（浙江专用）中考数学二轮培优压轴题练习专题04 二次函数压轴综合问题（2份，原卷版+解析版）

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【考点1】二次函数有关计算与推理综合问题
【例1】（2019•杭州）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．
（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x时，y．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．
（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．
（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn．
【分析】（1）将（0，0），（1，0）代入y＝（x﹣x1）（x﹣x2）求出函数解析式即可求解；
（2）对称轴为x，当x时，y是函数的最小值；
（3）将已知两点代入求出m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，再表示出mn＝[][]，由已知0＜x1＜x2＜1，可求出0，0，即可求解．
【解析】（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；
∴二次函数经过点（0，0），（1，0），
∴x1＝0，x2＝1，
∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，
当x时，y，
∴乙说的不对；
（2）对称轴为x，
当x时，y是函数的最小值；
（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，
∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，
∴mn＝[][]
∵0＜x1＜x2＜1，
∴0，0，
∵x1≠x2，
∴m与n不能同时取到，
∴0＜mn．
点评：本题考查二次函数的性质；函数最值的求法；熟练掌握二次函数的性质，能够将mn准确的用x1和x2表示出来是解题的关键．
【例2】（2019•湖州）已知抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点．
（1）求c的取值范围；
（2）若抛物线y＝2x2﹣4x+c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由．
【分析】（1）由二次函数与x轴交点情况，可知△＞0；
（2）求出抛物线对称轴为直线x＝1，由于A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；
【解析】（1）∵抛物线y＝2x2﹣4x+c与x轴有两个不同的交点，
∴△＝b2﹣4ac＝16﹣8c＞0，
∴c＜2；
（2）抛物线y＝2x2﹣4x+c的对称轴为直线x＝1，
∴A（2，m）和点B（3，n）都在对称轴的右侧，
当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴m＜n；
点评：本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键．
【例3】（2019•台州）已知函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（﹣2，4）．
（1）求b，c满足的关系式；
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式；
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当﹣5≤x≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值．
【分析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，c＝2b；
（2）m，n，得n＝2b﹣m2；
（3）y＝x2+bx+2b＝（x）22b，当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；此时y＝x2，最大值与最小值之差为25；当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，得0≤b≤8，当﹣5≤x≤1时，函数有最小值2b，当﹣52时，函数有最大值1+3b，当﹣21时，函数有最大值25﹣3b；
当最大值1+3b时，1+3b2b＝16，b＝6；当最大值25﹣3b时，b＝2；
【解析】（1）将点（﹣2，4）代入y＝x2+bx+c，
得﹣2b+c＝0，
∴c＝2b；
（2）m，n，
∴n，
∴n＝2b﹣m2＝﹣4m﹣m2；
（3）y＝x2+bx+2b＝（x）22b，
对称轴x，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c＝0；
此时y＝x2，当﹣5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0＜b≤8，
∴﹣4≤x0，
当﹣5≤x≤1时，函数有最小值2b，
当﹣52时，函数有最大值1+3b，
当﹣21时，函数有最大值25﹣3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1+3b时，1+3b2b＝16，
∴b＝6或b＝﹣10，
∵4＜b≤10，
∴b＝6；
当最大值25﹣3b时，25﹣3b2b＝16，
∴b＝2或b＝18，
∵2≤b≤4，
∴b＝2；
综上所述b＝2或b＝6；
点评：本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象，数形结合解题是关键．
【考点2】二次函数与几何图形交点综合问题
【例4】（2019•金华）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．
【分析】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．
（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题．
（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断．
【解析】（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．
∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．
（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．
∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，
∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），
根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．
（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），
∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，
∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，
如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，
解得m或（舍弃），
当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，
解得m＝1或4（舍弃），
∴当m＜1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
点评：本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．
【考点3】二次函数与距离综合问题
【例5】（2019•宁波）如图，已知二次函数y＝x2+ax+3的图象经过点P（﹣2，3）．
（1）求a的值和图象的顶点坐标．
（2）点Q（m，n）在该二次函数图象上．
①当m＝2时，求n的值；
②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．
【分析】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，即可求出a；
（2）①把m＝2代入解析式即可求n的值；
②由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；
【解析】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，
∴a＝2，
∴y＝x2+2x+3，
∴顶点坐标为（﹣1，2）；
（2）①当m＝2时，n＝11，
②点Q到y轴的距离小于2，
∴|m|＜2，
∴﹣2＜m＜2，
∴2≤n＜11；
点评：本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
【考点4】二次函数与几何变换综合问题
【例6】（2019•温州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+2x+6的图象交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）
（1）求点A，B的坐标，并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围．
（2）把点B向上平移m个单位得点B1．若点B1向左平移n个单位，将与该二次函数图象上的点B2重合；若点B1向左平移（n+6）个单位，将与该二次函数图象上的点B3重合．已知m＞0，n＞0，求m，n的值．
【分析】（1）把y＝0代入二次函数的解析式中，求得一元二次方程的解便可得A、B两点的坐标，再根据函数图象不在x轴下方的x的取值范围得y≥0时x的取值范围；
（2）根据题意写出B2，B3的坐标，再由对称轴方程列出n的方程，求得n，进而求得m的值．
【解析】（1）令y＝0，则，
解得，x1＝﹣2，x2＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
由函数图象得，当y≥0时，﹣2≤x≤6；
（2）由题意得，B1（6，m），B2（6﹣n，m），B3（﹣n，m），
函数图象的对称轴为直线，
∵点B2，B3在二次函数图象上且纵坐标相同，
∴，
∴n＝1，
∴，
∴m，n的值分别为，1．
点评：本题主要考查了二次函数的图象与性质，求函数与坐标轴的交点坐标，由函数图象求出不等式的解集，平移的性质，难度不大，关键是正确运用函数的性质解题．
【考点5】二次函数与实际应用综合问题
【例7】（2019•嘉兴）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数pt刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p（t﹣h）2+0.4刻画．
（1）求h的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：
①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；
②请用含t的代数式表示m．
（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．
【分析】（1）把（25，0.3）代入p（t﹣h）2+0.4，解方程即可得到结论；
（2）①由表格可知，m是p的一次函数，于是得到m＝100p﹣20；
②当10≤t≤25时，pt，求得m＝100（t）﹣20＝2t﹣40；当25≤t≤37时，根据题意即可得到m＝100[（t﹣h）2+0.4]﹣20（t﹣29）2+20；
（3）（Ⅰ）当20≤t≤25时，（Ⅱ）当25≤t≤37时，w＝300，根据二次函数的性质即可得到结论．
【解析】（1）把（25，0.3）代入p（t﹣h）2+0.4得，0.3（25﹣h）2+0.4，
解得：h＝29或h＝21，
∵h＞25，
∴h＝29；
（2）①由表格可知，m是p的一次函数，
∴m＝100p﹣20；
②当10≤t≤25时，pt，
∴m＝100（t）﹣20＝2t﹣40；
当25≤t≤37时，p（t﹣h）2+0.4，
∴m＝100[（t﹣h）2+0.4]﹣20（t﹣29）2+20；
（3）（Ⅰ）当20≤t≤25时，
由（20，200），（25，300），得w＝20t﹣200，
∴增加利润为600m+[200×30﹣w（30﹣m）]＝40t2﹣600t﹣4000，
∴当t＝25时，增加的利润的最大值为6000元；
（Ⅱ）当25≤t≤37时，w＝300，
增加的利润为600m+6000﹣w（30﹣m）（t﹣29）2+15000；
∴当t＝29时，增加的利润最大值为15000元，
此时，m＝20，
综上所述，当t＝29时，提前上市20天，增加的利润最大值为15000元．
点评：本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，此题涉及数据较多，认真审题很关键．二次函数的最值问题要利用性质来解，注意自变量的取值范围．
【例8】（2019•衢州）某宾馆有若干间标准房，当标准房的价格为200元时，每天入住的房间数为60间．经市场调查表明，该馆每间标准房的价格在170～240元之间（含170元，240元）浮动时，每天入住的房间数y（间）与每间标准房的价格x（元）的数据如下表：
（1）根据所给数据在坐标系中描出相应的点，并画出图象．
（2）求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围．
（3）设客房的日营业额为w（元）．若不考虑其他因素，问宾馆标准房的价格定为多少元时，客房的日营业额最大？最大为多少元？
【分析】（1）描点、连线即可得；
（2）待定系数法求解可得；
（3）由营业额＝入住房间数量×房价得出函数解析式，再利用二次函数的性质求解可得．
【解析】（1）如图所示：
（2）设y＝kx+b，
将（200，60）、（220，50）代入，得：，
解得，
∴yx+160（170≤x≤240）；
（3）w＝xy＝x（x+160）x2+160x，
∴对称轴为直线x160，
∵a0，
∴在170≤x≤240范围内，w随x的增大而减小，
∴当x＝170时，w有最大值，最大值为12750元．
点评：此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值问题，由营业额＝入住房间数量×房价得出函数解析式及二次函数的性质是解题关键．
【例9】（2019•舟山）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图，当10≤t≤25时可近似用函数pt刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p（t﹣h）2+0.4刻画．
（1）求h的值．
（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：
求：①m关于p的函数表达式；
②用含t的代数式表示m．
③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市，现根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25＜t≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大？并说明理由．（注：农作物上市售出后大棚暂停使用）
【分析】（1）把（25，0.3）代入p（t﹣h）2+0.4中，便可求得h；
（2）①由表格可知，m是p的一次函数，由待定系数法可解；
②分别求出当10≤t≤25时和当25≤t≤37时的函数解析式即可；
③分别求出当20≤t≤25时，增加的利润和当25＜t≤37时，增加的利润，然后比较两种情况下的最大值，即可得结论．
【解析】（1）把（25，0.3）代入p（t﹣h）2+0.4得：
0.3（25﹣h）2+0.4
解得：h＝29或h＝21，
∵25≤t≤37
∴h＝29．
（2）①由表格可知，m是p的一次函数，
设m＝kp+b
把（0.2，0），（0.3，10）代入得
解得
∴m＝100p﹣20．
②当10≤t≤25时，pt
∴m＝100（t）﹣20＝2t﹣40；
当25≤t≤37时，p（t﹣h）2+0.4
∴m＝100[（t﹣h）2+0.4]﹣20（t﹣29）2+20
∴m
③当20≤t≤25时，增加的利润为：
600m+[100×30﹣200（30﹣m）]＝800m﹣3000＝1600t﹣35000
当t＝25时，增加的利润的最大值为1600×25﹣35000＝5000元；
当25＜t≤37时，增加的利润为：
600m+[100×30﹣400（30﹣m）]＝1000m﹣9000＝﹣625（t﹣29）2+11000
∴当t＝29时，增加的利润的最大值为11000元．
综上，当t＝29时，提前20天上市，增加的利润最大，最大值为11000元．
点评：本题综合考查了待定系数法求二次函数和一次函数的解析式以及一次函数和二次函数的实际应用，难度较大．
【考点6】二次函数与几何综合问题
【例10】（2019•湖州）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，连结AC，OA＝3，tan∠OAC，D是BC的中点．
（1）求OC的长和点D的坐标；
（2）如图2，M是线段OC上的点，OMOC，点P是线段OM上的一个动点，经过P，D，B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连结DE交AB于点F．
①将△DBF沿DE所在的直线翻折，若点B恰好落在AC上，求此时BF的长和点E的坐标；
②以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，请直接写出点G运动路径的长．
【分析】（1）由OA＝3，tan∠OAC，得OC，由四边形OABC是矩形，得BC＝OA＝3，所以CDBC，求得D（，）；
（2）①由易知得ACB＝∠OAC＝30°，设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，所以∠BDB'＝60°，∠BDF＝∠B'DF＝30°，所以BF＝BD•tan30°，AF＝BF，因为∠BFD＝∠AEF，所以∠B＝∠FAE＝90°，因此△BFD≌△AFE，AE＝BD，点E的坐标（，0）；
②动点P在点O时，求得此时抛物线解析式为yx2x，因此E（，0），直线DE：yx，F1（3，）；当动点P从点O运动到点M时，求得此时抛物线解析式为yx2x，所以E（6，0），直线DE：yx，所以F2（3，）；所以点F运动路径的长为F1F2，即G运动路径的长为．
【解析】（1）∵OA＝3，tan∠OAC，
∴OC，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA＝3，
∵D是BC的中点，
∴CDBC，
∴D（，）；
（2）①∵tan∠OAC，
∴∠OAC＝30°，
∴∠ACB＝∠OAC＝30°，
设将△DBF沿DE所在的直线翻折后，点B恰好落在AC上的B'处，
则DB'＝DB＝DC，∠BDF＝∠B'DF，
∴∠DB'C＝∠ACB＝30°
∴∠BDB'＝60°，
∴∠BDF＝∠B'DF＝30°，
∵∠B＝90°，
∴BF＝BD•tan30°，
∵AB，
∴AF＝BF，
∵∠BFD＝∠AEF，
∴∠B＝∠FAE＝90°，
∴△BFD≌△AFE（ASA），
∴AE＝BD，
∴OE＝OA+AE，
∴点E的坐标（，0）；
②动点P在点O时，
∵抛物线过点P（0，0）、D（，）、B（3，）
求得此时抛物线解析式为yx2x，
∴E（，0），
∴直线DE：yx，
∴F1（3，）；
当动点P从点O运动到点M时，
∵抛物线过点P（0，）、D（，）、B（3，）
求得此时抛物线解析式为yx2x，
∴E（6，0），
∴直线DE：yx，
∴F2（3，）；
∴点F运动路径的长为F1F2，
如图，当动点P从点O运动到点M时，点F运动到点F'，点G也随之运动到G'．
连接GG'．当点P向点M运动时，抛物线开口变大，F点向上线性移动，所以G也是线性移动．
即GG'＝FF'．
∵△DFG、△DF'G'为等边三角形，
∴∠GDF＝∠G'DF'＝60°，DG＝DF，DG'＝DF'，
∴∠GDF﹣∠GDF'＝∠G'DF'﹣∠GDF'，
即∠G'DG＝∠F'DF
在△DFF'与△FGG'中，
，
∴△DFF'≌△FGG'（SAS），
∴GG'＝FF'
即G运动路径的长为．
点评：本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、特殊三角函数以及三角形全等的判定与性质是解题的关键．
1．（2020•下城区模拟）已知点A （1，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）上一点．
（1）用a的代数式表示b；
（2）若1≤a≤2，求的范围；
（3）在（2）的条件下，设当1≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n（用a的代数式表示）．
【分析】（1）把A（1，1）代入y＝ax2+bx+4，整理后即可得到结论；
（2）由（1）可知b＝﹣a﹣3，则，根据1≤a≤2即可求得的范围；
（3）根据题意当x＝1时，得到m＝1，当x时，得到n，①当时，x＝2函数值最大，m＝4a﹣2a﹣6+4＝2a﹣2，即可得到m﹣n；②当2时，x＝1函数值最大，m＝a﹣a﹣3+4＝1，即可得到m﹣n═．
【解答】解：（1）把A （1，1）代入y＝ax2+bx+4得，1＝a+b+4，
∴b＝﹣a﹣3；
（2）∵b＝﹣3﹣a，
∴y＝ax2﹣（a+3）x+4＝a（x）2，
∴对称轴为直线x，
∵1≤a≤2，
∴2，
∴2；
（3）∵2，1≤x≤2，
∴当x时，n，
∵抛物线开口向上，
∴离对称轴越远，函数值越大，
①当时，x＝2函数值最大，
∴m＝4a﹣2a﹣6+4＝2a﹣2，
∴m﹣n＝2a，
②当2时，x＝1函数值最大，
∴m＝a﹣a﹣3+4＝1，
∴m﹣n═．
2．（2020•拱墅区校级一模）已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A的坐标为（0，1）．
（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；
（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；
（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．
【分析】（1）把A点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a与b的值；
（2）画出函数图象，根据函数图象作答；
（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大”时x的取值范围，进而得m的最小值和n的最大值．
【解答】解：（1）把A（0，1）代入y1＝2x+b得b＝1，
把A（0，1）代入y2＝a（x2+bx+1）得，a＝1，
∴y1＝2x+1，y2＝x2+x+1；
（2）解方程组得或，
∴B（1，3），
作y1＝2x+1，y2＝x2+x+1的图象如下：
由函数图象可知，y1＝2x+1不在y2＝x2+x+1下方时，0≤x≤1，
∴当y1≥y2时，x的取值范围为0≤x≤1；
（3）∵u＝y1+y2＝2x+1+x2+x+1＝x2+3x+2＝（x+1.5）2﹣0.25，
∴当x≥﹣1.5时，u随x的增大而增大；
v＝y1﹣y2＝（2x+1）﹣（x2+x+1）＝﹣x2+x＝﹣（x﹣0.5）2+0.25，
∴当x≤0.5时，v随x的增大而增大，
∴当﹣1.5≤x≤0.5时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，
∵若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，
∴m的最小值为﹣1.5，n的最大值为0.5．
3．（2020•温州模拟）已知，如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B．此抛物线与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点M为抛物线上一动点，是否存在点M．使△ACM与△ABC的面积相等？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，可以先求的点A和点B的坐标，然后即可求得该抛物线的解析式；
（2）先判断是否存在点M，然后根据题意和图形即可得到点M的坐标，本题得以解决．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3，
∴当x＝0时，y＝3，当y＝0时，x＝3，
∵直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，
∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，3），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过直线y＝﹣x+3与坐标轴的两个交点A，B，
∴，得，
即抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）存在点M．使△ACM与△ABC的面积相等．
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x﹣1）2+4与x轴的另一个交点为C．抛物线的顶点为D，
∴点C的坐标为（﹣1，0），点D的坐标为（1，4），
∵△ACM与△ABC的面积相等，点B的坐标为（0，3），
∴点M的纵坐标是3或﹣3，
当点M的纵坐标为3时，3＝﹣x2+2x+3，得x1＝0，x2＝2，
则点M的坐标为（2，3）；
当点M的纵坐标为﹣3时，﹣3＝﹣x2+2x+3，得x31，x41，
则点M的坐标为（1，﹣3）或（1，﹣3）；
由上可得，点M的坐标为（2，3）、（1，﹣3）或（1，﹣3）．
4．（2020•上城区模拟）已知函数y＝﹣x2+bx+c（其中b，c是常数）
（1）四位同学在研究此函数时，甲发现当x＝0时，y＝5；乙发现函数的最大值为9；丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2；丁发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根．已知这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，请直接写出错误的那个人是谁，并求出此函数表达式；
（2）在（1）的条件下，函数y＝﹣x2+bx+c的图象顶点为A，与x轴正半轴交点为B，与y轴的交点为C，若将该图象向下平移m（m＞0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围；
（3）若c＝b2，当﹣2≤x≤0时，函数y＝﹣x2+bx+c的最大值为5，求b的值．
【分析】（1）假设两位同学的结论正确，用其去验证另外两个同学的结论，只要找出一个正确一个错误，即可得出结论；
（2）y＝﹣x2+4x+5，则点A（2，9），平移后顶点坐标为：（2，9﹣m），按照平移后的图象顶点在点A、H之间求解即可；
（3）分b≥0、﹣2b＜0、b≤﹣4三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）甲发现当x＝0时，y＝5，则c＝5；乙发现函数的最大值为9，即c9；
丙发现函数图象的对称轴是直线x＝2，则4，即b＝4；丁发现4是方程﹣x2+bx+c＝0的一个根，则c+4b＝16，
假设甲和丙正确，即c＝5，b＝4，则即c9，故乙正确，而丁错误，
故错误的是丁，函数的表达式为：y＝﹣x2+4x+5；
（2）y＝﹣x2+4x+5，则点A（2，9），平移后顶点坐标为：（2，9﹣m），
y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则x＝5或﹣1，故点B（5，0），而点C（0，5），
过点A作y轴的平行线交BC于点H，
设直线BC解析式为：y＝kx+5，把点B的坐标代入，得5k+5＝0．
解得k＝﹣1．
故直线BC的表达式为：y＝﹣x+5，
当x＝2时，y＝3，故点H（2，3），
函数图象的顶点落在△ABC的内部，则3＜9﹣m＜9，
解得：0＜m＜6；
（3）c＝b2，则抛物线的表达式为：y＝x2+bx+b2，函数的对称轴为：xb，
①当b≥0时，即b≥0，
则x＝0时，y取得最大值，即b2＝5，解得：b（舍去负值）；
②当﹣2b＜0时，即﹣4＜b＜0，
当xb时，y取得最大值，即﹣（b）2b2+b2＝5，解得：b＝±2（舍去2）；
③当b≤﹣4时，
同理可得：b＝1（舍去）；
综上，b或﹣2．
5．（2020•衢州模拟）金松科技生态农业养殖有限公司种植和销售一种绿色羊肚菌，已知该羊肚菌的成本是12元/千克，规定销售价格不低于成本，又不高于成本的两倍．经过市场调查发现，某天该羊肚菌的销售量y（千克）与销售价格x（元/千克）的函数关系如下图所示：
（1）求y与x之间的函数解析式；
（2）求这一天销售羊肚菌获得的利润W的最大值；
（3）若该公司按每销售一千克提取1元用于捐资助学，且保证每天的销售利润不低于3600元，问该羊肚菌销售价格该如何确定．
【分析】（1）①当12≤x≤20时，设y＝kx+b．代（12，2000），（20，400），求得k和b；②当20＜x≤24时，y＝400．
（2）分别写出①当12≤x≤20时，②当20＜x≤24时，相应的函数关系式并求得其最大值，两者相比较，取较大者即可；
（3）分两种情况：①当12≤x≤20时，②当20＜x≤24时，分别令其W值等于或者大于等于3600，即可得解．
【解答】解：（1）①当12≤x≤20时，设y＝kx+b．代（12，2000），（20，400），
得
解得
∴y＝﹣200x+4400
②当20＜x≤24时，y＝400．
综上，y
（2）①当12≤x≤20时，
W＝（x﹣12）y
＝（x﹣12）（﹣200x+4400）
＝﹣200（x﹣17）2+5000
当x＝17时，W的最大值为5000；
②当20＜x≤24时，
W＝（x﹣12）y
＝400x﹣4800．
当x＝24时，W的最大值为4800．
∴最大利润为5000元．
（3）①当12≤x≤20时，
W＝（x﹣12﹣1）y
＝（x﹣13）（﹣2000x+4400）
＝﹣200（x﹣17.5）2+4050
令﹣200（x﹣17.5）2+4050＝3600
x1＝16，x2＝19
∴定价为16≤x≤19
②当20＜x≤24时，
W＝400（x﹣13）＝400x﹣5200≥3600
∴22≤x≤24．
综上，销售价格确定为16≤x≤19或22≤x≤24．
6．（2020•萧山区一模）如图，二次函数y＝ax2﹣3ax+c的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C直线y＝﹣x+4经过点B、C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点A的直线交抛物线于点M，交直线BC于点N．
①点N位于x轴上方时，是否存在这样的点M，使得AM：NM＝5：3？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角∠ANB等于∠ACB的2倍时，请求出点M的横坐标．
【分析】（1）由直线y＝﹣x+4知：点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），则二次函数表达式为：y＝ax2﹣3ax+4，将点A的坐标代入上式，即可求解；
（2）①设点N（m，mk+k），即：mk+k＝﹣m+4…①，则点M[m，]，将点M的坐标代入二次函数表达式得：（）2+3（）+4…②，联立①②即可求解；②当∠ANB＝2∠ACB时，则∠ANB＝90°，即可求解．
【解答】解：（1）由直线y＝﹣x+4知：点B、C的坐标分别为（4，0）、（0，4），
则二次函数表达式为：y＝ax2﹣3ax+4，将点A的坐标代入上式并解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4，
则点A（﹣1，0）；
（2）①不存在，理由：
设直线AM的表达式为：y＝kx+b，
将点A的坐标代入上式并解得：
直线AM的表达式为：y＝kx+k，
如图1所示，分别过点M、N作x轴的垂线交于点H、G，
∵AM：NM＝5：3，则MHNG，
设点N（m，mk+k），即：mk+k＝﹣m+4…①，
则点M[m，]，
将点M的坐标代入二次函数表达式得：
（）2+3（）+4…②，
联立①②并整理得：5m2﹣2m+3＝0，
△＜0，故方程无解，
故不存在符合条件的M点；
②当∠ANB＝2∠ACB时，如下图，
则∠NAC＝∠NCA，、
∴CN＝AN，
直线BC的表达式为：y＝﹣x+4
设点N（n，﹣n+4），
由CN＝AN，
即：（n）2+（4﹣n﹣4）2＝（n+1）2+（4﹣n）2，
解得：n，
则点N（，），
将点N、A坐标代入一次函数表达式并解得：
直线NA的表达式为：yx③，
将③式与二次函数表达式联立并解得：x，
故点M（，）．
7．（2020•金华模拟）如图1，抛物线y1x2tx﹣t+2与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），过y轴上的点C（0，4），直线y2＝kx+3交x轴，y轴于点M、N，且ON＝OC．
（1）求出t与k的值．
（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，在x轴上方的对称轴上找一点E，使△BDE与△AOC相似，求出DE的长．
（3）如图2，过抛物线上动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将C（0，4）代入抛物线y1x2tx﹣t+2即可求出t的值，由ON＝OC可写出点N坐标，将其代入直线y2＝kx+3即可求出k的值；
（2）由条件知∠AOC＝∠EDB＝90°，故分两种情况讨论△BDE与△AOC相似，通过对应边的比相等可求出DE的长；
（3）先根据题意画出图形，通过轴对称的性质等证明四边形QMQ'G为菱形，分别用字母表示出Q，G的坐标，分两种情况讨论求出GQ'的长度，利用三角函数可求出点G的横坐标．
【解答】解：（1）将点C（0，4）代入抛物线y1x2tx﹣t+2，
得，﹣t+2＝4，
∴t＝﹣2，
∴抛物线y1x2x+4，
∵C（0，4），ON＝OC，
∴N（﹣4，0），
将N（﹣4，0）代入直线y2＝kx+3，
得，﹣4k+3＝0，
∴，
∴直线，
∴t的值为﹣2，k的值为；
（2）如图1，连接BE，
在y1x24中，
当y＝0时，
x1＝﹣1，x2＝3，
∴A（﹣1.0），B（3，0），
对称轴为x1，
∴D（1，0），
∴AO＝1，CO＝4，BD＝2，
∵∠AOC＝∠EDB＝90°，
①∴当△AOC∽△BDE时，
∴，
∴，
∴DE＝8，
②当△AOC∽△EDB时，
∴，
∴，
∴，
综上所述，DE的长为8或．
（3）如图2﹣1，点Q′是点Q关于直线MG的对称点，且点Q′在y轴上时，
由轴对称的性质知，QM＝Q'M，QG＝Q'G，∠Q'MG＝∠QMG，
∵QG⊥x轴，
∴QG∥y轴，
∴∠Q'MG＝∠QGM，
∴∠QMG＝∠QGM，
∴QM＝QG，
∴QM＝Q'M＝QG＝Q'G，
∴四边形QMQ'G为菱形，
设G（a，a24），则Q（a，a+3），
过点G作GK⊥y轴于点K，
∵GQ'∥QN，
∴∠GQ'K＝∠NMO，
在Rt△NMO中，
NM5，
∴sin∠NMO，
∴sin∠GQ'K，
①当点G在直线MN下方时，
QG＝Q'Ga21，
∴，
解得，a1，a2，
②如图2﹣2，当点G在直线MN上方时，
QG＝Q'G＝﹣（），
∴，
解得，
，，
综上所述，点G的横坐标为，，或．
8．（2020•余杭区一模）如图，在平面直角坐标系中，直线yx+2分别交x轴、y轴于点A、B．点C的坐标是（﹣1，0），抛物线y＝ax2+bx﹣2经过A、C两点且交y轴于点D．点P为x轴上一点，过点P作x轴的垂线交直线AB于点M，交抛物线于点Q，连结DQ，设点P的横坐标为m（m≠0）．
（1）求点A的坐标．
（2）求抛物线的表达式．
（3）当以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求m的值．
【分析】（1）令yx+2＝0，解得：x＝4，即可求解；
（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，即可求解；
（3）以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，利用|MQ|＝BD即可求解．
【解答】解：（1）令yx+2＝0，解得：x＝4，y＝0，则x＝2，
即：点A坐标为：（4，0），
B点坐标为：（0，2）；
（2）把点A、C坐标代入二次函数表达式，
解得：b，c＝﹣2，
故：二次函数表达式为：yx2x﹣2；
（3）设点M（m，m+2），则Q（m，m2m﹣2），
以B、D、Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，
则：|MQ|＝±（m2﹣m﹣4）＝BD＝4，
当m2﹣m﹣4＝4，
解得：m＝1；
当m2﹣m﹣4＝﹣4，
解得：m＝2，m＝0（舍去）；
故：m＝2或1或1．
9．（2020•拱墅区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B顶点为C点．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）若∠ACB＝45°，求此抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1）和Q（x2，y2），与直线AB交于点N（x3，y3），若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，直接写出x1+x2+x3的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法、对称轴公式即可解决问题；
（2）确定点C坐标，利用待定系数法即可解决问题；
（3）如图，当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2，求出直线l经过点A、点C时的x1+x3+x2的值即可解决问题；
【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）与y轴交于点A，
∴点A的坐标为（0，﹣3）；
∵抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3 （m≠0）的对称轴为直线x＝1，
∴点B的坐标为（1，0）．
（2）∵∠ACB＝45°，
∴点C的坐标为（1，﹣4），
把点C代入抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3
得出m＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．
（3）如图，
当直线l1经过点A时，x1＝x2＝0，x3＝2，此时x1+x3+x2＝2，
当直线l2经过点C时，直线AB的解析式为y＝3x﹣3，
∵C（1，﹣4），
∴y＝﹣4时，x
此时，x1＝x2＝1，x3，此时x1+x3+x2，
当直线l在直线l1与直线l2之间时，x3＜x1＜x2
∴．
10．（2020•下陆区模拟）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线yx2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．
①求S关于m的函数表达式；
②当S最大时，在抛物线yx2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线yx2+bx+c，即可求得抛物线的解析式；
（2）①先用m表示出QE的长度，进而求出三角形的面积S关于m的函数；
②直接写出满足条件的F点的坐标即可，注意不要漏写．
【解答】解：（1）将A、C两点坐标代入抛物线，得
，
解得：，
∴抛物线的解析式为yx2x+8；
（2）①∵OA＝8，OC＝6，
∴AC10，
过点Q作QE⊥BC与E点，则sin∠ACB，
∴，
∴QE（10﹣m），
∴S•CP•QEm（10﹣m）m2+3m；
②∵S•CP•QEm（10﹣m）m2+3m（m﹣5）2，
∴当m＝5时，S取最大值；
在抛物线对称轴l上存在点F，使△FDQ为直角三角形，
∵抛物线的解析式为yx2x+8的对称轴为x，
D的坐标为（3，8），Q（3，4），
当∠FDQ＝90°时，F1（，8），
当∠FQD＝90°时，则F2（，4），
当∠DFQ＝90°时，设F（，n），
则FD2+FQ2＝DQ2，
即（8﹣n）2（n﹣4）2＝16，
解得：n＝6±，
∴F3（，6），F4（，6），
满足条件的点F共有四个，坐标分别为
F1（，8），F2（，4），F3（，6），F4（，6）．
11．（2020•浙江自主招生）如图，函数y＝|（2x2﹣x﹣6）|对应的曲线依次交x轴正、负半轴于A、B两点．
（1）求出直线y与该曲线所有交点的坐标；
（2）过点A作两条相互垂直的直线分别交该曲线于C、D两点，且C落在A点右侧，D点落在A、B之间，若AD＝AC，求△ADC的面积S△ADC．
【分析】（1）直线y与函数y＝|（2x2﹣x﹣6）|有交点，则令|（2x2﹣x﹣6）|，即可求得x的值，从而可以写出直线y与该曲线所有交点的坐标；
（2）根据题目的函数解析式和函数图象，可以分别表示出点D和点C的坐标，再根据勾股定理，可以求得AD和AC的长，从而可以求得△ADC的面积．
【解答】解：（1）令|（2x2﹣x﹣6）|，
则2x2﹣x﹣6＝±4，
当2x2﹣x﹣6＝4时，
解得，x1＝﹣2，x2，
当2x2﹣x﹣6＝﹣4时，
解得，x3，x4，
∴直线y与该曲线所有交点的坐标为（﹣2，）、（，）、（，）、（，）；
（2）过点C作CM⊥x轴于点M，作DN⊥x轴于点N，如右图所示，
由题意可知，
点A和点B的横坐标是方程（2x2﹣x﹣6）＝0的两个根，
由（2x2﹣x﹣6）＝0，得x1，x2＝2，
∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（，0），
由图可知，过点A、B、D的抛物线的解析式为y（2x2﹣x﹣6），
点C在抛物线y（2x2﹣x﹣6）的图象上且在点A的右侧，
设点C的坐标为（m，（2m2﹣m﹣6）），点D的坐标为（n，（2n2﹣n﹣6））
又∵AD＝AC，AD⊥AC，CM⊥x，DN⊥x，
∴∠DAN+∠CAM＝90°，∠DNA＝∠AMC＝90°，∠CAM+∠ACM＝90°，
∴∠DAN＝∠ACM，
在△DAN和△ACM中

∴△DAN≌△ACM（AAS）
∴DN＝AM，AN＝CM，
∴（2n2﹣n﹣6）＝m﹣2，2﹣n（2m2﹣m﹣6），
解得，或（舍去），
∴AM＝1，CM＝3，
∴AC，
∴AD，
∴S△ADC5．
12．（2020•杭州模拟）已知：关于x的方程mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3＝0．
（1）求证：m取任何实数量，方程总有实数根；
（2）若二次函数y1＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；
①求二次函数y1的解析式；
②已知一次函数y2＝2x﹣2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；
（3）在（2）条件下，若二次函数y3＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣5，0），且在实数范围内，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立，求二次函数y3＝ax2+bx+c的解析式．
【分析】（1）首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程，所以要分类讨论：
①m＝0，此时方程为一元一次方程，经计算可知一定有实数根；
②m≠0，此时方程为一元二次方程，可表示出方程的根的判别式，然后结合非负数的性质进行证明．
（2）①由于抛物线的图象关于y轴对称，那么抛物线的一次项系数必为0，可据此求出m的值，从而确定函数的解析式；
②此题可用作差法求解，令y1﹣y2，然后综合运用完全平方式和非负数的性质进行证明．
（3）根据②的结论，易知y1、y2的交点为（1，0），由于y1≥y3≥y2成立，即三个函数都交于（1，0），结合点（﹣5，0）的坐标，可用a表示出y3的函数解析式；已知y3≥y2，可用作差法求解，令y＝y3﹣y2，可得到y的表达式，由于y3≥y2，所以y≥0，可据此求出a的值，即可得到抛物线的解析式．
【解答】解：（1）分两种情况：
当m＝0时，原方程可化为3x﹣3＝0，即x＝1；
∴m＝0时，原方程有实数根；
当m≠0时，原方程为关于x的一元二次方程，
∵△＝[﹣3（m﹣1）]2﹣4m（2m﹣3）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴方程有两个实数根；
综上可知：m取任何实数时，方程总有实数根．
（2）①∵关于x的二次函数y1＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣3的图象关于y轴对称；
∴3（m﹣1）＝0，即m＝1；
∴抛物线的解析式为：y1＝x2﹣1．
②∵y1﹣y2＝x2﹣1﹣（2x﹣2）＝（x﹣1）2≥0，
∴y1≥y2（当且仅当x＝1时，等号成立）．
（3）由②知，当x＝1时，y1＝y2＝0，即y1、y2的图象都经过（1，0）；
∵对应x的同一个值，y1≥y3≥y2成立，
∴y3＝ax2+bx+c的图象必经过（1，0），
又∵y3＝ax2+bx+c经过（﹣5，0），
∴y3＝a（x﹣1）（x+5）＝ax2+4ax﹣5a；
设y＝y3﹣y2＝ax2+4ax﹣5a﹣（2x﹣2）＝ax2+（4a﹣2）x+（2﹣5a）；
对于x的同一个值，这三个函数对应的函数值y1≥y3≥y2成立，
∴y3﹣y2≥0，
∴y＝ax2+（4a﹣2）x+（2﹣5a）≥0；
根据y1、y2的图象知：a＞0，
∴（4a﹣2）2﹣4a（2﹣5a）≤0，即（3a﹣1）2≤0，
而（3a﹣1）2≥0，故a
∴抛物线的解析式为：yx2x．
13．（2019•杭州模拟）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）．
（1）求出二次函数图象的对称轴；
（2）若该二次函数的图象经过点（1，3），且整数a，b满足4＜a+|b|＜9，求二次函数的表达式；
（3）对于该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，请结合图象，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）由对称轴公式即可求解；
（2）观察函数图象，在给定的范围内，找出对应关系，即可求得二次函数的表达式；
（3）分类讨论，利用函数图象，结合函数的对称性即可得出t的取值范围．
【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴是；
（2）该二次函数的图象经过点（1，3），
∴a﹣4a+3+b＝3，
∴b＝3a，
把b＝3a代入4＜a+|b|＜9，
得4＜a+3|a|＜9．
当a＞0时，4＜4a＜9，则．
而a为整数，
∴a＝2，则b＝6，
∴二次函数的表达式为y＝2x2﹣8x+9；
当a＜0时，4＜﹣2a＜9，则．
而a为整数，
∴a＝﹣3或﹣4，
则对应的b＝﹣9或﹣12，
∴二次函数的表达式为y＝﹣3x2+12x﹣6或y＝﹣4x2+16x﹣9；
（3）∵当x2≥5时，均有y1≤y2，
二次函数y＝ax2﹣4ax+3+b（a≠0）的对称轴是x＝2，
∵y1≤y2，
∴①当a＞0时，有|x1﹣2|≤|x2﹣2|，即|x1﹣2|≤x2﹣2
∴2﹣x2≤x1﹣2≤x2﹣2，
∴4﹣x2≤x1≤x2，
∵x2≥5，
∴4﹣x2≤﹣1，
∵该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），
设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，
∴
∴﹣1≤t≤4．
②当a＜0时，|x1﹣2|≥|x2﹣2|，即|x1﹣2|≥x2﹣2
∴x1﹣2≥x2﹣2，或x1﹣2≤2﹣x2，
∴x1≥x2，或x1≤4﹣x2
∵x2≥5，
∴x1≥5或x1≤﹣1，
∵该二次函数图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），
设t≤x1≤t+1，当x2≥5时，均有y1≤y2，
∴t≥5或t+1≤﹣1，
∴t≥5或t≤﹣2，
综上，当a＞0时，﹣1≤t≤4；当a＜0时，t≥5或t≤﹣2．
14．（2020•金华模拟）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．
（1）若这种冰箱的售价降低50元，每天的利润是 4200 元；
（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到更多的实惠，每台冰箱应降价多少元？
（3）每台冰箱降价多少元时利润最高，并求出最高利润．
【分析】（1）根据题意列式计算即可；
（2）每一台冰箱的利润×每天售出的台数＝每天盈利，设出每台冰箱应降价x元，列方程解答即可；
（3）设每台冰箱降价为x元，商场每天销售这种冰箱的利润为y元，根据题意易求y与x之间的函数表达式．利用二次函数的性质可求出y的最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得（8+4）×（2400﹣50﹣2000）＝4200元，
故答案为：4200；
（2）设出每台冰箱应降价x元，由题意得：
（2400﹣2000﹣x）（84）＝4800，
x2+24x+3200＝4800．
整理，得x2﹣300x+20000＝0，
解这个方程，得x1＝100，x2＝200，
要使百姓得到实惠，取x＝200元，
∴每台冰箱应降价200元；
（3）设每台冰箱降价为x元，商场每天销售这种冰箱的利润为y元，
根据题意，得y＝（2400﹣2000﹣x）（8+4），
即yx2+24x+3200（x﹣150）2+5000，
当x＝150时，
y最大值＝5000（元）．
所以，每台冰箱的售价降价150元，售价2250元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．
15．（2019•鹿城区校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx（a＜0）与x轴交于点O（0，0）和点A（8，0），对称轴分别交抛物线和x轴于点B和点C，以OA为底边向上作等腰Rt△OAD．
（1）CD＝ 4 ；b＝ ﹣8a （用含a的代数式表示）；
（2）如图1，当a时，连接AB，求的值；
（3）点P是抛物线OB段上任意一点，连接DP和OP，延长OP交对称轴于点E，如图2，若A，D，P三点在一条直线上，当S△ODP＝3S△PDE时，求a的值．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质可求出CD的长，由点A的坐标，利用待定系数法可用含a的代数式表示出b值；
（2）代入a可求出抛物线的解析式，利用配方法可求出点B的坐标，进而可得出BC的长度，结合CD的长可求出BD的长，由△BDA和△CDA等高，可得出，代入BD，CD的值即可求出结论；
（3）由OC，CD的长可得出点D的坐标，由点A，D的坐标，利用待定系数法可求出直线AD的解析式，联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标，由S△ODP＝3S△PDE可得出OPOE，过点P作PM⊥x轴于点M，则△OPM∽△AEC，利用相似三角形的性质可求出a的值．
【解答】解：（1）∵△OAD为等腰直角三角形，OA＝8，
∴CDOA＝4．
将A（8，0）代入y＝ax2+bx，得：0＝64a+8b，
∴b＝﹣8a．
故答案为：4；﹣8a．
（2）当a时，抛物线的解析式为yx2x（x﹣4）2，
∴点B的坐标为（4，），
∴BC，
∴BD＝BC﹣CD，
∴．
（3）∵OC＝CD＝4，
∴点D的坐标为（4，4）．
设直线AD的解析式为y＝kx+c（k≠0），
将A（8，0），D（4，4）代入y＝kx+c，得：，
解得：，
∴直线AD的解析式为y＝﹣x+8．
联立直线AD和抛物线的解析式成方程组，得：，
解得：，，
∴点P的坐标为（，8）．
∵S△ODP＝3S△PDE，
∴OP＝3PE，
∴OPOE．
在图2中，过点P作PM⊥x轴于点M，则△OPM∽△AEC，
∴，即，
∴a，
经检验，a是原方程的解，且符合题意，
∴a的值为．
16．（2019•婺城区模拟）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与直线yx相交于点A1，A2，将抛物线y1向右平移后得抛物线y2，y2与直线yx交于点A2，A3，再将抛物线y2继续向右平移得抛物线y3，y3与直线yx交于点A3，A4……依此类推，请回答以下问题：
（1）求点A1，点A2的坐标．
（2）求抛物线y2的解析式．
（3）求AnAn+1的长（用含n的代数式表示）．
【分析】（1）解方程组即可得到点A1的坐标为（，），点A2的坐标（2，1）；
（2设抛物线y2的解析式为y＝（x﹣1﹣m）2，把点A2的坐标（2，1）代入得，即可得到抛物线y2的解析式为y2＝（x﹣3）2；
（3）得到A3（，），求得抛物线y3的解析式y＝（x﹣6）2，得到A4（8，4），根据两点间的结论公式求得A1A2，A2A3，A3A4，即可得到结论．
【解答】解：（1）解方程组得，，
∴点A1的坐标为（，），点A2的坐标（2，1）；
（2）∵（x﹣1）2，
∴设抛物线y2的解析式为y＝（x﹣1﹣m）2，
把点A2的坐标（2，1）代入得，1＝（2﹣1﹣m）2，
解得：m＝2，m＝0（不合题意舍去），
∴抛物线y2的解析式为y＝（x﹣3）2；
（3）解方程组得，，
∴A3（，），
∴抛物线y3的解析式y＝（x﹣6）2，
∴A4（8，4），
∴A1A2，A2A3，A3A4，
∴AnAn+1的长．
17．（2020•金华模拟）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（﹣2，0），点B（0，2），点C为OA中点，点C与点D关于y轴对称．
（1）点D的坐标为 （1，0） ；
（2）连结BC，求∠CBD的正切值；
（3）抛物线yx2+bx的对称轴为直线x，在抛物线上是否存在点E（E、A不重合），使△EBD与△ABD全等？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）点C为OA中点，则点C的坐标为（﹣1，0），点C与点D关于y轴对称，即可求解；
（2）利用S△BCD，求得DM，而BM，即可求解；
（3）分△ABD≌△EBD、△ABD≌△EDB（E在BD的左侧、右侧）三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）点C为OA中点，则点C的坐标为（﹣1，0），
点C与点D关于y轴对称，则点D（1，0），
故答案为：（1，0）；
（2）如图，过点D作DM⊥BC于M，
则OB＝2，CD＝2，，
又S△BCD，
解得：，
在Rt△BMD中，由勾股定理得：
BM，
∴；
（3）由题可得函数额对称轴x，
解得，
则抛物线所对应的函数解析式为，
①如图，当△ABD≌△EBD时，因为点E不与点A重合，则点E只能在BD的右侧，过点E作EN⊥x轴于N，
由全等的性质可知，∠CBO＝∠DBO，
∵∠CBO＝∠DBO，且∠DBO+∠CDB＝90°，
∴∠CBD+∠CDB+∠EDB＝2∠DBO+2∠CDB＝180°，
又∠CDB+∠EDB+∠EDN＝180°，
∴∠EDN＝∠CBD．
又DE＝AD＝3，，
∴，
∴，，
∴，此时点E在抛物线上，且符合题意；
②如图，当△ABD≌△EDB，且点E在BD的右侧时，
∵△ABD≌△EDB，∴AB＝DE，
∴∠ABD＝∠EDB，∴AB∥DE，
∴四边形EBAD是平行四边形，
则BE＝AD＝3，故则E（3，2），
此时点E在抛物线上，且符合题意；
③如图，当△ABD≌△EDB，且点E在BD的左侧时，记此时的点E为E'，
同理可得：△BDE'与①中的△EBD组成平行四边形E'BED，
由（3）①知，点，设点E′（x，y），
而点B、D的坐标分别为：（0，2）、（1，0），
由中点公式得：，解得：，
故得，此时点E'在抛物线上，且符合题意；
综上所述，点E的坐标为或（3，2）或．
18．（2020•天台县模拟）如图1，抛物线yx2+bx+c过点A（4，﹣1），B（0，），点C为直线AB下方抛物线上一动点，M为抛物线顶点，抛物线对称轴与直线AB交于点N．
（1）求抛物线的表达式与顶点M的坐标；
（2）在直线AB上是否存在点D，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出D点坐标；
（3）在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将点A与B代入抛物线解析式即可确定b与c的值；
（2）求出AB直线的解析式，当x＝1时，y＝﹣3，即可求N点坐标；分两种情况讨论：①若MN为平行四边形的一边时，CD∥MN，且CD＝MN，设C（t，t2t），则D（t，t），利用CD＝1，可求D（3，）；②若MN为平行四边形的对角线，设D（t，t），则C（2﹣t，t），将点C代入抛物线解析式可求D（﹣1，）；
（3）在对称轴上取点P（1，﹣1），以P为圆心，PA为半径作圆交y轴于点Q，作PE⊥y轴交于点E，在Rt△PEQ中，可得EQ2，即可确定Q点坐标．
【解答】解：（1）将点A（4，﹣1），B（0，）代入抛物线yx2+bx+c，得
，
解得，
∴yx2x，
∴M点的坐标为（1，﹣4）；
（2）设直线AB的表达式为y＝mx+n，
∴，
解得，
∴yx；
当x＝1时，y＝﹣3，
∴N（1，﹣3），
∴MN＝1；
①若MN为平行四边形的一边时，则有CD∥MN，且CD＝MN，
设C（t，t2t），则D（t，t），
∴CDt（t2t）＝1，
∴t＝3或t＝1（舍去），
∴D（3，）；
②若MN为平行四边形的对角线，
设D（t，t），则C（2﹣t，t），
将点C代入抛物线解析式得，（2﹣t）2（2﹣t）t，
∴t＝﹣1或t＝1（舍去），
∴D（﹣1，）；
综上所述：符合条件的D点坐标为（3，）或（﹣1，）；
（3）在对称轴上取点P（1，﹣1），
∴PA＝PM＝3，∠APM＝90°，
以P为圆心，PA为半径作圆交y轴于点Q，
∴∠AQM∠APM＝45°，
作PE⊥y轴交于点E，
∴PE＝1，
∵PQ＝3，
∴EQ2，
∴Q点坐标为（0，﹣1+2）或（0，﹣1﹣2）．
19．（2020•龙岗区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（﹣4，0），B点坐标为（1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作⊙P与y轴的负半轴交于点C．
（1）求经过A、B、C三点的抛物线对应的函数表达式；
（2）设M为（1）中抛物线的顶点，试说明直线MC与⊙P的位置关系，并证明你的结论；
（3）在第二象限中是否存在的一点Q，使得以A，O，Q为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，请求出所有满足的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据相交弦定理推论可得出OC2＝OA•OB，即可求出C点坐标．然后用待定系数法求解即可．
（2）直线与圆的位置关系无非是相切或不相切，可连接PC，证PC是否与MC垂直即可．（本题可先求出直线MC与x轴的交点N的坐标，然后分别求出PN，PC，CN的长，用勾股定理进行判断）．
（3）分△OBC与△AOQ相似，△OBC与△AQO相似，△OBC与△QAO相似，△OBC与△QOA相似，四种情况讨论求解．
【解答】解：（1）连接PC，
∵A（﹣4，0），B（1，0）
∴AB＝5，
∵P是AB的中点，且是⊙P的圆心
∴PC＝PA＝2.5，OP＝4﹣2.5＝1.5．
∴OC＝PC2﹣OP2＝2
∴C（0，﹣2）．
设经过A、B、C三点的抛物线为y＝a（x﹣1）（x+4），
∴﹣2＝a（0﹣1）（0+4）
∴a．
∴抛物线为y（x﹣1）（x+4）．
（2）直线MC与⊙P相切．
将yx2x﹣2配方，得y（x）2，
∴顶点M为（，）．
设直线MC为y＝kx+b，则有，
解得．
∴直线MC为yx﹣2．
设MC与x轴交于点N，
在yx﹣2中，令y＝0，得x．
∴ON，PN，CN．
∴CN2+PC2＝PN2．
∴∠PCN＝90度．
∴MC与⊙P相切．
（3）△OBC与△AOQ相似，OB：OC＝AO：AQ，即1：2＝4：AQ，解得AQ＝8，则Q点坐标为（﹣4，8）；
△OBC与△AQO相似，OB：OC＝AQ：AO，即1：2＝AQ：4，解得AQ＝2，则Q点坐标为（﹣4，2）；
△OBC与△QAO相似，OC：BC＝QO：AO，即2：QO：4，解得QO，则Q点横坐标为，纵坐标为，则Q点坐标为；
△OBC与△QOA相似，OB：BC＝QO：AO，即1：QO：4，解得QO，则Q点横坐标为，纵坐标为，则Q点坐标为．
综上所述，使得以A，O，Q为顶点的三角形与△OBC相似，所有满足的Q点坐标为（﹣4，8）；（﹣4，2）；；．
20．（2020•玉林一模）如图，Rt△AOB中，∠A＝90°，以O为坐标原点建立直角坐标系，使点A在x轴正半轴上，OA＝2，AB＝8，点C为AB边的中点，抛物线的顶点是原点O，且经过C点．
（1）填空：直线OC的解析式为 y＝2x ；抛物线的解析式为 y＝x2 ；
（2）现将该抛物线沿着线段OC移动，使其顶点M始终在线段OC上（包括端点O、C），抛物线与y轴的交点为D，与AB边的交点为E；
①是否存在这样的点D，使四边形BDOC为平行四边形？如存在，求出此时抛物线的解析式；如不存在，说明理由；
②设△BOE的面积为S，求S的取值范围．
【分析】（1）本题须先求出点C的坐标然后即可求出直线OC的解析式和抛物线的解析式．
（2）①本题首先需根据抛物线的移动规律设出抛物线的解析式，再根据平行四边形的性质即可得出m的值．
②本题需先求出△BOE的面积S与m的关系，再根据m的取值范围即可求出S的取值范围．
【解答】解：（1）∵OA＝2，AB＝8，点C为AB边的中点
∴点C的坐标为（2，4）点，
设直线的解析式为y＝kx
则4＝2k，解得k＝2
∴直线的解析式为y＝2x，
设抛物线的解析式为y＝kx2
则4＝4k，解得k＝1
∴抛物线的解析式为y＝x2
（2）设移动后抛物线的解析式为y＝（x﹣m）2+2m
当OD＝BC，四边形BDOC为平行四边形，
∴OD＝BC＝4，
①则可得x＝0时y＝4，
∴m2+2m＝4，
∴（m+1）2＝5
解得，（舍去），
所以
y2×（﹣1）
2+2，
②∵BE＝8﹣[（2﹣m）2+2m]
＝4+2m﹣m2
∴S△BOEBE•OA
（4+2m﹣m2）×2
＝﹣m2+2m+4
＝﹣（m﹣1）2+5，
而0≤m≤2，
所以4≤S≤5．
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m（天）
0
5
10
15
x（元）
…
190
200
210
220
…
y（间）
…
65
60
55
50
…
生长率p
0.2
0.25
0.3
0.35
提前上市的天数m（天）
0
5
10
15