（安徽专用）中考数学二轮重难点训练热点05 二次函数综合（2份，原卷版+解析版）

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安徽中考数学中二次函数部分主要考向分为三类：
二次函数的图象与性质；二、二次函数中求动点坐标（与图形面积相关）；三、二次函数的实际运用（近几年主要考察利润相关为题）；
需要注意的是综合运用的题型，难度系数较大，考察的内容较多，特别是动点，还是计算利润时由于数值比较大需细心。
考点一：利用对称轴解决问题
【例1】． （2022·安徽·模拟预测）已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m﹣4，n），B（m+2，n），则n的值为（ ）
A．﹣18B．﹣16C．﹣12D．18
【答案】A
【分析】先求出抛物线对称轴为直线，再根据抛物线与x轴只有一个交点，得到抛物线的顶点坐标为（m-1，0），则抛物线解析式为，把A（m-4，n），代入抛物线解析式得，．
【详解】解：∵抛物线过点A（m-4，n），B（m+2，n），
∴抛物线对称轴为直线
∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴抛物线的顶点坐标为（m-1,0），
∴抛物线解析式为，
把A（m-4，n），代入抛物线解析式得，，
故选A．
【点睛】本题考查二次函数的对称性以及二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的顶点式，关键在于熟悉性质，灵活运用．
【例2】．（2021秋·安徽合肥）已知二次函数y=-x2+2x+2，点A(x1，y1)．B(x2，y2)(x1< x2)是其图象上两点，则下列结论正确的是（ ）
A．若x1+x2>2，则y1< y2B．若x1+x2< 2，则y1< y2
C．若x1+x2>-2则y1>y2D．若x1+x2y2
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的开口方向向下，对称轴x=1，当x1+x22时，x1< x2，点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离近∴y1>y2，A错误，
B，当x1+x2< 2时，x1< x2，点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离远，∴y1< y2，B正确，
C，当x1+x2>-2时，上式两种情况皆有可能，故y1， y2的大小关系不确定，C错误，
D，当x1+x20时，x3.
故选： D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质.
6．（2020秋·安徽芜湖）一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，则二次函数y=2x2﹣bx﹣c的图象必过点（ ）
A．（﹣3，0）B．（3，0）C．（﹣3，27）D．（3，27）
【答案】D
【分析】一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，可以求得b、c的关系，再观察二次函数y=2x2-bx-c，可以返现当x=3时，该函数中b和c的关系可以与前面统一，本题得以解决．
【详解】∵一元二次方程x2+bx+c=0有一个根为x=3，
∴32+3b+c=0，
∴3b+c=-9，
∴当x=3时，y=2×32-3b-c=18-（3b+c）=18-（-9）=18+9=27，
∴二次函数y=2x2-bx-c的图象必过点（3，27），
故选D．
【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
二、填空题
7．（2021秋·安徽淮南）抛物线y＝2（x﹣1）2＋c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3大小关系是_____．
【答案】y1＞y3＞y2
【分析】对二次函数y＝2，对称轴x＝1，在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，由此判断 的大小．
【详解】解：在二次函数y＝2，对称轴x＝1，开口向上
∵|﹣2﹣1|＞|﹣1|＞|0﹣1|，
∴y1＞y3＞y2，
故答案为：y1＞y3＞y2.
【点睛】本题考查二次函数的对称性和增减性，熟练掌握有关性质是解题关键 ．
8．（2022春·安徽滁州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，BA=5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为_____．
【答案】
【分析】利用勾股定理求得AC=3，设DC=x，则AD=3-x，利用平行线分线段成比例定理求得CE=进而求得BE=4-，然后根据S阴=S矩形CDGE+S矩形HEBF得到S阴=x2-8x+12，根据二次函数的性质即可求得CD，进而求得BE和BF，然后根据勾股定理求得即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，BA=5，
∴AC==3，
设DC=x，则AD=3﹣x．
∵DF∥AB，
∴=，即=，
∴CE=，
∴BE=4﹣．
∵矩形CDGE和矩形HEBF，
∴AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF=AD=3﹣x，
则S阴=S矩形CDGE+S矩形HEBF=DC•CE+BE•BF
=x•x+（3﹣x）（4﹣x）=x2﹣8x+12，
∵＞0，
∴当x=﹣=时，有最小值，
∴DC=，有最小值，
∴BE=4﹣×=2，BF=3﹣=，
∴EF==，
即矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，表示出线段的长度是解题的关键．
9．（2020·安徽）如图，抛物线与直线交于A(-1,P)，B(3,q)两点，则不等式的解集是_____．
【答案】或．
【分析】由可变形为，即比较抛物线与直线之间关系，而直线PQ：与直线AB：关于与y轴对称，由此可知抛物线与直线交于，两点，再观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．
【详解】解：∵抛物线与直线交于，两点，
∴，，
∴抛物线与直线交于，两点，
观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，
∴不等式的解集为或．
故答案为或．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式，根据两函数图象的上下位置关系找出不等式的解集是解题的关键．
10．（2022秋·安徽滁州）已知，在同一坐标系中二次函数y1＝ax2+bx+c与一次函数y2＝mx+n的图象如图，它们相交于点B（0，2），C（3，8），抛物线的顶点D（1，0），直线BC交x轴于点A．
（1）当y1＜y2时，x的取值范围是 ___．
（2）当y1y2＞0时，x的取值范围是 ___．
【答案】 且
【分析】（1）根据函数与不等式的关系可知，使得y1＜y2成立的的取值范围就是直线y2＝mx+n落在二次函数y1＝ax2+bx+c的图像上方的部分对应的的取值范围．
（2）由于，故当y1y2＞0时，必有且，利用点B（0，2），C（3，8）求出一次函数解析式，求得A点坐标，最后利用函数与不等式的关系，求得的取值范围．
【详解】（1）根据图像可得：当y1＜y2时，x的取值范围是．
（2）y1y2＞0，且，
且，
点B（0，2），C（3，8）在一次函数y2＝mx+n上，
故解得
．
当时，有 解得．
点坐标为（-1,0）
且，抛物线的顶点D的坐标为（1，0）
且．
故答案为：（1） （2）且．
【点睛】本题主要是考查了二次函数的性质以及一次函数求解解析式，利用“数形结合”的思想求解不等式的解集，是求解该类题目的关键，需要重点掌握好．
11．（2022秋·安徽淮北）某电商平台11月1日起开始销售一款新品牌手机，当月的日销售额y（万元）和销售时间第x天（1≤x≤30且x为整数）之间满足二次函数关系y=-（x-h）+k，根据市场调查可以确定在当月中旬日销售额达到最大值．
（1）若第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，则第__________天的日销售额最大；
（2）若第18天后的日销售额呈下降趋势，则h的取值范围是___________
【答案】 16 9＜x＜
【分析】（1）根据题意可得，即可求得的值；
（2）根据y=-（x-h）+k，得出，然后根据当月中旬日销售额达到最大值得出，取解集即可．
【详解】解：（1）根据第18天的销售额比第19天的销售额多5万元，
则：，
解得：，
∴第天的销售额最大，
故答案为：；
（2）∵y=-（x-h）+k，
则，随增大而增大，
，随增大而减小，且为整数，
则，解得，
∵当月中旬日销售额达到最大值，
则，
综上：．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的基本性质是解本题的关键．
三、解答题
12．（2020·安徽）某科技有限公司成功研制出一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售，已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y（万件）与销售价格x（元/件）的关系如图，其中段为反比例函数图象的一部分，设公司销售这种电子产品的年利润为w（万元）．
(1)请求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式；
(2)求出这种电子产品的年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式；并求出年利润的最大值．
【答案】(1)
(2)当时，，当时，；年利润的最大值为144万元
【分析】（1）分两种情况：和求出y（万件）与x（元/件）之间的函数关系式即可；
（2）分两种情况：和求出年利润w（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出最大值即可．
【详解】（1）解：当时，设，
将点代入，得，
∴；
当时，设，分别将点，代入，得：
，
解得：，
∴；
综上分析可知：．
（2）解：当时，，
当时，
当时，
∵，
∴w随x增大而增大，
∴当时，w有最大值为（万元），
当时，
∵，
∴当时，w有最大值为144万元．
∵，
∴年利润的最大值为144万元．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数、二次函数的综合应用，在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义；解题时注意，依据函数图象可得函数关系式为分段函数，解决问题时需要运用分类思想以及数形结合思想进行求解．
13．（2021·安徽）受“新冠”疫情的影响，某销售商在网上销售A，B两种型号的“手写板”，获利颇丰．已知A型，B型手写板进价、售价和每日销量如表格所示：
根据市场行情，该销售商对A型手写板降价销售，同时对B型手写板提高售价，此时发现A型手写板每降低5元就可多卖1个，B型手写板每提高5元就少卖1个，要保持每天销售总量不变，设其中A型手写板每天多销售x个，每天总获利的利润为y元（A型售价不得低于进价）．
(1)求y与x之间的函数关系式并写出x的取值范围；
(2)要使每天的利润不低于234000元，直接写出x的取值范围；
(3)该销售商决定每销售一个B型手写板，就捐a元给（0＜a≤100）因“新冠疫情”影响的困难家庭，当30≤x≤40时，每天的最大利润为229200元，求a的值．
【答案】(1)0≤x≤60且x为整数
(2)20≤x≤60
(3)a＝30
【分析】（1）根据题意列函数关系式和不等式组，于是得到结论；
（2）根据题意列方程和不等式，于是得到结论；
（3）根据题意列函数关系式，然后根据二次函数的性质即可得到结论．
【详解】（1）由题意得，y＝（900﹣600﹣5x）（200+x）+（1200﹣800+5x）（400﹣x）＝﹣10x2+900x+220000，
解得0≤x≤60，
故x的取值范围为0≤x≤60且x为整数；
（2）x的取值范围为20≤x≤60．
理由如下：y＝﹣10x2+900x+220000＝﹣10（x﹣45）2+240250，
当y＝234000时，﹣10（x﹣45）2+240250＝234000，
（x﹣45）2＝625，x﹣45＝±25，
解得：x＝20或x＝70．
要使y≥234000，
得20≤x≤70；
∵0≤x≤60，
∴20≤x≤60；
（3）设捐款后每天的利润为w元，
则w＝﹣10x2+900x+220000﹣（400﹣x）a＝﹣10x2+（900+a）x+220000﹣400a，
对称轴为，
∵0＜a≤100，
∴，
∵抛物线开口向下，
当30≤x≤40时，w随x的增大而增大，
当x＝40时，w最大，
∴﹣16000+40（900+a）+220000﹣400a＝229200，
解得a＝30．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，难度较大，最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答．
14．（2022·安徽）如图，在某中学的一场篮球赛中，小明在距离篮圈中心7.3m（水平距离）远处跳起投篮，已知球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为4m时达到离地面的最大高度4m．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面3m．
(1)建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行路线所在抛物线的函数表达式；
(2)场边看球的小丽认为：小明投出的此球不能命中篮圈中心．
①请通过计算说明小丽判断的正确性；
②若球出手的角度和力度都不变，小明应该向前走或向后退多少米才能命中篮圈中心？
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员小亮前来盖帽，已知小亮的最大摸球高度为3.19m，则他应在小明前面多少米范围处跳起拦截才能盖帽成功？
【答案】(1)
(2)①小丽的判断是正确的；②小明应向前走0.3m才能命中篮圈中心
(3)1.3米
【分析】(1)由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4，4)，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可；
(2) ①求得当x = 7.3时的函数值，与3比较即可说明小丽判断的正确性；
②由题意可知出手的角度和力度都不变，小明向前走或向后退时，相当于抛物线的左右平移，故可设抛物线的解析式为，将(7.3， 3)代入求得m的值，根据抛物线左右平移时左加右减的特点，可得答案；
(3)将y=3.19代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案．
【详解】（1）解：由题意可知，抛物线的顶点坐标为(4，4)，球出手时的坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①抛物线的解析式为，
当x = 7.3时，，
，
小丽的判断是正确的；
②出手的角度和力度都不变，
设抛物线的解析式为，
将(7.3， 3)代入，得：，
解得：， (舍去)，
小明应向前走0.3m才能命中篮圈中心；
（3）解：抛物线的解析式为，
当y= 3.19时，，
解得：， (不符合实际，要想盖帽，必须在篮球下降前盖帽，否则无效)，
小亮应在小明前面1.3米范围处跳起拦截才能盖帽成功．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
15．（2022秋·安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B，抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为
(1)求n的值和抛物线的解析式；
(2)已知点P是抛物线上位于点B、C之间的一动点（不与点B，C重合），设点P的横坐标为a．当a为何值时，的面积最大，并求出其最大值；
(3)在y轴上是否存在点M，使与相似？若存在，直接写出点M的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)当时，的面积的最大，最大值为18
(3)存在，或
【分析】（1）根据，求出点A、B、C的坐标分别为，再把点B、C的坐标代入抛物线的表达式，即可求解；
（2）过点P作y轴的平行线交于点H，设点P的坐标为，则点，得到的二次函数解析式，结合二次函数的性质，即可求解；
（3）根据题意可得为等腰直角三角形，从而得到为等腰直角三角形，然后分两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）解：对于，
令，则，令，则，解得x=2，
当时，，
∴点A、B、C的坐标分别为；
将点B、C的坐标代入抛物线的表达式得：
，解得，
故抛物线的表达式为；
（2）解：如图，过点P作y轴的平行线交于点H，
设点P的坐标为，则点，
∴
∵，
∴当时，的面积的最大，最大值为18；
（3）解：存在，理由：
∵A、B的坐标分别为，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵与相似，
∴为等腰直角三角形，
①当为直角时，如图，
则点的纵坐标与点C的纵坐标相同，
∴点；
②当为直角时，
∴点是的中点，
∴点；
故点M的坐标为或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
16．（2022秋·安徽淮南）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，连接、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值；
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）将、、三点坐标代入抛物线解析式，求解即可；
（2）设，过点作轴，交于点，交轴于点，连接、，表示出的面积，利用二次函数的性质，求解即可．
【详解】（1）解：将、、三点坐标代入抛物线可得：
，解得
即抛物线为；
（2）解：过点作轴，交于点，交轴于点，连接、，
设，直线为
则，解得
即
则，
∵，开口向下，
∴时，最大，为．
【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．
17．（2022秋·安徽宣城）如图，抛物线经过点，，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M．设点P的横坐标为t．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P在第一象限，连接，当线段最长时，求的面积；
(3)是否存在这样的点P，使以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，点P的横坐标是或
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设直线AB的表达式为，进而求得直线AB的解析式，设点P的坐标为，则，用M点的纵坐标减去P的纵坐标得到的长，然后根据二次函数的最值得到PM最大值，再利用三角形的面积公式利用计算即可；
（3）由，根据平行四边形的判定得到当时，点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形，然后讨论：当P在第一象限：，最长时只有，所以不可能为3；当P在第二象限：；当P在第三象限：，，分别解一元二次方程即可即可解答．
【详解】（1）解：把点，代入，得
，解得．
∴．
（2）解：设直线的表达式为，
把点，代入，得
，解得．
∴.．
设点P的坐标为，则．
∵点P在第一象限，
∴．
∴时，二次函数有最大值，即PM的最大值为．
则．
（3）解：存在．
∵，
∴当时，以点P，M，B，O为顶点的四边形为平行四边形．
①当点P在第一象限时，，最大时只有，
所以不可能有．
②当点P在第二象限时，，．
解得（舍去），．
∴点P的横坐标是．
③当点P在第四象限时， ，．
解得，（舍去）．
∴点P的横坐标是．
综上所述，点P的横坐标是或．
【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求解析式、二次函数的图像及性质、平行四边形性质等知识点，掌握二次函数图像及性质是解题的关键．
进价（元/个）
售价（元/个）
销量（个/日）
A型
600
900
200
B型
800
1200
400