（广东专用）中考数学三轮考前冲刺押题练习第20题三大方程（三角函数）实际运用与最大利润（2份，原卷版+解析版）

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广东数学中考对这部分知识的考查要求逐渐提高，均是以9分的简答题的形式进行考查，一般难度中等，要求考生熟练掌握解方程，用方程去解决实际问题，用不等式解决方案问题与能构建函数模型求最大利润问题。纵观近3年的中考试题，主要考查以下两个方面：一是考查方程（四大方程与不等式组）的运算与实际问题能力；二是考查不等式的解决问题能力，函数模型构造求最值问题。
预测今年此类型题会以二次函数和利润问题的最值实际应用问题
在备考此类型题时，考生能熟练的根据题意列出数量关系式，从而用方程（组）或不等式解决问题。在第2问中能根据问题构造函数模型，用一次函数或二次函数去解决。根据题意列出相应的函数解析式是解决本类题型的关键．重点关注二次函数的实际应用的最值问题和不等式的方案选择问题
1．（2021·广东深圳·统考中考真题）某科技公司销售高新科技产品，该产品成本为8万元，销售单价x（万元）与销售量y（件）的关系如下表所示：
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少时，有最大利润，最大利润为多少？
【答案】（1）；（2）单价为13元时，利润最大为125万元
【分析】（1）直接利用图表上的点的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）设总销售利润为W，则列出W与x的函数关系式，即可得出函数最值．
【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为：，
则，
解得：，
故y与x的函数关系式为： ；
（2）设总销售利润为W，
则有：，
当，销售利润万，
即单价为13万时，最大获利125万元．
【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，以及根据二次函数的性质求最值，解题的关键是列出总销售利润与销售单价之间的函数关系．
2．（2021·广东广州·统考中考真题）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次
（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；
（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？
【答案】（1）“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；（2）李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据今年计划新增加培训共100万人次列出方程求解即可；
（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据“今年的年工资收入不低于12.48万元”列出一元一次不等式求解即可．
【详解】解：设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据题意得，

解得，
答：“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；
（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据题意得，

解得，
答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．
【点睛】此题主要考查了一元一次方程以及一元一次不等式的应用，准确找出题目中的数量关系是解答此题的关键．
3．（2021·广东·统考中考真题）端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽的进价比猪肉粽的进价每盒便宜10元，某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价50元时，每天可售出100盒；每盒售价提高1元时，每天少售出2盒．
（1）求猪肉粽和豆沙粽每盒的进价；
（2）设猪肉粽每盒售价x元表示该商家每天销售猪肉粽的利润（单位：元），求y关于x的函数解析式并求最大利润．
【答案】（1）猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元；（2），最大利润为1750元
【分析】（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元，根据某商家用8000元购进的猪肉粽和用6000元购进的豆沙粽盒数相同列方程计算即可；
（2）根据题意当时，每天可售100盒，猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒，列出二次函数关系式，根据二次函数的性质计算最大值即可．
【详解】解：（1）设猪肉粽每盒进价a元，则豆沙粽每盒进价元．
则
解得：，经检验是方程的解．
∴猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
答：猪肉粽每盒进价40元，豆沙粽每盒进价30元．
（2）由题意得，当时，每天可售100盒．
当猪肉粽每盒售x元时，每天可售盒．每盒的利润为()
∴，
配方得：
当时，y取最大值为1750元．
∴，最大利润为1750元．
答：y关于x的函数解析式为，且最大利润为1750元．
【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及二次函数的实际应用，根据题意列出相应的函数解析式是解决本题的关键．
4．（2022·广东·统考中考真题）物理实验证实：在弹性限度内，某弹簧长度y（）与所挂物体质量x（）满足函数关系．下表是测量物体质量时，该弹簧长度与所挂物体质量的数量关系．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)当弹簧长度为20时，求所挂物体的质量．
【答案】(1)
(2)所挂物体的质量为2.5kg
【分析】（1）由表格可代入x=2，y=19进行求解函数解析式；
（2）由（1）可把y=20代入函数解析式进行求解即可．
【详解】（1）解：由表格可把x=2，y=19代入解析式得：
，
解得：，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：把y=20代入（1）中函数解析式得：
，
解得：，
即所挂物体的质量为2.5kg．
【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是得出一次函数解析式．
5．（2022·广东深圳·统考中考真题）某学校打算购买甲乙两种不同类型的笔记本．已知甲种类型的笔记本的单价比乙种类型的要便宜1元，且用110元购买的甲种类型的数量与用120元购买的乙种类型的数量一样．
(1)求甲乙两种类型笔记本的单价．
(2)该学校打算购买甲乙两种类型笔记本共100件，且购买的乙的数量不超过甲的3倍，则购买的最低费用是多少?
【答案】(1)甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元
(2)最低费用为1101元
【分析】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．列出方程即可解答；
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，列出w关于a的函数，利用一次函数的增减性进行解答即可．
【详解】（1）设甲类型的笔记本单价为x元，则乙类型的笔记本为元．
由题意得：
解得：
经检验是原方程的解，且符合题意．
∴乙类型的笔记本单价为：（元）．
答：甲类型的笔记本单价为11元，乙类型的笔记本单价为12元．
（2）设甲类型笔记本购买了a件，最低费用为w，则乙类型笔记本购买了件．
由题意得：．
∴．
．
∵，
∴当a越大时w越小．
∴当时，w最小，最小值为（元）．
答：最低费用为1101元．
【点睛】此题考查了分式方程的应用，以及一次函数的应用，掌握分式方程的应用，以及一次函数的应用是解题的关键．
6．（2022·广东广州·统考中考真题）某燃气公司计划在地下修建一个容积为V（V为定值，单位：m3）的圆柱形天然气储存室，储存室的底面积S（单位：m2） 与其深度（单位：m）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求储存室的容积V的值；
(2)受地形条件限制，储存室的深度需要满足16≤≤25，求储存室的底面积S的取值范围．
【答案】(1)
(2)当16≤≤25时，400≤S≤625
【分析】（1）利用体积等于等面积乘以深度即可得到答案；
（2）先求解反比例函数的解析式为，再利用反比例函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：由图知：当深度=20米时，底面积S=500米2，
∴=500米2×20米=10000米3；
（2）由（1）得：
，
则（），S随着的增大而减小，
当时，S=625； 当时，S=400；
∴当16≤≤25时，400≤S≤625．
【点睛】本题考查的是反比例函数的应用，反比例函数的性质，熟练的利用反比例函数的性质求解函数值的范围是解本题的关键．
7．（2020·广东深圳·统考中考真题）端午节前夕，某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽，肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元．
（1）肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元？
（2）由于粽子畅销，商铺决定再购进这两种粽子共300个，其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍，且每种粽子的进货单价保持不变，若肉粽的销售单价为14元，蜜枣粽的销售单价为6元，试问第二批购进肉粽多少个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大？第二批粽子的最大利润是多少元？
【答案】（1）肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元；（2）第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元．
【分析】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，根据题意列方程组解答；
（2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，列出函数关系式再根据函数的性质解答即可.
【详解】（1）设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元，则根据题意可得：
.
解此方程组得：.
答：肉粽得进货单价为10元，蜜枣粽得进货单价为4元；
（2）设第二批购进肉粽t个，第二批粽子得利润为W，则
，
∵k=2>0，
∴W随t的增大而增大，
由题意，解得，
∴当t=200时，第二批粽子由最大利润，最大利润,
答：第二批购进肉粽200个时，全部售完后，第二批粽子获得利润最大，最大利润为1000元.
【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数解决实际问题，一次函数的性质，正确理解题意列出方程组或函数、不等式解决问题是关键.
8．（2023·广东东莞·东莞市光明中学校考一模）东莞是广东龙眼主要产区之一，东莞龙眼以果型大，皮薄肉厚，甜脆爽口，营养丰富而大受欢迎，某超市用5000元购进一批甲种龙眼和用6000元购进乙种龙眼的千克数相同，已知每千克乙种龙眼价格比每千克甲种龙眼的价格多2元．
(1)求甲、乙两种龙眼每千克的进货价格；
(2)这两种龙眼销售好，商场决定再购进这两种龙眼共600千克，且乙种龙眼的数量不超过甲种龙眼数量的2倍，甲种龙眼以15元/千克销售，乙种龙眼以20元/千克销售，请问甲、乙两种龙眼各进货多少千克时获得利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)甲种龙眼每千克的进货价格10元，乙种龙眼每千克的进货价格12元
(2)当商场再购进甲种龙眼的数量为200千克，乙种龙眼的数量为400千克时，获得的利润最大，最大利润是4200元
【分析】（1）设甲种龙眼每千克的进货价格元，则乙种龙眼每千克的进货价格元，根据某超市用5000元购进一批甲种龙眼和用6000元购进乙种龙眼的千克数相同建立方程，解方程即可得；
（2）设商场再购进甲种龙眼的数量为千克，则购进乙种龙眼的数量为千克，商场销售这两种龙眼获得的利润为元，从而可得关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设甲种龙眼每千克的进货价格元，则乙种龙眼每千克的进货价格元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：甲种龙眼每千克的进货价格10元，乙种龙眼每千克的进货价格12元．
（2）解：设商场再购进甲种龙眼的数量为千克，则购进乙种龙眼的数量为千克，商场销售这两种龙眼获得的利润为元，
由题意得：，
乙种龙眼的数量不超过甲种龙眼数量的2倍，
，
解得，
由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
则当时，取得最大值，最大值为，
此时，
答：当商场再购进甲种龙眼的数量为200千克，乙种龙眼的数量为400千克时，获得利润最大，最大利润是4200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用，正确建立方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
9．（2022·广东东莞·一模）为打造校园劳动实践基地，某学校计划在3月份购进甲、乙两种植株进行培育．已知甲植株的单价是乙植株单价的，用900元购买的甲植株数量比用600元购买的乙植株数量多10株．
(1)求甲、乙植株的单价分别是多少元．
(2)该学校决定购买甲、乙两种植株共150株，其中乙植株的数量不超过甲植株数量的，如何购进两种植株才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)甲植株的单价为18元，乙植株的单价为15元
(2)购买甲种植株90株，乙种植株60株费用最低，最低费用是2520元
【分析】（1）设乙植株的单价为元，则甲植株的单价为元，由题意：用900元购买的甲植株数量比用600元购买的乙植株数量多10株，列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买甲种植株a株则购进乙种植株株，根据乙种植株的数量不超过甲种 植株的，列出一元一次不等式，求出，再设总费用为W元，则元，然后由一次函数的性质即可得出结论．
【详解】（1）设乙植株的单价为元，则甲植株的单价为元，由题意得：
解得，，
经检验，是方程的解，并且符合题意，
∴，
∴甲植株的单价为18元，乙植株的单价为15元；
（2）设购买甲种植株a株则购进乙种植株株，总费用为W元，由题意得，
，
解得：；
又：，
，
的值随的增大而增大，
当时，最小，最小值为：，
∴购买甲种植株90株，乙种植株60株费用最低，最低费用是2520元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的该键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确到出一元一次不等式．
10．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考一模）为深入贯彻落实习近平总书记“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某单位计划购买甲、乙两种树苗开展义务植树活动．若购买100棵甲树苗和200棵乙树苗需花费8000元，若购买甲树苗和乙树苗各150棵，则需花费7500元．
(1)求甲、乙两种树苗每棵分别为多少元；
(2)为提升绿化效果，单位决定购买甲、乙两种树苗共400棵，总费用不超过10000元，则最少购买多少棵甲树苗？
【答案】(1)甲、乙两种树苗每棵分别为20元和30元
(2)最少购买200棵甲树苗
【分析】（1）设甲、乙两种树苗每棵分别为x元和y元，根据题意可列出关于x，y的二元一次方程组，解出x，y的值即可；
（2）设最少购买a棵甲树苗，则购买棵乙树苗，根据题意可列出关于a的一元一次不等式，解出a的解集，即得出答案．
【详解】（1）解：设甲、乙两种树苗每棵分别为x元和y元，
根据题意有：，
解得：，
答：甲、乙两种树苗每棵分别为20元和30元；
（2）解：设最少购买a棵甲树苗，则购买棵乙树苗，
根据题意有：，
解得：，
答：最少购买200棵甲树苗．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用．读懂题意，找出数量关系，正确列出等式或不等式是解题关键．
11．（2023·广东江门·三模）如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部处米远的地面处，测得宣传牌的底部的仰角为．同时测得建筑楼窗户处的仰角为（、、、在同一直线上）．然后，小明沿坡度为的斜坡从走到处，此时正好与地面平行，若小明在处又测得宣传牌顶部的仰角为，求宣传牌的高度．（结果精确到米，，）
【答案】宣传牌的高度约为米
【分析】过点作于，依题意知；得到四边形是矩形；根据矩形的性质得到；解直角三角形即可得到结论
【详解】解：过点作于，依题意知，，，，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，（米），
∵斜坡的坡度为．
∴中，（米），
∴（米）．
在中，（米），
∴（米）．
答：宣传牌的高度约为米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角及坡度坡角问题，正确标注仰角和俯角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
12．（2023·广东江门·三模）2021年元月，国家发展改革委和生态环境部颁布的《关于进一步加强塑料污染治理的意见》正式实施，各大塑料生产企业提前做好了转型升级．红星塑料有限公司经过市场研究购进一批型可降解聚乳酸吸管和一批型可降解纸吸管生产设备．已知购买5台型设备和3台型设备共需130万元，购买1台型设备的费用恰好可购买2台型设备．
（1）求两种设备的价格；
（2）市场开发部门经过研究，绘制出了吸管的销售收入与销售量（两种吸管总量）的关系（如所示）以及吸管的销售成本与销售量的关系（如所示）．
①的解析式为_____________；
的解析式为______________．
②当销售量（）满足条件________时，该公司盈利（即收入大于成本）．
（3）由于市场上可降解吸管需求大增，公司决定购进两种设备共10台，其中型设备每天生产量为1.2吨，型设备每天生产量为0.4吨，每天生产的吸管全部售出．为保证公司每天都达到盈利状态，结合市场开发部门提供的信息，求出型设备至少需要购进多少台？
【答案】（1）型设备为每台20万元，型设备为每台10万元；（2）①；；②；（3）至少购买型设备8台．
【分析】（1）设A型设备为每台万元，则型设备为每台万元，根据题意列二元一次方程组求解即可．
（2）①根据函数图像给出的点的信息，设函数表达式，求解参数即可．
②根据图像读出数据；
（3）设购进A型设备台，则购进型设备台，根据题意列出不等式求解即可．
【详解】（1）设A型设备为每台万元，则型设备为每台万元.依题意，得
，解得，
答：A型设备为每台20万元，型设备为每台10万元；
（2）①根据图像特点，设，，
将点（10,20）代入，求解得到k=2，则；
将点（0,10）、（10,20）代入，求解得到m=1，n=10，则；
②从图形可以看出时，该公司盈利；
（3）设购进A型设备台，则购进型设备台，依题意得
，解得.
∴的最小整数为，
答：至少购买A型设备8台．
【点睛】本题考查了二元一次方程组、一次函数性质与图像、一元一次不等式等有关知识点，读懂图像理解题意是解决问题的关键．
13．（2023·广东清远·校联考一模）如图，光明中学一教学楼顶上竖有一块高为的宣传牌，点E和点D分别是教学楼底部和外墙上的一点（A，B，D，E在同一直线上），小红同学在距E点9米的C处测得宣传牌底部点B的仰角为，同时测得教学楼外墙外点D的仰角为，从点C沿坡度为的斜坡向上走到点F时，正好与水平线平行．
(1)求点F到直线的距离（结果保留根号）；
(2)若在点F处测得宣传牌顶部A的仰角为，求出宣传牌的高度（结果精确到）．（注：）
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）过点F作于H，可得四边形是矩形，从而得到，在中，根据锐角三角函数，即可求解；
（2）根据的坡度为，可得（米），从而得到（米），在中，根据锐角三角函数，求出的长，即可求解．
【详解】（1）解：过点F作于H，
∵，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，（米），
∴（米）．
答：点F到的距离为米．
（2）解：∵的坡度为，
∴在中， （米），
在中，，
∴ （米），
∴（米），
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，（米），
∴（米），
答：宣传牌的高度约为米．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．
14．（2023·广东汕尾·校考二模）我市在创建全国文明城市过程中，决定购买A，B两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元．
(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？
(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，若购进这两种树苗共80棵，则有哪几种购买方案？
【答案】(1)A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元
(2)4种，见解析
【分析】（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，根据“购买A种树苗8棵，B种树苗2棵，需要900元；购买A种树苗5棵，B种树苗4棵，需要700元”列二元一次方程组求解可得；
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，根据“购进A种树苗不能少于32棵，且用于购买这两种树苗的资金不能超过5750元，”列不等式组求解可得．
【详解】（1）设A种树苗每棵x元，B种树苗每棵y元，
根据题意，得，
解得，
答：A种树苗每棵100元，B种树苗每棵50元．
（2）设购进A种树苗m棵，则购进B种树苗棵，
根据题意，得：，
解得：，
∵m为正整数，
∴或33或34或35，
所以购买的方案有：
①购进A种树苗32棵，B种树苗48棵；
②购进A种树苗33棵，B种树苗47棵；
③购进A种树苗34棵，B种树苗46棵；
④购进A种树苗35棵，B种树苗45棵．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式组、二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到题目蕴含的相等或不等关系得出方程组、不等式组．
15．（2023·广东江门·统考一模）某商城销售一新款耳机，每件进价为30元，经过试销发现，该耳机每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足如下关系：．
(1)求该商店销售这款耳机每天获得的利润（元）与之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少时，每天能获得最大的利润?每天利润的最大值是多少元?
【答案】(1)
(2)销售单价定为元时，每天能获得最大的利润?每天利润的最大值是元
【分析】（1）根据总利润等于每个耳机的利润乘销售量可得答案；
（2）根据（1）的解析式，根据二次函数的性质求得最大值即可求解．
【详解】（1）解：依题意，；
∴每天获得的利润（元）与之间的函数关系式为；
（2）解：∵，
∵，
∴当时，取得最大值，最大值为元，
答：销售单价定为元时，每天能获得最大的利润?每天利润的最大值是元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．（2023·广东东莞·校考一模）某中学为了创建“书香校园”，计划购买书架放置图书．在购买时发现：A种书架的单价比B种书架的单价贵50元，用1000元购买A种书架的个数与用800元购买B种书架的个数相同．
(1)求两种书架的单价各是多少元？
(2)学校准备购买A、B两种书架共20个，且购买的总费用不超过4500元，求最多可以购买多少个A种书架？
【答案】(1)A书架250元，B书架200元；
(2)10个
【分析】（1）设A种书架单价为元，B种书架单价为元，根据题意列分式方程，解方程求解即可；
（2）设书架个，则B种书架个，根据题意列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】（1）解：设A种书架单价为元，则B种书架单价为元，根据题意得，
，
解得，
经检验，是原方程的解，
则B种书架单价为（元），
答：A书架250元，B书架200元；
（2）设书架个，则B种书架个，根据题意得，
，
解得，
的最大值为10，
最多可以购买10个A种书架．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键．
17．（2023·广东惠州·校考一模）在我市“青出绿水”行动中，某村计划对面积为3600m2的山坡进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为400m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化．
（2）若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，该村要使这次绿化的总费用不超过40万元．则至少应安排乙工程队绿化多少天？
【答案】（1）甲、乙两工程队每天各完成绿化的面积分别是100m2、50m2；（2）至少应安排乙工程队绿化32天．
【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意列出方程即可；
（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，由题意得100a＋50b＝3600，再根据题意得出不等式，即可得出结论．
【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是xm2，根据题意，得
，
解得，
经检验，是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是50×2＝100（m2），
答：甲、乙两工程队每天各完成绿化的面积分别是100m2、50m2；
（2）设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务，
由题意得：100a＋50b＝3600，
解得a＝−b＋36，
根据题意，得1.2×（−b＋36）＋0.5b≤40，
解得b≥32，
∴至少应安排乙工程队绿化32天，
答：至少应安排乙工程队绿化32天．
【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解．
18．（2023·广东惠州·统考一模）疫情全面开放以来，旅游业迅速升温，某旅行社为吸引广大市民组团去市旅游，推出了如下收费标准：如果人数不超过10人，人均旅游费用为350元，如果人数超过10人，每增加1人，人均旅游费用降低5元，但人均旅游费用不得低于280元．
(1)如果某公司组织12人参加去市旅游，那么需人均支付旅行社旅游费用__________元；
(2)现某公司组织员工去市旅游，共支付给该旅行社旅游费用6000元，那么该单位有多少名员工参加旅游？
【答案】(1)340
(2)20名
【分析】（1）根据所给的收费标准列式求解即可；
（2）设该单位有名员工参加旅游，计算得到可分下列两种情况：当时，当时，根据所给的收费标准列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，
人均支付旅行社旅游费用340元；
故答案为：340；
（2）解：设该单位有名员工参加旅游，由题意得：
，解得
，
该单位超过10人参加旅游；
当时，
由题意得，，
，
解得或（舍去）；
当时，
由题意得，，
解得（不符合题意）
综上所述，；
答：该单位有20名员工参加旅游．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题关键是需分不同情况进行讨论，根据题意列出一元二次方程，求解时舍去不符合题意的解，易错点是需确定未知数在不同取值范围时不同的解法．
19．（2022·广东广州·统考中考真题）某数学活动小组利用太阳光线下物体的影子和标杆测量旗杆的高度．如图，在某一时刻，旗杆的AB的影子为BC，与此同时在C处立一根标杆CD，标杆CD的影子为CE， CD = 1.6m，BC =5CD．
(1)求BC的长；
(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求旗杆AB的高度．
条件①：CE = 1.0m； 条件②：从D处看旗杆顶部A的仰角为54.46°．
注：如果选择条件①和条件②分别作答，按第一个解答计分．参考数据：sin54.46°≈0.81， cs54.46°≈0.58， tan54.46°≈1.40 ．
【答案】(1)；
(2)①；②旗杆AB高度约．
【分析】（1）根据BC =5CD，求解即可；
（2）①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，根据相似的性质求解即可；②当时，作点D到AB的垂线段DF，在Rt△ADF中，，求出，进一步可求出AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
【详解】（1）解：．
（2）解：①CE=1.0m时，连接DE，则有△DEC∽△ACB，
∴，
∴，
②当时，作点D到AB的垂线段DF，
则四边形BCDF是矩形，FB=DC=1.6m，FD=BC=8.0m，
Rt△ADF中，，
∴．
∴AB=AF+FB≈11.20m+1.6m≈12.8m．
∴旗杆AB高度约12.8m．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形，近似运算．解题的关键是掌握相似三角形的性质，解直角三角形．
20．（2023·广东东莞·东莞市东莞中学松山湖学校校考一模）某校近期举办了一年一度的戏剧节比赛，某班级因节目需要，须购买A、两种道具已知购买件A道具比购买件道具多元，购买件A道具和件道具共需要元．
(1)购买一件A道具和一件道具各需要多少元？
(2)根据班级情况，需要这两种道具共件，且购买两种道具的总费用不超过元求道具最A多购买多少件？
【答案】(1)购买件A道具需要元，件道具需要元
(2)道具A最多购买件
【分析】设购买件A道具需要元，件道具需要元，利用总价单价数量，结合“购买件A道具比购买件道具多元，购买件A道具和件道具共需要元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买A道具件，则购买道具件，利用总价单价数量，结合购买两种道具的总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【详解】（1）解；设购买件A道具需要元，件道具需要元，
依题意得：，
解得：，
答：购买件A道具需要元，件道具需要元．
（2）设购买A道具件，则购买道具件，
依题意得：，
解得：．
答：道具A最多购买件．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
21．（2023·广东广州·校考一模）“桃之夭夭，灼灼其华”，每年月份，我区某湿地公园内的桃花陆续绽放，引来众多市民前往踏青观赏，纷纷拍照留念，记录生活美好时光，小王抓住这一商机，计划从市场购进、两种型号的手机自拍杆进行销售，据调查，购进件型号和件型号自拍杆共需元，其中件型号自拍杆价格是件型号自拍杆价格的倍．
(1)求件型号和件型号自拍杆的进价各是多少元？
(2)若小王计划购进、两种型号自拍杆共件，并将这两款手机自拍杆分别以元，元的价钱进行售卖，为了保证全部售卖完后的总利润不低于元，求最多购进型号自拍杆多少件？
【答案】(1)件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元
(2)最多购进型号自拍杆件
【分析】（1）件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解；
（2）设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据题意列出不等式，解不等式，求最大整数解即可求解．
【详解】（1）解：件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元，根据题意得，
解得：
答：件型号自拍杆的进价为元，件型号自拍杆的进价为元
（2）解：设购进型号自拍杆件，则购进型号自拍杆件，根据题意得，
解得：，
取最大整数解，
答：最多购进型号自拍杆件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程组和不等式是解题的关键．
22．（2023·广东东莞·石龙三中校考一模）生鲜水果店采购了某品牌樱桃，进价每千克50元．而据统计发现樱桃的日销售量（千克）与每千克售价（元）之间满足一次函数关系．
(1)该生鲜水果店要想每日获得1200元的利润，则樱桃的售价每千克应定为多少元？
(2)当每千克樱桃的售价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)樱桃的售价每千克定为70元或80元时日获得1200元的利润
(2)当每千克樱桃的售价定为75元时，日销售利润最大，最大利润是1250元
【分析】（1）根据每日获得1200元的利润列出方程，解方程即可得到答案；
（2）设销售利润为元，根据题意列出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可列式：，
解得：，，
答：樱桃的售价每千克定为70元或80元时日获得1200元的利润；
（2）解：设销售利润为元，
根据题意可得：
，
当时，元
答：当每千克樱桃的售价定为75元时，日销售利润最大，最大利润是1250元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二次函数的应用，依据题意，正确建立方程和函数关系式是解题的关键．
23．（2023·广东东莞·校考一模）在新冠疫情爆发初期，某单位准备为一线防疫人员购买口罩，已知购买一个N95口罩比购买一个普通口罩多用20元．若用5000元购买N95口罩和用2000元购买普通口罩，则购买N95口罩的个数是购买普通口罩个数的一半．
(1)求购买一个N95口罩、一个普通口罩各需要多少元？
(2)若该单位准备一次性购买两种口罩共1000个，要求购买的总费用不超过10000元，则该单位最多购买N95口罩多少个？
【答案】(1)购买一个95N口罩需要25元，购买一个普通口罩需要5元
(2)该单位最多购买95N口罩250个
【分析】（1）、设购买一个普通口罩需要x元，则购买一个N95口罩需要x+20元，然后根据用5000元购买N95口罩和用2000元购买普通口罩，则购买N95口罩的个数是购买普通口罩个数的一半，列出分式方程，求解即可．
（2）、设购买N95口罩y个，则购买普通口罩1000-y个，用购买的总费用不超过10000元列出不等式，即可求出．
【详解】（1）解：设购买一个普通口罩需要x元，则购买一个N95口罩需要x+20元，
根据题意可得： ，
解得： ，
经检验：是原方程的解，
，
答：购买一个N95口罩需要25元，购买一个普通口罩需要5元；
（2）设购买N95口罩y个，则购买普通口罩1000-y个，
根据题意可得： ，
解得： ，
∵y为整数，
∴y的最大整数值为250，
∴该单位最多购买N95口罩250个．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，分析题目，找出相应的等量关系和不等关系是解题的关键．
24．（2023·广东东莞·校考一模）如图，在一个20米高的楼顶上有一信号塔DC，某同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测得信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了8米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为45°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．信号塔CD的高度是多少？
【答案】米
【详解】分析：利用30°的正切值即可求得AE长，进而可求得CE长．CE减去DE长即为信号塔CD的高度．
详解：根据题意得：AB=8，DE=20，∠A=30°，∠EBC=45°，
在Rt△ADE中，AE=DE=20，
∴BE=AE﹣AB=20﹣8，
在Rt△BCE中，CE=BE•tan45°=（20﹣8）×1=20﹣8，
∴CD=CE﹣DE=20﹣8﹣20=20﹣28．
∴信号塔CD的高度为米．
点睛：本题考查了解直角三角形-仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．
25．（2023·广东深圳·校联考二模）按要求解答
(1)某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2400米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？
(2)隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高米．建立如图所示的直角坐标系．
①此抛物线的函数表达式为________．（函数表达式用一般式表示）
②按规定，车顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少0.5米，则此隧道限高________米．
③已知人行道台阶高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？说明理由．
+
【答案】(1)原计划每天修20米
(2)①；②5.5米；③达标，理由见解析
【分析】（1）设原计划每天修x米，然后根据题意列分式方程求解即可；
（2）①由题意可得，然后运用待定系数法解答即可；②车的宽度为4米，令时求得，然后再减去0.5即可解答；③如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，令可解答点G的横坐标为，然后求出的长度即可解答．
【详解】（1）解：设原计划每天修x米
则根据题意可得：
解得：或
经检验，是分式方程的解．
答：原计划每天修20米．
（2）解：①根据题意可得：
设抛物线的函数表达式为
由题意可得：，解得：
所以抛物线的函数表达式为
②∵车的宽度为4米，车从正中通过，
∴令时，，
∴货车安全行驶装货的最大高度为（米）．
③如图：由高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3，
令，则有：，解得：（舍弃负值）
∴人行道台阶的宽度为：
∴人行道宽度设计达标．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式，二次函数图像上点的坐标特征等知识点，正确求得函数解析式是解答本题的关键．
x（万元）
10
12
14
16
y（件）
40
30
20
10
x
0
2
5
y
15
19
25