2) (3) ;(4) .
【分析】把一个多项式分解成几个整式乘积的形式，叫做多项式的因式分解.
【解答】解：(1);
(2) ;
(3) .
(4)
考点三：分式
【例15】.（分式的意义） 若代数式有意义，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．以上答案都不对
【答案】C.
【分析】分式有意义的条件是各代数式有意义且分母不为零.
【解答】解：∵有意义；
∴解得.
【例16】.（分式的值为0）若分时的值为零，则的值为（ ）.
A．0B．-3C．3D．3或-3
【答案】C.
【分析】分式值为零的条件是分母不为零，分子为零.
【解答】解：∵的值为零；
∴，解得.
【例17】. 照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像）到镜头的距离，已知，则（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变换，用含的代数式表示.
【解答】解：



（分式化简求值）
【例18】. 先化简，再求值:在-2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值.
【答案】2x+8,10
【分析】先算括号内的减法，同时把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可
【解答】解: 原式
分母不能为0，则
除数不能为0，则
当x=1时，原式=2+8=10.
【例19】. 已知实数x,y满足,求代数式的值.
【答案】
【分析】根据二次根式和偶次方的非负性再对代数式化简，先因式分解，把除法变成乘法，再算乘法，最后代入求出即可.
【解答】解:∵
∴
原式=
=
把代入，原式=
考点三：二次根式的性质与化简
【例20】. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．且D．且
【答案】C.
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，即可得出答案.
【解答】解:

【例21】. 实数 在数轴上的位置如图所示，化简 .
【答案】2.
【分析】根据数轴可得：，然后即可得到，从而可以将所求式子化简.
【解答】解:有数轴可得，

∴
∴



【例22】. 已知，则的算术平方根为 .
【答案】2.
【分析】根据被开方数大于等于0列式求出的值,再求出的值,然后代入代数式求出的值,再根据算术平方根的定义解答.
【解答】解:由题意得，，
解得,
∴
∴
∴
∴的算术平方根为2.
【例23】. 若，则 .
【答案】2018.
【分析】根据二次根式的性质求出,再化简绝对值，根据平方运算，可得答案.
【解答】解:∵
∴
由题意，得
化简，得
∴
【例24】.（二次根式估值）若，则估计的值所在的范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】B.
【分析】先估计的范围，再求解.
【解答】解:∵
∴
∴
考点四：实数中规律
【例25】. 如图,正方形ABCD边长为1,以AC为边作第2个正方形ACEF,再以CF为边作第3个正方形FCGH，... 按照这样的规律作下去，第6个正方形的边长为（ ）.
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理得出正方形的对角线是边长的.
第1个正方形的边长为1,其对角线长为;
第2个正方形的边长为其对角线长为 ;
第3个正方形的边长为,其对角长为;；
第n个正方形的边长为.
所以,第6个正方形的边长为.
【解答】解：由题知，第1个正方形的边长AB=1.
根据勾股定理得,第2个正方形的边长AC=
根据勾股定理得,第3个正方形的边长CF=
根据勾股定理得，第4个正方形的边长GF=
根据勾股定理得,第5个正方形的边长GN=
根据勾股定理得,第6个正方形的边长=.
【例26】.设是一个两位数,其中是十位上的数字.例如当时, 表示的两位数是45.
( 1) 尝试:
= 1 \* GB3 ①当时,;
= 2 \* GB3 ②当时，；
= 3 \* GB3 ③当时， ；
（2）归纳：与有怎样的大小关系？时说明理由.
（3）运用：若与的差为2525，求的值.
【答案】（1）；
（2），理由见解答过程；
（3）5.
【分析】（1）根据规律直接得出结论即可；
（2）根据即可得出结论；
（3）根据题意列出方程求解即可.
【解答】解：∵ = 1 \* GB3 ①当时,;
= 2 \* GB3 ②当时，；
∴ = 3 \* GB3 ③当时，.
（2）理由如下：
.
（3）由题知，
即
解得
【例27】. 如图，,点P 在射线OA上,且,过点作交射线OB于,在射线0A上截取,使，过点,作交射线OB于,在射线OA上截取，使按照此规律,线段的长为
【答案】
【分析】根据题意和题目中的数据,可以写出前几项,然后即可得到的式子,从而可以写出线段的长
【解答】解:有题意可得，






∴当时，
故答案为：
1.在实数中，有理数的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，实数的意义，即可解答.
【解答】解：在实数中，有理数是所以有理数的个数是2.
2.下列分数中，和最接近的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把分数化小数，据此先分别把每个选项中的分数化成小数，进而比较得解.
【解答】解：；
；
；
；
∵；
∴最接近.
3.若实数的相反数是-1，则等于（ ）
A．2B．-2C．0D．
【答案】A
【分析】根据相反数的定义求出的值，代入代数式求值即可.
【解答】解：∵实数的相反数是-1，
∴
∴
4. 如图，是数轴上的点，那么在数轴上对应的点可能是（ ）.
A．点B．点C．点D．点
【答案】C
【分析】由，再结合数轴即可求解.
【解答】解：∵，
∴观察数轴，点符合要求.
5.实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】B
【分析】根据数轴得：，得到，根据和绝对值的性质化简即可.
【解答】解：根据数轴得：，
∴，
∴原式


6.已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先把81，27,9转化为底数为3的幂,再根据幂的乘方，底数不变,指数相乘化简，然后根据指数的大小即可比较大小
【解答】解：，，，则
7. 下列计算正确的是（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据多项式除以单项式判断A选项，根据同底数幂的乘法判断B选项，根据完全平方公式判断C选项，根据幂的乘方判断D选项.
【解答】解：A选项，原式,故该选项符合题意
B选项，原式，故该选项不符合题意
C选项，原式，故该选项不符合题意
D选项，原式，故该选项不符合题意
8.使得有意义的的取值范围是（ ）
A．B．且C．D．
【答案】C
【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案.
【解答】解:∵有意义，
∴
解得，
9.若分式的值为零，则的值是（ ）
A．-2B．3C．2D．3或-2
【答案】B
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零.
【解答】解：∵的值为零；
∴；
解得，.
10. 把根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由得出，再利用二次根式的性质来化简求解.
【解答】解：由得出，
所以
11. 若和互为倒数，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据和互为倒数可得，再将进行化简，将代入即可求值.
【解答】解：∵和互为倒数，
∴，
∵.
12. 2022年3月11日.新华社发文总结2021年中国取得的科技成就，主要包括:北斗全球卫星导航系统平均精度2～3米，中国高铁运营里程超40000000米，“奋斗者”号载人潜水器最深下潜至10909米，中国嫦娥五号带回月重量1731克，其中数据40000000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数，确定的值时,要看把原数变成时,小数点移动了多少位，的绝对值与小数占移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，是负整数.
【解答】解：
13.观察下列数据:则第12个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】 D
【分析】根据给出的数据可以推算出第n个数是所以第12个数字把n=12代入求值即可.
【解答】解: 根据给出的数据特点可知第n个数是 ，
∴第12个数就是
14. 已知，则的值等于 .
【答案】.
【分析】先求出的值，再利用完全平方公式求出的平方和，然后代入数据计算即可求解.
【解答】解:因为
所以，
所以，
所以
所以.
15.已知代数式是一个完全平方式，则实数的值 .
【答案】或.
【分析】根据完全平方公式，可得，计算即可得出答案.
【解答】解:根据题意可得，
即，
解得：或.
16. 因式分解： .
【答案】.
【分析】将看做整体，利用完全平方公式即可得出答案.
【解答】解:原式.
故答案为：.
17.如图，学校劳动实践基地有两块边长分别为的正方形秧田A、B,其中不能使用的面积为M
( 1) 用含a,M的代数式表示A中能使用的面积 .
( 2)若，求A比B多出的使用面积.
【答案】（1）;
（2）50.
【分析】(1)根据面积之间的关系，从边长为a的正方形面积中，减去不能使用的面积M即可.
(2)用代数式表示A比B多出的使用面积，再利用平方差公式进行计算即可.
【解答】解：( 1)A中能使用的面积一大正方形的面积一不能使用的面积，即；
（2）A比B多出的使用面积为:
18.计算：
【答案】
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答
【解答】解:原式


19. （2022•北京•中考真题）计算
【答案】4.
【分析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质、绝对值的性质分别化简，进而合并得出答案.
【解答】解：


20.先化简，再求值：.
【答案】，
【分析】先算括号里再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答.
【解答】解:



当，原式.
21. 先化简，再求代数式的值，其中
【答案】.
【分析】先算括号内的式子,然后计算括号外的除法即可化简题目中的式子,然后将.的值代入化简后的式子计算即可
【解答】解:



当，原式
22.如图所示,以0为端点画六条射线，OD,OE,OF,再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1,2,3,4.5，6,7，8...后,那么所描的第2013个点在射线 上. 0.7
【答案】OC.
【分析】根据规律得出每6个数为一周期，用2013除以6，根据余数来决定数2013在那条射线上.
【解答】解:∵1在射线OA上
2在射线OB上.
3在射线OC上
4在射线OD上
5在射线OE上
6在射线OF上
7在射线OA上
每六个一循环
，
∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，
∴所描的第2013个点在射线OC上.
故答案为：C.
23.如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 .
【答案】 485.
【分析】由图可以看出:第一个图形中5个正三角形,第二个图形中个正三角形,第三个图形中个正=角形,由此得出第四个图形中个正三角形,第五个图形中个正三角形
【解答】解: 第一个图形正三角形的个数为5.
第二个图形正三角形的个数为,
第三个图形正三角形的个数为,
第四个图形正三角形的个数为,
第五个图形正三角形的个数为.
如果是第n个图，则有个
故答案为: 485.