（广东专用）中考数学一轮复习分项汇编专题05 三角形（2份，原卷版+解析版）

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1．（2023·广东佛山·统考一模）如图，是求作线段AB中点的作图痕迹，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠B＝45°B．AE＝EBC．AC＝BCD．AB⊥CD
【答案】A
【分析】根据中点的作图，可知CD垂直平分AB，再根据线段垂直平分线的性质进行作答即可．
【详解】由题意得，CD垂直平分AB，
，
则B、C、D选项均成立，
故选：A．
【点睛】本题考查了线段中点作图及线段垂直平分线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
2．（2023·广东佛山·统考一模）如图，在等腰中，，垂直平分，则的度数等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据三角形内角和定理可求出，利用线段垂直平分线的性质求出，即可求出的度数．
【详解】解：∵．
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟记垂直平分线的定理内容是解题的关键．
3．（2023·广东深圳·统考一模）如图，AB∥CE，∠A＝40°，CE=DE，则∠C的度数是（ ）
A．40°B．30°C．20°D．15°
【答案】C
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠AEC，根据等边对等角可得∠C=∠D，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AEC=2∠C，然后求解即可．
【详解】解：∵AB∥CE，
∴∠AEC=∠A=40°，
∵CE=DE，
∴∠C=∠D，
∴∠AEC=∠C+∠D=2∠C，
∴∠C=∠AEC=×40°=20°．
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
4．（2023·广东佛山·统考一模）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，若，，则的长度为（ ）
A．6B．8C．12D．16
【答案】C
【分析】先根据作图痕迹得到平分，再根据等腰三角形的三线合一证得，，再根据勾股定理求得即可．
【详解】解：由作图痕迹得到平分，
∵，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了基本尺规作图-作角平分线、等腰三角形的性质、勾股定理，熟悉基本作图，掌握等腰三角形的三线合一性质是解答的关键．
二、填空题
5．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为________________．
【答案】65°
【分析】利用三角形的外角性质，可求得，观察图中尺规作图的痕迹，可知 平分，即可求解．
【详解】∵∠A＝50°，∠B＝80°，且 是 的外角，
∴ ，
观察图中尺规作图的痕迹，得： 平分，
∴ ,
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，和三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图的作法，和三角形的外角性质（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和）．
6．（2023·广东深圳·统考一模）若直角三角形斜边上的高是3，斜边上的中线是6，则这个直角三角形的面积是 _____．
【答案】18
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得斜边长为12，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵直角三角形斜边上的中线是6，
∴斜边长为12，
∵斜边上的高是3，
∴这个直角三角形的面积是，
故答案为：18．
【点睛】本题考查直角三角形斜边中线性质，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解答的关键．
7．（2023·广东深圳·统考一模）如图，直角中，，根据作图痕迹，若，，则________cm．
【答案】
【分析】先解直角三角形ABC求出BC的长，从而求出AB的长，再由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，即可得到BE的长，再解直角△BED即可得到答案．
【详解】解：∵∠C=90°，AC=3cm，，
∴，
∴BC=4cm，
∴，
由作图方法可知DE是线段AB的垂直平分线，
∴DE⊥AB，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线的尺规作图，正确理解DE是线段AB的垂直平分线是解题的关键．
8．（2023·广东茂名·统考一模）如图，为等腰三角形，，是的平分线，点D是的中点，连接，若，则的长为______．
【答案】6
【分析】先证明，再利用三角形中位线定理即可得答案．
【详解】解：∵，是的平分线，
∴，
又∵点D是的中点，
∴，，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形中位线定理，熟练的运用三角形中位线定理是解本题的关键．
9．（2023·广东广州·统考一模）如图，中，，点在上，且，为上任意一点，若将绕A点逆时针旋转90°得到，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为______．
【答案】
【分析】在上截取，连接，证明，推出，当时，的值最小，即线段有最小值，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接，
∵将绕A点逆时针旋转得到，
∴，
∴即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵D点在线段上运动，
∴当时，的值最小，即线段有最小值，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴由勾股定理得，
∴线段有最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
10．（2023·广东茂名·统考一模）如图，在第1个△A1BC中，∠B＝20°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…，按此方法继续下去，第2021个等腰三角形的底角度数是______．
【答案】（） 2020×80°
【分析】根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第2021个等腰三角形的底角度数．
【详解】解：∵在△CBA1中，∠B=20°，A1B=CB，
∴∠BA1C==80°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×80°；
同理可得∠EA3A2=（）2×80°，∠FA4A3=（）3×80°，
∴第n个三角形中以An-1为顶点的底角度数是（） n-1×80°．
∴第2021个等腰三角形的底角度数是（）2020×80°，
故答案为（） 2020×80°．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
11．（2023·广东佛山·统考一模）如图所示，等边的边长为4，点F在内运动，运动过程始终保持，则线段的最小值为______；
【答案】##
【分析】根据运动过程始终保持，可知点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，连接，交圆O于点F，此时满足最短．据此利用勾股定理即可作答．
【详解】∵运动过程始终保持，
∴点F在以为直径的圆上，该圆记作圆O，
连接，交圆O于点F，此时满足最短．
如图，
∵等边的边长为4，
∴，，
∵点O为中点，
∴，
∴，
∴最短为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，等边三角形的性质等知识，判断出点F在以为直径的圆上，是解答本题的关键．
12．（2023·广东中山·统考一模）如图，点G是内的一点，且，是等边三角形，若，则的最大值为______．
【答案】
【分析】如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．说明，，，四点共圆，求出，利用三角形三边关系可得结论．
【详解】解：如图，作的外接圆，连接，，，过点作于点．
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴点在的外接圆上，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，解直角三角形，圆的有关知识等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造辅助圆解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
13．（2023·广东茂名·统考一模）如图，在和中，于A，于D，，与相交于点O．求证：．
【答案】见解析
【分析】由即可证明．
【详解】证明：∵，，
∴，
在和中，
，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握直角三角形全等的判定是解题的关键．
14．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，点A、D、C、F在同一条直线上，，
求证：
(1) ；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）证明，，即可证得，由此得到结论；
（2）根据全等三角形的性质直接得到结论．
【详解】（1）证明：
在和中，
∴，
∴；
（2）由（1）知，
∴．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理并熟练应用是解题的关键．
15．（2023·广东佛山·统考一模）如图，是直角三角形，是直角，，．
(1)过点作垂直于，垂足为；（不要求写作法，保留作图痕迹）
(2)求的长度．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）利用尺规过点作于即可．
（2）利用勾股定理求出，再利用面积法求出，利用勾股定理求出，即可解决问题．
【详解】（1）解：如图，线段即为所求．
（2），，，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查作图基本作图，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
16．（2023·广东汕头·一模）如图，直角梯形中，，，，过点B作于点E．
(1)求证：；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）首先根据垂直的定义可得，再根据得，然后利用AAS即可证明结论；
（2）首先根据全等三角形的性质可得，利用勾股定理可得，进而可得，然后再利用勾股定理计算出长即可．
【详解】（1）证明：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴（AAS）；
（2）∵，
∴，
在直角中：，
∴ ，
在直角中：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，难度不大，熟练掌握上述知识是解题关键．
17．（2023·广东佛山·统考一模）如图,分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD,等边△ABE.已知∠BAC=30°,EE⊥AB,垂足为F,连接DF；
求证:(1)AC=EF；
(2)四边形ADFE是平行四边形；
(3)AC⊥DF；
【答案】见解析
【分析】（1）首先Rt△ABC中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC，又因为△ABE是等边三角形，EF⊥AB，由此得到AE=2AF，并且AB=2AF，然后即可证明△AFE≌△BCA，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF；
（2）根据（1）知道EF=AC，而△ACD是等边三角形，所以EF=AC=AD，并且AD⊥AB，而EF⊥AB，由此得到EF∥AD，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE是平行四边形；
（3）先求∠EAC=90°，由▱ADFE得AE∥DF，可以得∠AGD=90°，则AC⊥DF．
【详解】证明：(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°，
∴AB=2BC，
又∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，
∴AB=2AF，AB=AE，
∴AF=BC，
在Rt△AFE和Rt△BCA中，
∵ ，
∴△AFE≌△BCA(HL)，
∴AC=EF；
(2)∵△ACD是等边三角形，
∴∠DAC=60°，AC=AD，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°，
又∵EF⊥AB，
∴EF∥AD，
∵AC=EF，AC=AD，
∴EF=AD，
∴四边形ADFE是平行四边形；
(3)∵∠EAC=∠EAF+∠BAC=60°+30°=90°
∵四边形ADFE是平行四边形，
∴AE∥FD，
∴∠EAC=∠AGD=90°，
∴AC⊥DF.
【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质，解题关键在于掌握各性质定义，灵活运用各定理.
18．（2023·广东广州·统考一模）已知，如图，在中，，，，过作，点在射线上、连接，交边于点．
(1)当时，求的长；
(2)当时，求的长；
(3)当为等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）根据平行线的性质可得，进而证明，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答；
（2）根据题意可得，，通过证明得出，即可求解；
（3）分两种情况进行讨论：①当时，过点B作于点F，交于点G，通过证明，即可求解；②当时，过点B作于点Q，通过证明即可求解．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得：．
（2）解：∵， ，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
（3）①当时，过点B作于点F，交于点G，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：．
②当时，过点B作于点Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴在中，根据勾股定理可得：，
即，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴．
由于，所以不存在的情形；
综上：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点，正确画出图形，证明三角形相似．