（安徽专用）中考数学二轮重难点训练热点02 方程与不等式（2份，原卷版+解析版）

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安徽中考数学中方程与不等式部分主要考向分为四类：
方程的性质与概念；二、方程的解法及方程的解；三、不等式的性质；四、方程与不等式的应用题；
主要考查类型是计算题和应用题；计算题一般都是常规题型，难度不大，但需要注意检查，防止因粗心导致的不必要错误，应用题这几年的题型比较新颖，难度不大；是中考必拿分数。所以，需要考生平时要加强对计算的训练，做应用题的时候需要认真审题，还要注意符合实际生活情况；
考点一：一元一次方程
【例1】．（2019·安徽·九年级）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ）
A．大和尚25人，小和尚75人B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人D．大、小和尚各100人
【答案】A
【分析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．
【解答】设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，
根据题意得：3x+=100，
解得x=25，
则100﹣x=100﹣25=75（人），
所以，大和尚25人，小和尚75人，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键
【例2】．（2022·安徽合肥·统考）一种商品，先提价20%，再降价10%，这时的价格是2160元．则该商品原来的价格是（ ）
A．2400元B．2200元C．2000元D．1800元
【答案】C
【分析】设原来的价格为x元，根据题意，得（1+20%）×x×(1-10%)=2160，解一元一次方程即可．
【解答】设原来的价格为x元，根据题意，得
（1+20%）×x×(1-10%)=2160，
解得x=2000，
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【例3】．如果关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为（ ）
A．3个B．9个C．7个D．5个
【答案】D
【分析】先求出不等式组的解集，再得出关于a、b的不等式组，求出a、b的值，即可得出选项．
【详解】
∵解不等式①得：x＞，
解不等式②得：x≤，
∴不等式组的解集为，
∵x的不等式组的整数解仅有7，8，9，
∴6≤＜7，9≤＜10，
解得：15≤a＜17.5，21≤b＜23，
∴a=15或16或17，b=21或22或23，
∴M=a+b=36、37、38、39或40，共5种情况.
故选D
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能求出a、b的值，难度适中．
【例4】．（2022秋·安徽滁州）某市有甲、乙两个工程队，现有－小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这项工程需要天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多．
(1)求乙工程队单独完成这项工程需要多少天？
(2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲、乙两工程队合作，还需要多少天才能完成？
(3)已知甲工程队每天施工费用为元，乙工程队每天施工费用为元，若该工程总费用政府拨款元（全部用完），则甲、乙两个工程队各需要施工多少天？
【答案】(1)30天
(2)9天
(3)甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是10天和15天
【分析】（1）用甲工程队单独完成这项工程的天数乘以，即可求解；
（2）根据题意得：若甲工程队先做5天，还剩余，再除以甲乙两队合作的工作效率，即可求解；
（3）甲工程队需要施工x天，再把两队的总费用加起来等于70000，即可求解．
【详解】（1）解：天，
答：乙工程队单独完成需要30天；
（2）解：天，
答：还需要9天才能完成；
（3）解：设甲工程队需要施工x天，
，
解得：，
乙工程队需要施工=15天．
答：甲、乙两个工程队各需要施工天数分别是10天和15天．
【点睛】本题主要考查了分数乘除法的应用、一元一次方程的应用等知识点，明确题意、准确得到数量关系是解答本题的关键．
【例5】．（2022·安徽合肥）《九章算术》中有一道题：“今有人持米出三关，外关三而取一，中关五而取一，内关七而取一，余米五斗，问持米几何？”题意是：有人背米过关卡，经过外关时，用全部米的纳税，过中关时用所余的纳税，经过内关时用再余的纳税，最后还剩下5斗米，这个人原来背多少米出关？
【答案】这个人原来背米出关．
【分析】求出经过外关之后剩余的米为：，经过中关之后剩余的米为：，经过内关之后剩余的米为：，找出等量关系：，解方程即可．
【解答】解：设这个人原来背x米出关，
则由题意可知：
，解之得：
∴这个人原来背米出关．
【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练找出等量关系，列方程进行求解．
【例6】．（2022·安徽·一模）北京冬奥会速滑项目某场次门票价格为110元/人，若购买团体票有如下优惠：
某中学初一年级一班和二班全体学生准备去观看该场比赛，如果两个班作为一个团体去购票，则应付票款10175元．请列一元一次方程解决下列问题：
(1)已知两个班总人数超过100人，求两个班总人数；
(2)在（1）条件下，若一班人数多于50人，二班人数不足50人，但至少25人，如果两个班单独购票，一共应付票款11374元．求两个班分别有多少人？
【答案】(1)105人
(2)一班有58人，二班有47人
【分析】（1）设两个班的总人数为x人，根据团体票的优惠方案列出方程，解方程即可；
（2）设一班有y人，则二班有（105-y）人，根据两个班单独购票的票款列方程求解即可．
【解答】（1）解：设两个班的总人数为x人，
依题意得：50×110+50×110×（1-20%）+（x-100）×110×（1-50%）=10175，
解得：x=105，
答：两个班总人数为105人；
（2）设一班有y人，则二班有（105-y）人，
依题意得：50×110+（y-50）×110×（1-20%）+（105-y）×110=11374，
解得：y=58，
则二班的人数为：105-58=47（人），
答：一班有58人，二班有47人．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
考点二：二元一次方程组
【例7】．（2023秋·安徽合肥）已知三个非零实数a、b、c，满足，，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将c看作常数，可以得到关于a、b的二元一次方程组，解方程用c表示出a、b，在逐项判断即可．
【解答】将c看作常数，可以得到关于a、b的二元一次方程组，
即：，
解得：，且三个非零实数a、b、c，
A项，，与相矛盾，故本项不符合题意；
B项，结合，可得，故本项不符合题意；
C项，结合，可得，故本项不符合题意；
D项，结合，可得，故本项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，整式的混合运算等知识，用c表示出a、b，是解答本题的关键．
【例8】．《九章算术》是我国古代一部著名的算书，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系其中卷八方程[七]中记载：“今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五，直金八两．牛、羊各直金几何？”题目大意是：5头牛、2只羊共值金10两．2头牛、5只羊共值金8两．每头牛、每只羊各值金多少两？设1头牛值金两，1只羊值金两，则可列方程组为_________．
【答案】
【分析】设1头牛值金两，1只羊值金两，根据等量关系 “①5头牛，2只羊共值10两金；②2头牛，5只羊共价值8两金”，分别列出方程即可求解．
【解答】设1头牛值金两，1只羊值金两，由题意可得，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．
【例9】．若关于x、y的二元一次方程组的解满足x+y＞0，则m的取值范围是____．
【答案】m＞﹣2
【解答】解：，
①+②得2x+2y=2m+4，
则x+y=m+2，
根据题意得m+2＞0，
解得∶m＞﹣2．
故答案为∶ m＞﹣2
【例10】．（2022·安徽）某地区2020年进出口总额为520亿元．2021年进出口总额比2020年有所增加，其中进口额增加了25%，出口额增加了30%．注：进出口总额＝进口额＋出口额．
(1)设2020年进口额为x亿元，出口额为y亿元，请用含x，y的代数式填表：
(2)已知2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，求2021年进口额和出口额度分别是多少亿元？
【答案】(1)1.25x+1.3y
(2)2021年进口额亿元，出口额亿元．
【分析】（1）根据进出口总额＝进口额＋出口额计算即可；
（2）根据2021年进出口总额比2020年增加了140亿元，列方程1.25x+1.3y=520+140，然后联立方程组，解方程组即可．
【详解】（1）解：
故答案为：1.25x+1.3y；
（2）解：根据题意1.25x+1.3y=520+140，
∴，
解得：，
2021年进口额1.25x=亿元，2021年出口额是亿元．
【点睛】本题考查列二元一次方程组解应用题，列代数式，掌握列二元一次方程组解应用题的方法与步骤是解题关键．
【例11】．（2022·安徽）某商场计划拨款9万元从厂家购买50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机的出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元，商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售乙种电视机每台可获利200元，销售丙种电视机每台可获利250元．
(1)若同时购进其中两种不同型号电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的进货方案；
(2)经市场调查这三种型号的电视机是最受欢迎的，且销售量乙种是丙种的3倍．商场要求成本不能超过计划拨款数额，利润不能少于8500元的前提，购进这三种型号的电视机共50台，请你设计这三种不同型号的电视机各进多少台？
【答案】(1)进货方案有两种：①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台；②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台
(2)购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台
【分析】（1）根据题意得出：两个等量关系：两种不同型号电视机共50台，花费90000元，分情况讨论：①购进甲型号电视机和乙型号电视机②设购进丙型号电视机和乙型号电视机③设购进甲型号电视机和丙型号电视机，分别求出结果．
（2）根据题意设出未知数，设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，再找出题目中列不等式的关键词：①成本不能超过计划拨款数额，②利润不能少于8500元，解不等式组可得答案．
【详解】（1）解：①设购进甲型号电视机x台，乙型号电视机y台，由题意得：
，
解得：，
②设购进丙型号电视机m台，乙型号电视机n台，由题意得：，
解得：m，n不是整数，所以舍去，不合题意．
③设购进甲型号电视机a台，丙型号电视机b台，由题意得：，
解得：，
∴进货方案有两种：
①购进甲型号电视机25台，乙型号电视机25台，
②购进甲型号电视机35台，丙型号电视机15台，
（2）解：设购进丙型号电视机s台，则购进乙型号电视机3s台，购进甲型号电视机（50﹣4s）台，由题意得：
，
解得：4≤s≤5，
∵s为整数，
∴s＝4或5，
当s＝4时：购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
s＝5时：购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台，
答：购进方案有两种：①购进丙型号电视机4台，则购进乙型号电视机12台，购进甲型号电视机34台，
②购进丙型号电视机5台，则购进乙型号电视机15台，购进甲型号电视机30台．
【点睛】本题考查二元一次方程的实际应用，不等式组的实际应用，解题的关键是理解题意，找出等量关系列出方程组，以及根据题意列出不等式组．
考点三：分式方程
【例12】．（2022·安徽·模拟预测）若整数a使关于x的不等式组至少有4个整数解，且使关于x的分式方程有整数解，那么所有满足条件的a的和是（ ）
A．－20B．－17C．－14D．－23
【答案】A
【分析】首先解不等式组，再由分式方程有整数解，从而得出a的取值，再求和，即可得解．
【解答】解：
由①解得，，
由②解得，
∴不等式组的解集为a+2＜x≤2，
此不等式组至少有4个整数解，
当此不等式组恰有4个整数解时，这4个整数解是：，，，，
，
解得；
由去分母，得，
解得，
此方程有整数解，且，a为整数且，
可取，-6，，
∴符合条件的所有整数a的和为：-4,6-10=-20，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解分式方程及利用不等式组的解求待定字母的取值，熟练掌握不等式组的解法及检验分式方程的解是解此题的关键．
【例13】．（2021·安徽·统考三模）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______．
【答案】1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘，得
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
解得，
当时，
故m的值是1，
故答案为：1
【点睛】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【例14】．（2022·安徽宣城）对于非零实数a、b，规定．若，则x的值为_______________；若关于x的方程无解，则m的值为_______________．
【答案】 ； 或1
【分析】解方程即可；根据分式方程无解求解即可．
【解答】∵，，
∴，
去分母，得3-2x=0，
移项、合并同类项，得2x=3，
系数化为1，得x=，
经检验，x=是原方程的根．
∵，方程无解，
∴无解，
去分母，得3-2x+mx-2=3-x，
∵方程无解，
∴x=3，
解得m=，
去分母，得3-2x+mx-2=3-x，
合并同类项，得(m-1)x=2，
∵方程无解，
∴m-1=0，故m=1．
故答案为：，或1．
【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解法，分式方程无解的计算，熟练掌握分式方程无解的意义是解题的关键．
【例15】．（2022秋·安徽合肥）甲、乙两列客车的长分别为150米和200米，它们相向匀速行驶在平行的轨道上，已知甲车上某乘客测得乙车在他窗口外经过的时间是10秒，那么乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是______秒．
【答案】7.5
【分析】坐在甲车上的某乘客看见乙车驶过窗口，此时路程为乙车的长度，速度为甲乙两车速度之和；坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口，此时路程为甲车长度，速度为两人速度之和．等量关系为：乙车长度÷坐在甲车上的乘客看见乙车驶过窗口的时间=甲车长度÷坐在乙车上的乘客看见甲车驶过窗口所用的时间，列方程求解即可．
【详解】解：设乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是秒
由题意知，
解得
经检验，是原方程的解
∴乙车上的乘客看见甲车在他窗口外经过的时间是7.5秒
故答案为：7.5．
【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题的关键在于根据题意列正确的方程．
【例16】．（2021·安徽合肥）解方程：
【答案】无解
【分析】解：去分母：方程两边同时乘以x-2，得
1-x=-1-2（x-2）
1-x=-1-2x+4
x=2
检验：当x=2时，x-2=0，所以x=2不是原方程的解．
∴原方程无解．
【解答】参照分析过程.
【例17】．某体育用品商店购进乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，已知羽毛球拍比乒乓球拍每副进价高20元，用10000元购进羽毛球拍与用8000元购进乒乓球拍的数量相等.
（1）求每副乒乓球拍、羽毛球拍的进价各是多少元？
（2）该体育用品商店计划用不超过8840元购进乒乓球拍、羽毛球拍共100副进行销售，且乒乓球拍的进货量不超过60副，请求出该商店有几种进货方式？
【答案】（1）每副乒乓球拍、羽毛球拍进价分别为80元、100元；（2）共有3种进货方式，详见解析.
【分析】（1）可设购买1副乒乓球拍需x元，根据用10000元购进羽毛球拍与用8000元购进乒乓球拍的数量相等，列出分式方程，解方程检验即可.
（2）可设购买了乒乓球拍y副，根据该体育用品商店计划用不超过8840元购进乒乓球拍、羽毛球拍共100副，列出不等式求解，再根据乒乓球拍的进货量不超过60副取公共部分的整数，可知共有3种.
【详解】（1）设每副乒乓球拍进价为x元，由题意得：
解得:，
经检验是原方程的解,且符合题意，
此时.
答：每副乒乓球拍、羽毛球拍进价分别为80元、100元.
（2）设购进乒乓球拍y副，由题意得：
解得：，
因为所以，
所以.
故共有3种进货方式：
①购买58副乒乓球拍，42副羽毛球拍；
②购买59副乒乓球拍，41副羽毛球拍；
③购买60副乒乓球拍，40副羽毛球拍．
【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系及不等关系，列出方程与不等式组，难度一般．
【例18】．（2020·安徽芜湖·统考一模）某汽车经销商购进A，B两种型号的低排量汽车，其中A型汽车的进货单价比B型汽车的进货单价多2万元，经销商花50万元购进A型汽车的数量与花40万元购进B型汽车的数量相等．销售中发现A型汽车的每周销量（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式，B型汽车的每周销量（台）与售价x（万元/台）满足函数关系式．
（1）求A，B两种型号的汽车的进货单价；
（2）已知A型汽车的售价比B型汽车的售价高2万元/台，设B型汽车售价为t万元/台．每周销售这两种车的总利润为W万元，求W与t的函数关系式，A，B两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？
【答案】（1）A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元
（2）；A种型号的汽车售价为14万元/台， B种型号的汽车售价为12万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元
【分析】（1）设A种型号的汽车的进货单价为m万元，B型汽车的进货单价为（m-2）万元，根据购买数量相同列方程即可；
（2）求出每辆汽车的利润，根据每周销售的台数列函数关系式，再依据二次函数求最值即可．
【解答】解：（1）设A种型号的汽车的进货单价为m万元，
依题意得：，
解得：，
检验：时，，
故是原分式方程的解， ．
答：A种型号的汽车的进货单价为10万元，B种型号的汽车的进货单价为8万元；
（2）根据题意得：

∵，抛物线开口向下，∴当时，有最大值为32
答：A种型号的汽车售价为14万元/台， B种型号的汽车售价为12万元/台时，每周销售这两种车的总利润最大，最大总利润是32万元．
【点睛】本题考查了分式方程和二次函数的应用，解题关键是找出题目中的等量关系列方程和列函数关系式，依据函数性质求最值．
考点四：一元二次方程
【例19】．如果关于x的方程的两个实数根分别为x1，x2，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于的不等式，利用非负数的性质得到的值，确定出方程，求出方程的解，代入所求式子中计算即可求出值．
【解答】解：方程的两个实数根，
，
，
代入方程得：，
解得：，
，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【例20】．设a、b是方程的两实数根，则______．
【答案】2022
【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得，从而可得，，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得，从而可得，然后代入计算即可得．
【解答】解：是的两实数根，
，，
，，，
则
，
故答案为：2022．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
【例21】．如图是一张长，宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）可制成底面积是的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为______．
【答案】
【分析】根据题意设出未知数,列出三组等式解出即可．
【解答】设底面长为a,宽为b,正方形边长为x,
由题意得:,
解得a=10－2x,b=6－x,代入ab=24中得: (10－2x)(6－x)=24,
整理得:2x2－11x+18=0．
解得x=2或x=9(舍去)．
故答案为2．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用,关键在于不怕设多个未知数,利用代数表示列出方程．
【例22】．随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．
(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到元？
(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？
【答案】(1)该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到元
(2)大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是元
【分析】（1）设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到元，根据总收入=每亩收入×种植面积列出方程求解即可；
（2）设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，列出W关于m的关系式即可得到答案．
【详解】（1）解：设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到元，
由题意得，
解得，
解得或，
∴该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到元；
（2）解：设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，
由题意得
，
∵，
∴当时，W最大，最大为，
∴大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键．
考点五：不等式（组）
【例23】．若关于x的不等式组的解集是，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别求出每个不等式的解集，根据不等式组的解集为可得关于a的不等式，解之可得．
【解答】解：解不等式＞，得：，
解不等式-3x＞-2x-a，得：x＜a，
∵不等式组的解集为，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【例24】．（2022春·安徽安庆）若关于的不等式组恰有两个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先解不等式组求得−2＜x≤4＋a，根据不等式组恰有两个整数解得不等式组的整数解为−1、0，据此得0≤4＋a＜1，解之即可．
【详解】解：解不等式，得：x＞−2，
解不等式，得：x≤4＋a，
则不等式组的解集为−2＜x≤4＋a，
∵不等式组恰有两个整数解，
∴不等式组的整数解为−1、0，
则0≤4＋a＜1，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
一、单选题
1．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于15．图3也是一个三阶幻方，其每行、每列及每条对角线上的三个格子中的数字之和都等于s，则此三阶幻方中s的值为（ ）
A．34B．36C．42D．43
【答案】C
【分析】设14上面的数字为a，14下面的数字为b，分别列方程求出a和b的值，然后得出s的值即可．
【解答】解：设14上面的数字为a，14下面的数字为b，
根据题意得，，
解得 ，
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练根据题中等量关系列方程求解是解题的关键．
2．（2021·安徽）已知关于的方程组，甲看错得到的解为，乙看错了得到的解为，他们分别把错看成的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】把甲的结果代入第一个方程求出a的值，把乙的结果代入第二个方程求出b的值，求解即可．
【解答】解：把代入得：，
把代入得：，
解得：a=5，b=-1，
故选A．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程的知识点，解题关键点是看清题意再得出a、b的值．
3．（2022·安徽）若整数a使关于x的分式方程﹣2＝有整数解，则符合条件的所有a之和为（ ）
A．7B．11C．12D．13
【答案】D
【分析】根据分式方程的解为整数解，即可得出a=-1，1，2，4，7，据此计算即可．
【解答】解分式方程﹣2＝，得：，
∵分式方程的解为整数，且x≠2，
∴a=-1，1，2，4，7．
故符合条件的所有a之和为：-1+1+2+4+7=13．
故选：D．
【点睛】本题考查了分式方程的解，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．
4．已知方程x2＋x﹣＝2，则2x2＋2x＝_____．
【答案】6．
【分析】利用换元法，设x2＋x＝y，解分式方程，解得y后，再求得x．
【详解】设x2＋x＝y，
则原方程变为y﹣＝2，
整理得：y2﹣2y﹣3＝0，
分解因式得：（y﹣3）（y＋1）＝0，
则y﹣3＝0，y＋1＝0，
解得：y1＝3，y2＝﹣1，
经检验：y1＝3，y2＝﹣1是原分式方程的根，
所以x2＋x＝3或﹣1，
因为x2＋x＝﹣1无解，
故2x2＋2x＝6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查复杂分式方程的解法，通常采用换元法使分式方程简化，需要注意的是换元得到的根也需要验根．

5．（2022·安徽安庆）对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项．
【解答】解：∵是的两个不相等的零点
即是的两个不相等的实数根
∴
∵
解得
∵方程有两个不相等的非零实数根
∴
∵
解得
∴＞0
∴
∵，
∴
∴
∴
而由题意知
解得
当时，，；
当时，，；
当m=-2时，无意义；
当时，，
∴取值范围不确定，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于（a≠0）的两根为，则．
6．（2022·安徽·模拟预测）已知点在直线上，且，则（ ）
A．有最大值B．有最小值C．有最大值D．有最小值
【答案】A
【分析】将点代入直线中,得到m、n的关系式，分别表示代入不等式即可判断的最值；
【解答】解：将点代入直线中，
得，则
将代入中，解得：
将代入中，解得：
∴当，时，=有最大值
故选：A
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，掌握相关知识点并灵活应用是解题的关键．
7．（2021·安徽）若不等式组的整数解共有三个，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先确定不等式组的解集，利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【解答】解不等式2x-1＞3，得：x＞2，
∵不等式组整数解共有三个，
∴不等式组的整数解为3、4、5，
则，
故选A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
二、填空题
8．（2021·安徽·统考一模）若关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）的解是x=-1，则2021-a+b的值是___．
【答案】2022
【分析】把x=-1代入方程可以得到-a+b的值，从而得到所求答案．
【解答】解：∵x=-1，
∴a-b+1=0，
∴-a+b=1，
∴2021-a+b=2022，
故答案为2022 ．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程解的意义、等式的性质和代数式求值的方法是解题关键．
9．（2021·安徽·统考三模）若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______．
【答案】1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘，得
∵原方程有增根，
∴最简公分母，
解得，
当时，
故m的值是1，
故答案为：1
【点睛】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10．（2021·安徽·统考三模）不等式组的所有整数解的和为__．
【答案】－3
【分析】依题意，对不等式组进行去分母（去括号）、移项、合并、系数化为1，然后求出整数解的和即可；
【解答】由题知：对原不等式组，去分母（括号），
移项，
合并，
系数化为1，，
∴
∴ 不等式组的所有整数解为：；
所有整数解的和为：；
故填：；
【点睛】本题考查不等式组的求解及整数解的求法，重点熟练求解不等式组；
11．（2019·安徽合肥）已知方程组和的解相同，则2m﹣n＝_____．
【答案】5
【分析】方程组的解就是原来方程组的解，据此求得x、y的值，再代回方程组求得m和n的值，继而代入计算可得．
【解答】解：由题意得，
解得：
将x＝5，y＝3代入x+2y＝n，得：n＝11，
代入x+y＝m，得：m＝8，
∴2m﹣n＝2×8﹣11＝5，
故答案为5．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组和方程组的解．这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入法．
三、解答题
12．（2022·安徽宣城·二模）解方程：
(1)解不等式组
(2)解方程：
【答案】(1)；
(2)方程无实数根
【分析】（1）分别解不等式，再写出不等式组的解集即可；
（2）先去分母，将分式方程化为整式方程，再利用等式的性质解方程，最后检验即可．
【解答】解：(1)
解不等式①，得，
解不等式②，得，
所以不等式组的解集是；
(2)
，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
即原分式方程无实数根．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组及解分式方程，熟练掌握解不等式组及解分式方程的步骤是解题的关键．
13．（2022秋·安徽阜阳）用配方法解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程-配方法，进行计算即可解答．
【解答】（1）解：，
，
，
，
，；
（2）（2），
，
，
，
，
，
，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握解一元二次方程——配方法是解题的关键．
14．（2022·安徽安庆·统考二模）清代诗人徐子云曾写过一首诗：
意思是：山林中有一座古寺，不知道寺内有多少僧人. 已知一共有364只碗，刚好能够用完. 每三个僧人一起吃一碗饭，每四个僧人一起吃一碗羹. 请问寺内一共有多少僧人？请解答上述问题.
【答案】寺内一共有624名僧人
【分析】设寺内有x名僧人， 根据已知条件列出关于x的方程，解方程即可得到答案．
【解答】解：设寺内有x名僧人，
由题意得+=364
解得：x=624．
答：寺内一共有624名僧人．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，熟练掌握列方程解应用题的方法和步骤是解题关键．
15．（2022秋·安徽）某商店今年3月第一周购进一批“冰墩墩”和“雪容融”，已知一个“冰墩墩”的进价比一个“雪容融”的进价多40元，购进20个“冰墩墩”和30个“雪容融”的金额相同．
(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”和每个“雪容融”的进价分别是多少元？
(2)今年3月份第一周，商店以150元每个售出“冰墩墩”120个，以100元每个售出“雪容融”150个，第二周商店决定调整价格，每个“冰墩墩”的价格不变，销量比第一周增加了个，每个“雪容融”的售价在第一周的基础上下降了m元，销量比第一周增加了2m个，若该商家今年3月份第一、二周共获利13200元，求m的值．
【答案】(1)今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元
(2)15
【分析】（1）设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，利用总价=单价×数量，结合“冰墩墩”及“雪容融”单价间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总利润=每件的销售利润×销售数量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】（1）解：设今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是x元，每个“雪容融”的进价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：今年3月第一周每个“冰墩墩”的进价是120元，每个“雪容融”的进价是80元．
（2）依题意得：（150-120）×120+（100-80）×150+（150-120）×（120+）+（100-m-80）×（150+2m）=13200，
整理得：m2-15m=0，
解得：m1=15，m2=0（舍去）．
答：m的值为15．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
16．（2023·安徽合肥）随着我国经济、科技的进一步发展，我国的农业生产的机械化程度越来越高，过去的包产到户就不太适合机械化的种植，现在很多地区就出现了一种新的生产模式，很多农民把自己的承包地转租给种粮大户或者新型农村合作社，出现了大农田，这些农民则成为合作社里的工人，这样更有利于机械化种植．某地某种粮大户，去年种植优质水稻200亩，平均每亩收益480元．计划今年多承包一些土地，已知每增加一亩，每亩平均收益比去年每亩平均收益减少2元．
(1)该大户今年应承租多少亩土地，才能使今年总收益达到元？
(2)该大户今年应承租多少亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是多少？
【答案】(1)该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到元
(2)大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是元
【分析】（1）设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到元，根据总收入=每亩收入×种植面积列出方程求解即可；
（2）设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，列出W关于m的关系式即可得到答案．
【解答】（1）解：设该大户今年应承租x亩土地，才能使今年总收益达到元，
由题意得，
解得，
解得或，
∴该大户今年应承租210亩或230亩土地，才能使今年总收益达到元；
（2）解：设该大户今年应承租m亩土地，收益为W元，
由题意得
，
∵，
∴当时，W最大，最大为，
∴大户今年应承租220亩土地，可以使今年总收益最大，最大收益是元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程和二次函数的实际应用，正确理解题意列出对应的式子是解题的关键．
17．（2022·安徽·模拟预测）常德市某校购进一批甲、乙两种中考排球，已知一个甲种排球的价格与一个乙种排球的价格的和为元，用元购进甲种排球的个数与用元购进乙种排球的个数相同．
(1)求每个甲种、乙种排球的价格分别是多少元？
(2)该校计划用元购买甲、乙两种排球，由于采购人员把甲、乙两种排球的个数互换了，结果需元，求该校原计划购进甲、乙两种排球各多少个？
【答案】(1)每个甲种排球进价是15元，每个乙种排球进价是25元
(2)原计划购进甲种排球150个、乙种排球个
【分析】（1）设每个甲种排球进价元，则每个乙种排球进价为元．根据题意列出分式方程并求解即可．
（2）设购进甲种排球个，购进乙种排球个．根据题意列出二元一次方程组并求解即可．
【解答】（1）解：设每个甲种排球进价元，则每个乙种排球进价为元．
根据题意得．解得．
经检验是原方程的解．
所以．
答：每个甲种排球进价是15元，每个乙种排球进价是25元．
（2）解：设购进甲种排球个，购进乙种排球个
根据题意得解得
答：原计划购进甲种排球150个、乙种排球个．
【点睛】本题考查分式方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意是解题关键．
18．（2022·安徽六安·一模）为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于2021年3月1日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾．
（1）求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数；
（2）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？
【答案】（1）38吨；（2）3个
【分析】（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，由每天需要处理生活垃圾920吨列出方程求解即可；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y，根据两种需要处理的生活垃圾和不低于910吨列不等式求解即可．
【解答】解：（1）设每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数为x，则A型为x+7，
由题意得：10x+12（x+7）=920，
解得：x=38，
答：每个B型点位每天处理生活垃圾为38吨数；
（2）设至少需要增设y个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．则B型为5-y．
由题意得（12+y）(38+7-8)+（10+5-y）（38-8）≥920-10
解得：y≥ ，
∵y为整数
∴至少需要增设3个A型点位，
答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾．
【点睛】本题考查一元一次方程以及一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出关系式是解题关键．
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进出口总额/亿元
2020
x
y
520
2021
1.25x
1.3y
1.25x+1.3y
巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。三百六十四只碗，看看用尽不差争。
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹。
请问先生明算者，算来寺内几多僧？