（广东专用）中考数学一轮复习分项汇编专题03 函数（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·广东广州·统考一模）点在一次函数的图象上，则的值为（ ）
A．13B．1C．5D．
【答案】D
【分析】把代入计算即可．
【详解】∵点在一次函数的图象上，
即当时，，
∴，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图像与点的坐标关系．当已知函数解析式时，求坐标中字母的值直接代入解析式求解即可．
2．（2023·广东茂名·统考一模）将抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，得到抛物线的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减（横轴），上加下减（纵轴）”，即可求解．
【详解】解：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得，
，
故选：．
【点睛】本题主要考查二次函数图像，理解函数图像平移的规律是解题的关键．
3．（2023·广东深圳·统考一模）已知反比例函数，当＜0时，随的增大而增大，则的值可能是（ ）
A．3B．2C．1D．-1
【答案】A
【分析】依据反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，即可得到2-＜0，进而得出的取值．
【详解】解：∵反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而增大，
∴2-＜0，
∴＞2，
∴可以取3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，解题时注意：当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
4．（2023·广东深圳·统考一模）把二次函数先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，新二次函数表达式变为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将原二次函数整理为用顶点式表示的形式，根据二次函数的平移可得新抛物线的表达式．
【详解】解：，
先向右平移2个单位长度得到的函数表达式为：，即，
再向上平移1个单位长度后，所得图象的函数表达式为，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．讨论二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．
5．（2023·广东肇庆·统考一模）对于抛物线，下列判断正确的是（ ）
A．顶点
B．抛物线向左平移个单位长度后得到
C．抛物线与轴的交点是
D．当时，随的增大而增大
【答案】C
【分析】根据二次函数解析式结合二次函数的性质以及平移的规律，即可得出结论．
【详解】A、，
抛物线的顶点，故错误，不符合题意，
B、抛物线向左平移个单位长度后得到，，故错误，不符合题意，
C、当时，，抛物线与轴的交点是，故正确，符合题意，
D、，
开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，故错误，不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的性质二次函数的图象与几何变换，解决本题的关键是熟悉二次函数的性质和平移的规律．
6．（2023·广东广州·统考一模）二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据当时，即抛物线经过即可判断．
【详解】当时，，
∴抛物线经过
∴只有B选项符合
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．（2023·广东佛山·统考一模）某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价元，销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个；销售单价每上涨1元，每天销量减少个．现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元，商家每天销售纪念品获得的利润元，则下列等式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据“销售单价每上涨1元，每天销量减少个”结合“当销售单价定为元时，每天可售出个”；即可表示出与之间的函数关系式，再表示出每天销售纪念品获得的利润等于单件利润乘以销量即可求解．
【详解】解：由题可得：
，
．
故选：D．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的实际应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系并表示出来．
8．（2023·广东深圳·统考一模）二次函数的图像如图所示，其对称轴是直线x＝1，则函数y＝ax＋b和y＝的大致图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先由的开口向下，对称轴是直线x＝1，与轴交于正半轴，判断的符号，再确定的图像分布，从而可得答案．
【详解】解： 的开口向下，对称轴是直线x＝1，与轴交于正半轴，
＜ ＞ ＞

即的图像过一，二，四象限，且过
的图像在一，三象限，
选项 ：的图像过一，二，四象限，且过 的图像在一，三象限，符合题意，
选项 ：的图像过一，二，四象限，但不过过 的图像在一，三象限，不符合题意，
选项 ：的图像过一，二，三象限，但不过过 的图像在一，三象限，不符合题意，
选项 ：的图像过一，二，四象限，过的图像在二，四象限，不符合题意，
故选：
【点睛】本题考查的是一次函数，反比例函数，二次函数的图像与性质，掌握利用函数图像分析问题是解题的关键．
9．（2023·广东佛山·统考一模）已知函数，，的图象交于一点，则值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
解得
将代入，
，
．
故选．
10．（2023·广东佛山·统考一模）已知抛物线的顶点为，其中，与x轴的一个交点为，与y轴的交点在和之间．下列结论中：①； ②； ③（m为任意实数）；④正确的个数为 （ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】抛物线的顶点坐标为，，与x轴有交点，说明抛物线开口向下，则，当时，而抛物线与y轴的交点在和之间，则，所以，故①是错误的；抛物线的顶点坐标为，所以抛物线关于对称轴对称，抛物线上的点也关于对称轴对称，则抛物线与x轴的另一个交点为，将此交点代入解析式，故②正确；当时y取最大值，所以正确；，而，所以，而抛物线与y轴的交点在和之间，，所以，所以正确．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为，，
抛物线开口向下，则，
当时，而抛物线与y轴的交点在和之间，
，
故①是错误的；
抛物线的顶点坐标为，
它的对称轴，即，
抛物线与x轴的一个交点为，
抛物线与x轴的另一个交点为，
即时，，
，
故②是正确的；
当时，y取最大值，
，
，
故③是正确的；
前面求出抛物线与x轴的另一个交点为，
即时，，
，
，
，
，
又抛物线与y轴的交点在和之间，
故④是正确的．
综合以上②③④是正确的，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的图像的性质和与系数的关系，根据顶点坐标和x轴的交点判断函数图像的开口方向，根据对称轴求与x轴的另一个交点是解答本题的关键．
11．（2023·广东中山·统考一模）如图，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，其图象如图所示，下列结论：①；②方程的两个根为和3；③；④当时，x的取值范围是；⑤当时，y随x的增大而增大．其中错误的有（ ）个
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】利用抛物线与轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与轴的一个交点坐标为，则可对②进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为0可得到，则可对③进行判断；根据抛物线在轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【详解】解：抛物线与轴有2个交点，
，
，故①错误；
抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
方程的两个根是，，故②正确；
，即，
而时，，即，
，
即，故③错误；
抛物线与轴的两点坐标为，，
当时，的取值范围是，故④错误；
抛物线的对称轴为直线，
当时，随增大而增大，
当时，随增大而增大，故⑤正确；
所以其中结论正确有①③④，共3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即，对称轴在轴左；当与异号时（即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由△决定：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点．
12．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在矩形中，，，为的中点，连接、，点，点分别是、上的点，且．设的面积为，的长为，则关于的函数图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】证明为等边三角形，再利用，即可求解．
【详解】解：，为的中点，则，
在中，，，则，
同理可得，
故为等边三角形，则，
，则，
在中，过点作于点，
则，
则，
该函数为开口向下的抛物线，时，的最大值为，
故选：A．
【点睛】本题考查的是动点图象问题，涉及到二次函数、解直角三角形等知识，有一定的综合性，难度适中．
二、填空题
13．（2023·广东中山·统考一模）把二次函数的图象向右平移2个单位后，再向上平移3个单位，所得的函数解析式为________．
【答案】
【分析】根据函数的平移规律代入运算，即可得出平移后的函数解析式．
【详解】解：由题意根据函数平移的规律左加右减，上加下减可得，
，
即，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的几何变换，主要是函数平移的规律左加右减，上加下减．
14．（2023·广东佛山·统考一模）如图，某同学画的反比例函数的图象如图所示，请写出图象中的错误______．
【答案】图象形状错误；不满足函数定义；与y轴有交点；对应点的位置不正确等
【分析】根据反比例函数的图象与性质进行观察判断．
【详解】解：观察图象，主要错误有：
①图象形状错误：反比例函数的图象是两支双曲线，不是射线组成；
②不满足函数定义：有一个x值，对应两个y值；
③与y轴有交点：∵中，，，∴图象不可能与坐标轴相交；
④对应点的位置不正确：比如，当时，，即图象需经过点，
故答案为：图象形状错误；不满足函数定义；与y轴有交点；图象上对应点的位置不正确等．
【点睛】本题考查反比例函数的图象，熟知反比例函数的图象特征以及与坐标轴的关系是解答的关键．
15．（2023·广东深圳·统考一模）如图，直角坐标系原点为斜边的中点，，点坐标为，且，反比例函数经过点C，则k的值为______．
【答案】
【分析】作于点．由可设，，根据勾股定理即可求出和的值，利用面积法求出的值，再利用勾股定理求出的值，得到点的坐标，然后可求出的值．
【详解】如图，作于点．
∵，为斜边的中点，
∴，
∴，．
∵，
可设，，由勾股定理得
，
（负值舍去），
，，
，
，
，
，
，
，．
反比例函数经过点，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，面积法求线段的长，锐角三角函数的定义，以及反比例函数图象上点的坐标特征，求出点的坐标是解答本题的关键．
16．（2023·广东东莞·统考一模）如图，将直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(2，1)，(7，1)，将三角板ABC沿x轴正方向平移，点B的对应点B'刚好落在反比例函数y=(x>0)的图象上，则点C平移的距离CC'=_______．
【答案】3
【分析】先根据平移的性质得到点B'的纵坐标为1，BB′=CC′，则利用反比例函数解析式可确定B'（10，1），则BB'=3，从而得到CC'的长度．
【详解】解：∵点A，B的坐标分别为（2，1），（7，1）．将三角板ABC沿x轴正方向平移，
∴点B'的纵坐标为1，BB′=CC′，
当y=1时，=1，解得x=10，
∴B'（10，1），
∴BB'=10-7=3，
∴CC'=3．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．也考查了平移的性质．
17．（2023·广东深圳·统考一模）如图，点A是函数（）的图象上任意一点，轴交函数（）的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，且，C、D在x轴上，则________．
【答案】-3
【分析】首先把平行四边形ABCD转化为矩形，然后根据k的几何意义求解．
【详解】解：过点B作BM⊥x轴，过点A作AN⊥x轴，则∠BMC＝∠AND＝90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，BC＝AD，
∴∠BCM＝∠ADN，
在△BCM和△ADN中
，
∴△BCM≌△ADN，
∴S▱BCDA＝S矩形BMNA＝5，
又∵S矩形BMNA＝−k＋2＝5，
∴k＝−3．
故答案为：−3．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何含义，平行四边形的性质．需要我们熟练掌握把已知图形转化为模型图形（与k相关的矩形或三角形）的能力．
18．（2023·广东深圳·统考一模）如图，点A，C为函数图象上的两点，过A，C分别作轴，轴，垂足分别为B，D，连接，，，线段交于点E，且点E恰好为的中点．当的面积为时，k的值为______．
【答案】
【分析】根据三角形的中线的性质求出的面积，根据相似三角形的性质求出，根据反比例函数系数k的几何意义解答即可．
【详解】解：∵点E为的中点，
∴的面积的面积，
∵点A，C为函数图象上的两点，
∴，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的性质，掌握反比例函数系数k的几何意义、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
19．（2023·广东佛山·统考一模）如图，二次函数（）图象的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，给出下列结论：①；②图象与轴的另一个交点为；③当时，随的增大而增大，正确结论的序号是_____．
【答案】①②③
【分析】根据二次函数的图象与性质逐个判断即可．
【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y轴的正半轴相交，
∴，，
∴，故①正确；
∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴与轴的一个交点坐标为，故②正确；
由图象可知，当时，随的增大而增大，故③正确，
综上，正确结论的序号是①②③，
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象与x轴的交点问题，熟练掌握抛物线的位置与系数间的关系是正确判断的关键．
三、解答题
20．（2023·广东茂名·统考一模）我市某景区商店在销售北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品时，发现该纪念品的月销售量y件是销售单价x元的一次函数，如表是该商品的销售数据．
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若该商品的进货单价是30元．请问，每件商品的销售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？
【答案】(1)y与x的函数关系式为；
(2)每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元．
【分析】（1）设y与x的函数关系式为，再根据待定系数法求解即可；
（2）根据月利润=每件商品的利润×月销售量列出列出解析式，再将其化为顶点式，再根据其性质取最大值即可．
【详解】（1）解：设y与x的函数关系式为，
根据题意得，，
解得：，
∴y与x的函数关系式为；
（2）解：设每个月可获得的利润为w，
根据题意得，，
整理得，，
∵，
∴该抛物线开口向下，w有最大值，
当时，w有最大值，最大值为1800元．
∴每件商品的销售价定为60元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是1800元．
【点睛】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
21．（2023·广东中山·统考一模）某超市以每千克40元的价格购进菠萝蜜，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到实惠．现决定降价销售，已知这种菠萝蜜销售量y（千克）与每千克降价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)若超市要想获利2400元，且让顾客获得更大实惠，这种菠萝蜜每千克应降价多少元？
【答案】(1)
(2)12元
【分析】（1）根据待定系数法即可求出函数关系式．
（2）根据总利润=每千克的利润销量，列一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为，
由题意可知，将和代入中得，
解得：
y与x之间的函数关系式为
故答案为：
（2）解：根据题意得
整理得：，
解得：，
又要让顾客获得更大实惠，
．
答：这种干果每千克应降价12元．
【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求解以及一元二次方程的应用．解题的关键在于是否能根据利润公式准确列出方程．
22．（2023·广东深圳·统考一模）某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售，文化衫的进价为每件40元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
(1)求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)设每月获得的利润为W（元）．这种文化衫销售单价定为多少元时，每月的销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)y＝﹣10x+1000
(2)销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元
【分析】（1）根据题意用待定系数法求出每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）根据利润＝单件利润×销量列出函数解析式，根据函数的性质求最值．
【详解】（1）设y与x之间的函数关系式为：y＝kx+b（k≠0），
将（40，600），（80，200）代入得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣10x+1000；
（2）由题意得：W＝（x﹣40）y＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000，
配方得：W＝﹣10（x﹣70）2+9000，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝70时，W有最大值为9000，
答：这种文化衫销售单价定为70元时，每月的销售利润最大，最大利润是9000元．
【点睛】本题考查二次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，关键是列出函数关系式．
23．（2023·广东佛山·统考一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点
(1)求，的值；
(2)若是坐标轴是的一点不与原点重合，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将点代入，得出，然后待定系数法求解析式即可求解；
（2）分两种情况进行讨论：①点在轴上不与原点重合；②点在轴上不与原点重合．根据，利用等腰三角形的对称性求解．
【详解】（1）解：将点代入，得，
∴,
将点,点代入一次函数，
得
解得：；
（2）是坐标轴是的一点不与原点重合，且满足，，
∴点在以为圆心为半径的圆上，
分两种情况：
①如果点在轴上不与原点重合
与关于直线对称，
所以点的坐标为；
②如果点在轴上不与原点重合，
与关于直线对称，
所以点的坐标为．
综上可知，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，等腰三角形的性质，正确求出函数的解析式是关键．
24．（2023·广东中山·统考一模）如图，曲线与直线交于，两点．
(1)求曲线和直线的解析式；
(2)根据第一象限图象观察，当时，x的取值范围是______．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）将点代入求出反比例函数表达式，再求出点B的坐标，最后将点A和点B的坐标代入即可求解；
（2）根据图象即可进行解答．
【详解】（1）解∶ 把点代入得：
，解得：，
∴曲线的解析式为，
把点代入得：，解得：，
∴，
把、代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为：．
（2）由图可知：当时，．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，会根据图象和不等式求函数值的取值范围．
25．（2023·广东东莞·统考一模）如图在平面直角坐标系中，直线AB：与反比例函数的图像交于A、B两点与x轴相交于点C，已知点A，B的坐标分别为和．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)点P为反比例函数图像的任意一点，若，求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）把点A代入直线得：，求出点A的坐标，再代入反比例函数关系即可作答；
（2）先求出B点坐标，再根据A、B的坐标，数形结合即可作答；
（3）先求出点C的坐标为：，即，可得，即，再根据，可得，即有，问题随之得解．
【详解】（1）把点A代入直线得：，
解得：，
∴点A的坐标为：，
∵反比例函数的图象过点A，
∴，
即反比例函数的解析式为，
（2）把点B代入直线得：，
解得：，
∴点B的坐标为：，
结合点A的坐标为：，
数形结合，不等式的解集为：或；
（3）把代入得：，
解得：，
即点C的坐标为：，即，
结合点A的坐标为：，
∴，
∵，
即：，
∵，即，
∴，
当点P的纵坐标为3时，则，解得，
当点P的纵坐标为时，则，解得，
∴点P的坐标为或．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积，数形结合是解题得关键．
26．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于第一、三象限内的，两点，与轴交于点 ．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）在轴上找一点使最大，求的最大值及点的坐标；
（3）直接写出当时，的取值范围．
【答案】（1），；（2）的最大值为， ；（3）或
【分析】（1）利用待定系数法，即可得到反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据一次函数y1=x+2，求得与y轴的交点P，此交点即为所求；
（3）根据AB两点的横坐标及直线与双曲线的位置关系求x的取值范围．
【详解】（1）∵在反比例函数上
∴
∴反比例函数的解析式为
把代入可求得
∴
把代入为 解得
∴一次函数的解析式为
（2）的最大值就是直线与两坐标轴交点间的距离.
设直线与轴的交点为
令，则，解得 ，
∴
令，则
∴
∴，
∴的最大值为
（3）根据图象的位置和图象交点的坐标可知：
当时的取值范围为：或．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数和一次函数的解析式，根据点的坐标求线段长，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．
27．（2023·广东深圳·统考一模）【探究函数的图象与性质】
(1)函数的自变量x的取值范围是 ；
(2)下列四个函数图象中，函数的图象大致是 ；
(3)对于函数，求当时，y的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．
解：∵，∴______．
∵，∴____．
【拓展说明】
(4)若函数，求y的取值范围．
【答案】(1)
(2)C
(3)，
(4)
【分析】（1）题目中的函数解析式可以直接写出x取值范围；
（2）根据x的取值范围可以判断y的正负，从可以解答本题；
（3）根据题目中的式子，可以把未填写的补充完整；
（4）仿照（3）中的计算过程可以求得y的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵函数，
∴当时，，当时，，
故选：C．
（3）解：∵，∴．
∵，∴．
故答案为：，；
（4）解：∵，
∴
，
∵，
∴．
【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键．
28．（2023·广东深圳·统考一模）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x轴斜对称，其中一点叫做另一点关于x轴的斜对称点．如：点，关于x轴斜对称，在平面直角坐标系中，点A的坐标为．
(1)下列各点中，与点A关于x轴斜对称的点是________（只填序号）；
①，②，③，④．
(2)若点A关于x轴的斜对称点B恰好落在直线上，的面积为3，求k的值；
(3)抛物线上恰有两个点M、N与点A关于x轴斜对称，抛物线的顶点为D，且为等腰直角三角形，则b的值为________．
【答案】(1)①④
(2)或
(3)
【分析】（1）根据关于x轴斜对称的定义进行逐一判断即可；
（2）根据关于x轴纵对称的点的定义，设，如图所示，设与x轴相交于点C，根据三角形面积公式求出，再分点C在x轴正半轴和在x轴负半轴两种情况求出直线的解析式，进而求出点B的坐标，再把点B的坐标代入到直线中进行求解即可；
（3）根据成纵对称的点的定义，可知这两个点的纵坐标为，再令，则，可得点M的坐标为，点，然后根据为等腰直角三角形，可得，可得到关于b的方程，即可求解；
【详解】（1）解：由题意得，与点关于x轴斜对称的点是，，
故答案为：①④；
（2）解：由斜对称的定义可设，且，
如图所示，设与x轴相交于点C，
∴，
；
①当C在x轴正半轴时：，，
设直线的函数解析式为：，
∴，
∴，
∴直线的函数解析式为：，
把代入中得，
∴，
把代入中得；
②当C在x轴负半轴时：，
同理可得的函数解析式为：
把代入中得得，
∴，
把代入中得；
综上所述，或；
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线，抛物线的顶点D的坐标为，
∵点M，N与点A关于x轴斜对称，
∴点M，N的纵坐标为，
令，则，
解得：，
∴点M的坐标为，点，
∵为等腰直角三角形，
∴，且，
∴，
解得：或0（舍去），
∵当时，N不是A关于x轴的斜对称，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题属于新定义题，是一次函数与几何图形，二次函数与一元二次方程的综合，难度较大，解题的关键是理解新定义，并能灵活运用所学知识进行解答．
29．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)求的面积最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)的面积最大值为
【分析】（1）把点，代入抛物线，利用待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线的解析式，令，可求出抛物线与轴的交点，根据待定系数法即可求解；
（3）如图所示，过点作轴交于，设，则，用含的式子表示的面积，根据抛物线的顶点式即可求出最大值．
【详解】（1）解：将，代入，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，解得，，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：如图所示，过点作轴交于，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为，
∴的面积最大值为．
【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，函数图像的性质特点及面积的计算方法是解题的关键．
30．（2023·广东茂名·统考一模）如图，直线与x轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点．
(1)求的值和抛物线的解析式．
(2) 为轴上一动点，过点且垂直于轴的直线与直线及抛物线分别交于点．若以为顶点的四边形是平行四边形，求的值．
【答案】(1)，抛物线的解析式为
(2)的值为或
【分析】（1）利用待定系数法将代入即可得到函数解析式；
（2）根据平行四边形的性质即可得到，分两种情况得到的值．
【详解】（1）解：把代入，得，
∴解得，
∴直线的解析式为，
∴，
把分别代入，
解得，
∴抛物线的解析式为，
（2）解：∵，
∴P，N，
有两种情况：
①当点在点的上方时， ，
∵四边形为平行四边形，
∴，即，
解得，
②当点在点的下方时，，
同理，，
解得，
综上所述，的值为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用和数形结合思想，理解二次函数最值的求法是解题的关键．
31．（2023·广东深圳·统考一模）如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点．
图1 备用图
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，是上方抛物线上一点，连接交线段于点，若，求点的坐标；
(3)抛物线上是否存在点使得，如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点的坐标为或
(3)存在，点的坐标为或
【分析】（1）运用待定系数法，将，代入，即可求得抛物线的解析式；
（2）先求出直线的解析式，设，过点作轴于点，过点作轴于点，易得，根据相似三角形的性质用含的式子表示点的坐标，再由点也在直线上，得到关于的方程，解方程即可；
（3）分情况讨论：①当点是抛物线上与点对称的点时，②当时，分别求得点的坐标．
【详解】（1）解：把，代入，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：抛物线与轴交于点，
，
设直线的解析式为，把，代入，
得，
解得，
直线的解析式为，
设，过点作轴于点，过点作轴于点，
，，
，
，
，即，，
，，
又点在直线上，
，
解得或，
当时，，即点的坐标为，
当时，，即点的坐标为；
（3）解：存在点使得，如图，
①当点是抛物线上与点对称的点时，则有，
点关于对称轴的对称点坐标为，
；
②当时，则有，
直线的解析式，
直线的解析式一次项系数为，设直线的解析式为，
把代入，得，
解得，
直线的解析式为，
联立，
解得，（舍去），
，
综上，存在点使得，点的坐标为或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，直线与抛物线的交点，互相平行的两直线的关系，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题的关键．
32．（2023·广东佛山·统考一模）如图，抛物线经过，，三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在直线下方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求点D的坐标以及的面积的最大值．
(3)点P是抛物线上一个动点，过P作轴于M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)点，此时的面积的最大值为4
(3)存在，当点A、P、M为顶点的三角形与相似时，则点或或或
【分析】（1）根据待定系数法，可得抛物线的解析式；
（2）根据铅垂法可得三角形的面积，然后根据二次函数的性质，可得答案；
（3）由题意易得，设点，，，且，然后根据题意可分当时和当时，进而分类求解即可．
【详解】（1）解：由题意可设抛物线解析式为，则把点代入得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为，即为；
（2）解：过点D作轴，交于点E，如图所示：
设直线的解析式为，则有：
，解得：，
∴直线的解析式为，
设点，则有，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，最大值为，
此时点；
（3）解：如图所示：
由，可知：，
∴，
设点，
∴，，且③，
∵，
∴以点A、P、M为顶点的三角形与相似，则有：
①当时，
∴④，
联立③④解得：或（舍去）或，
∴或；
②当时，
∴⑤，
联立③⑤解得：（舍去）或或，
∴或；
综上所述：当点A、P、M为顶点的三角形与相似时，则点或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的性质是解题的关键．
33．（2023·广东佛山·统考一模）如图1，已知二次函数的图象经过，，三点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)点是该二次函数图象上的一点，且满足（是坐标原点），求点的坐标；
(3)如图2，点是直线上方抛物线上的一点，过点作于点，作轴交于点，求周长的最大值．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】（1）由、、三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）当点在轴上方时，则可知当时，满足条件，由对称性可求得点坐标；当点在轴下方时，可证得，利用的解析式可求得直线的解析式，再联立直线和抛物线的解析式可求得点坐标；
（3）首先根据表示出的周长，判断出当最大时，的周长最大，求出直线的解析式，设，，利用二次函数的最值求出的最大值，再分别求出，，可得结果．
【详解】（1）解：由题意可得，
，解得：，
抛物线解析式为；
（2）当点在轴上方时，过作交抛物线于点，如图1，
、关于对称轴对称，、关于对称轴对称，
四边形为等腰梯形，
，即点满足条件，
；
当点在轴下方时，
，
，
，
可设直线解析式为，把代入可求得，
直线解析式为，
可设直线解析式为，把代入可求得，
直线解析式为，
联立直线和抛物线解析式可得，
解得 或，
；
综上可知满足条件的点的坐标为或；
（3）的周长，
是定值，
当最大时，的周长最大，
设直线的解析式为，将，代入得：
，解得：，
直线的解析式为，
设，，
，
当时，最大值为2，
，，
，，，
轴，
，
，，
的周长最大值为．
【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线的判定和性质、三角形的周长、二次函数的性质、方程思想伋分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中确定出点的位置是解题的关键，在（3）中用点的坐标表示出的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性强，难度较大．
34．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线下方抛物线上的一动点，于点M，轴交于点N．求线段的最大值和此时点P的坐标；
（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），P（，）；（3）（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0）
【分析】（1）将A、B坐标代入，利用待定系数法求解；
（2）证明∠PNM=45°，得到PM=PN，求出PN，利用二次函数的性质得到PN的最大值即可得到结果；
（3）画出图形，分情况讨论，根据等腰直角三角形的性质构造全等三角形，得到方程，解之可得点E坐标．
【详解】解：（1）将A，B代入中，
得，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）令x=0，则y=-3，
∴C（0，-3），
∵B（3，0），
∴∠OBC=∠OCB=45°，
∵PN∥y轴，
∴∠PNM=45°，
∵PM⊥BC，
∴PM=PN，则当PN最大时，PM最大，
设BC的解析式为y=mx+n，
则，解得：，
∴BC的解析式为y=x-3，
设P（x，），N（x，x-3），
则PN==，
当x=时，PN最大，则PM=PN==，
此时P（，）；
（3）∵△CEQ是以CQ为斜边的等腰直角三角形，
设Q（x，），
如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，
∵∠CEQ=90°，即∠QEN+∠CEM=90°，∠QEN+∠EQN=90°，
∴∠CEM=∠EQN，又∠M=∠N=90°，EQ=EC，
∴△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
则，
即，
解得：x=-2或x=3（舍），
∴OE=CM=2+3=5，即E（-5，0）；
如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，
同理可得，△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
∴，
解得：x=或（舍），
∴OE=CM=，即E（，0）；
如图，点E和点O重合，点Q和点B重合，
此时E（0，0）；
如图，过E作x轴的垂线，再分别过C和Q作y轴的垂线，分别交于M，N，
同理可得，△QNE≌△EMC（AAS），
∴CM=EN=，NQ=EM=3，
∴，
解得：x=（舍）或，
则OE=CM=，即E（，0）；
综上：点E的坐标为（-5，0）或（，0）或（0，0）或（，0）．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解一元二次方程，理解坐标与图形性质，进行分类讨论是解题的关键．
35．（2023·广东佛山·统考一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点为D，且．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若在线段上存在一点M，过点O作交的延长线于H，且，求点M的坐标；
(3)点P是y轴上一动点，点Q是在对称轴上一动点，是否存在点P，Q，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或或
【分析】（1）设出顶点式，待定系数法求出解析式即可；
（2）先根据点C的坐标求出直线的解析式，即可表示点M的坐标，作轴，作轴，证明，可得，然后表示出点H，最后将点H代入直线解析式，求出答案即可；
（3）分为菱形的边和对角线，两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，顶点为D，且，
∴设抛物线的解析式为：，
把点，代入，得：，
解得：，
∴；
（2）∵，时，，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴直线的解析式为．
∵，
∴，
设点M的坐标为，
如图所示，过点M作轴于点N，过点H作轴于点K，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴，
∵点在直线上，
∴，
解得，把代入中得，
∴点M的坐标为．
（3）存在．
分两种情况讨论：
当为菱形的边时，如图所示②：过C作于E．
∵，
∴，
∴Q点的坐标为或；
当为菱形的对角线时，如图所示③：
过点C作于E．
由题意可知，， 设，则，
在中，由勾股定理得，，
解得：，
∴点的纵坐标为，
∴此时Q点的坐标为．
综上所述，点Q的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，是中考常见的压轴题．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
销售单价x（元）
40
50
月销售量y（件）
100
80